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2016-2017学年高二数学选修4-5学案(15份) 北师大版9(精品教案)

§ 柯西不等式 简单形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式
.认识柯西不等式的几种不同的形式,理解它们的几何意义,能证明柯西不等式的代数 形式和向量形式.(重点、易混点)
.理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程.(重点难点) .能利用柯西不等式求特定函数的最值和进行简单的证明.(难点)

教材整理 简单形式的柯西不等式

[基础·初探]

阅读教材~,完成下列问题.

.定理 对任意实数,,,,有(+)(+)≥(+),当向量(,)与向量(,)共线时,等号成立. .柯西不等式的向量形式 设 α,β 是两个向量,则 α·β≤αβ,当且仅当 β 是零向量,或存在实数,使 α=β 时,等 号成立.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) ()不等式(+)(+)≥(+)是柯西不等式.( ) ()(+)(+)≥(+),是柯西不等式,其中,,,为正数.( ) ()在柯西不等式(+)(+)≥(+)中,,,,是任意实数.( )

【解析】柯西不等式中,四个数的组合是有对应顺序的,故()不对,()中,,,,可分别写 成(),(),(),(),所以是正确的,()正确.
【答案】()× ()√ ()√ 教材整理 一般形式的柯西不等式 阅读教材~“练习”以上部分,完成下列问题. .定理 设,,…,与,,…,是两组实数,则有(++…+)(++…+)≥(++…+), 当向量(,,…,)与向量(,,…,)共线时,等号成立. .推论 设,,,,,是两组实数,则有 (++)(++)≥(++). 当向量(,,)与向量(,,)共线时“=”成立.
在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为=(=,…,),可以吗? 【解】不可以.若=而≠,则不存在.
[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问: 解惑: 疑问: 解惑: 疑问: 解惑:
[小组合作型] 利用柯西不等式证明不等 式

()已知+=,+=,求证:+≤; ()设,,为正数,求证:++≥(++). 【精彩点拨】本题考查柯西不等式及证明不等式的基础知识,考查推理论证能力及代数 式的变式能力.解答本题()可逆用柯西不等式,而解答题()需将,,增补,使其满足柯西不等 式左边结构方可应用. 【自主解答】()+=≤=. ()由柯西不等式得:·≥+, 即≥+. 同理:≥+,≥+. 将上面三个同向不等式相加得: (++)≥(++), 所以++≥(++).

利用二维柯西不等式的代数形式证题时,要抓住不等式的基本特征:?+??+?≥?+?,其 中,,,∈或?+??+?≥?\()+\()?,其中,,,为正数.找出待证不等式中相应的两组数,当这两组 数不太容易找时,需分析,增补?特别是对数字的增补:如=×?变形等.

[再练一题] .设,,为正数,求证:++≥++. 【证明】 由柯西不等式

[()+()+()] ≥. 于是(++)≥(++),

即++≥++.

运用柯西不等式求参数范 围

已知正数,,满足++=,且不等式++≤λ 恒成立,求 λ 的取值范围.
【精彩点拨】“恒成立”问题需求++的最大值,设法应用柯西不等式求最值. 【自主解答】++≤++ = ≤=. 故参数 λ 的取值范围是.
此题也是通过构造转化应用柯西不等式,由此可见,应用柯西不等式,首先要对不等式 形式、条件熟练掌握,然后根据题目的特点“创造性”应用定理.
[再练一题] .已知实数,,,满足+++=,+++=,试求的取值范围. 【解】由柯西不等式得, (++)≥(++), 即++≥(++). 由条件可得,-≥(-), 解得≤≤, 所以实数的取值范围是[].
[探究共研型] 利用柯西不等式求最 值
探究 柯西不等式(+)(+)≥(+)是如何证明的? 【提示】要证(+)(+)≥(+),只要证+++≥++, 即证+≥, 只要证(-)≥.

因为上式显然成立,故(+)(+)≥(+). 探究 根据柯西不等式,下列结论成立吗? ()(+)(+)≥(+)(,,,为非负实数); ()·≥+(,,,∈); ()·≥+(,,,∈). 【提示】成立.
已知++=,求++的最小值. 【精彩点拨】 利用++为定值,构造柯西不等式形式,再利用公式得出范围,求解最 小值. 【自主解答】 (++) ≥=(++), ∴(++)≤(++)·=. ∵-≤++≤, ∴++的最小值为-.
利用柯西不等式求最值时,关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时, 要保证取到等号成立的条件.
[再练一题] .若+=,试求+的最小值及最小值点. 【解】由柯西不等式(+)(+)≥(+),得(+)≥, 所以+≥. 当且仅当=时“=”成立,为求最小值点, 需 解 方 程 组 (\\(+=,,()=(),)) ∴(\\(=(),=().)) 因此,当=,=时,+取得最小值,最小值为,最小值点为.

[构建·体系]

.设,∈,且+=,则+的最小值为( )







【解析】(+)≤(+)(+),

∴+≥.

【答案】

.已知,,大于,且++=,则++的最小值为( )







【解析】根据柯西不等式,有(++)(++)≥(++)=,

∴++≥.

【答案】

.已知++=,++=,=++,则的取值范围是( )

.()

.(-)

.(-)

.[-]

【解析】设 α=(,,),β=(,,).

∵α==,β==,

由 αβ≥α·β,得≤.

∴的取值范围是[-]. 【答案】 .已知,>,的最小值为,则=.

【解析】∵≥=, ∴=,又>, ∴=,∴=. 【答案】 .已知+≤,求证:+≤. 【证明】 由柯西不等式得 (+)≤[()+()] =(+)≤×=. 于是+≤.

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学业分层测评(十)

(建议用时:分钟)

[学业达标]

一、选择题

.已知,为正数,且+=,则=(+)与=+的关系是( )

.≤

.<

.≥

.>

【解析】 设=(,),=(,),

则+=·≤

=·

=·=,

所以(+)≤+.即≤. 【答案】 .已知+=,那么+的最小值是( )
. . 【解析】+=(+)·

≥=(+)=.

【答案】

.已知,,均大于,且++=,则++的最小值为( )









【解析】(++)

≥=,

∴++≥.

【答案】

.设,,,>,且+=,则=+的最小值是()

.(+)



.(+)

【解析】根据柯西不等式,得+=(+)·≥=(+),

当且仅当=时,等号成立,

这时取最小值为(+).

【答案】

.函数=+的最大值是()







【解析】根据柯西不等式,知=×+×≤×=.

【答案】 二、填空题 .函数=+的最大值为. 【解析】 由,非负且()+()=, 所以+≤ ==. 【答案】 .设,为正数,且+=,则+的最小值为.
【解析】 (+) =[()+()] ≥=, 又+=, ∴+≥. 【答案】 .设,,,,,都是正数,且++=,++=,++=,则=. 【解析】由柯西不等式, 得×=(++)(++)≥(++)=. 当且仅当===时取“=”, 由(++)=×,解得=, 所以==. 【答案】 三、解答题 .已知实数,,满足++=,求=++的最小值. 【解】 由柯西不等式得 (++)(++)≥(++).

∵++=,

∴(++)≥,即++≥.

当且仅当===,即=,=,=时等号成立.

故++的最小值为. .已知 θ 为锐角,,均为正数. 求证:(+)≤+. 【证明】 设=θ),( θ))) ,

=( θ, θ),

则+=θ)·θ+( θ)·θ))

=·≤

= 错误!·错误!
=,

∴(+)≤+.

[能力提升]

.已知,为正数,且=,则的最小值为( )









【解析】

=·

≥===.

【答案】

.设,,…,为正数,=,=,则,间的大小关系为( )

.>

.≥

.<

.≤

【解析】∵(++…+)

≥=, ∴≥. 即≥. 【答案】 .已知函数=+,则函数的定义域为,最大值为. 【解析】 函数的定义域为[],且>, =+ ≤×=, 当且仅当=, 即=时取等号. ∴=. 【答案】[] .△的三边长为,,,其外接圆半径为. 求证:(++)≥. 【证明】 由三角形中的正弦定理得: =,所以=, 同理=,=, 于是由柯西不等式可得 左边=(++) ≥=, 所以原不等式得证.
面对着学习,你就要有毅力。因为你就如身在干旱的沙漠之中,没有水也没有食物,你有的就仅仅是最后的那一点力气和时时蒸发着的那一点微少的汗水,你在这种地境里,不可以倒下,要坚强,要努力走出这个荒芜的 沙漠,找回生存的希望,仅此无他。在学习的赛跑线上,你就应该有着这不懈的精神,累了,渴了,你仍要坚持下去,因为终点就在不远的前方…行路人,用足音代替叹息吧!志士不饮盗泉之水,廉者不受嗟来之食你的 作业进步很大,继续加油!你会更出色! 位卑未敢忘忧国,事定犹须待阖棺。 希望你一生平安,幸福,像燕雀般起步,像大雁般云游,早日像鹰一样翱翔,千里之行,始于足下。学习就是如此痛快,它能放松人的心灵, 但必须是在热爱的基础上。瞧!学习就能带来如此奇妙的享受! 学习总是在一点一滴中积累而成的,就像砌砖,总要结结实实。踏踏实实的学吧!加油!成功属于努力的人!聪明出于勤奋,天才在于积累。 人天天都学 到一点东西,而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。 生活中处处都有语文,更不缺少语文,而是缺少我们发现语文的眼睛,善于发问的心。让我们在生活中,去寻找更有趣、更广阔、更丰富.


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