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高中数学人教B版必修四课件:第一单元 1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)_图文

第一章 §1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质(二) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期. 3.掌握函数y=sin x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 函数的周期性 思考1 如果函数f(x)满足f(x+3)=f(x),那么3是f(x)的周期吗? 答案 不一定 .必须满足当 x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+3)=f(x),才可以说3是f(x)的周期. 思考2 所有的函数都具有周期性吗? 答案 不是 .只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数 答案 才具有周期性. 思考3 周期函数都有最小正周期吗? 答案 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如,对于常数函数 f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,而最 小正周期是不存在的,所以常数函数没有最小正周期. 答案 梳理 函数的周期性 (1)对于函数f(x),如果存在一个 非零常数T ,使得定义域内的 每一个x 值, 都满足 f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个 函数的周期. (2)对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个 最小的正数, 那么这个最小正数就叫做它的最小正周期. 知识点二 正弦函数的周期性 思考1 证明函数y=sin x是周期函数. 答案 ∵sin(x+2π)=sin x, ∴y=sin x都是周期函数, 且2π就是它们的一个周期. 答案 思考2 证明函数f(x)=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)是周期函数. 答案 由诱导公式一知,对任意x∈R, 都有Asin[(ωx+φ)+2π]=Asin(ωx+φ), 所以 即f ? 2π? ? ? Asin[ω?x+ ω ?+φ]=Asin(ωx+φ), ? ? ? ? 2π ? ? x + ? ?=f(x), ω ? ? 2π 所以 f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)是周期函数, 就是它的一个周期. ω 答案 梳理 2kπ (k∈Z且k≠0) 由sin(x+2kπ)= sin x (k∈Z)知,y=sin x是 周期函数,_______________ 是它的周期,且它的最小正周期是 2π . 知识点三 正弦曲线: 正弦函数的奇偶性 思考1 观察正弦曲线的对称性,你有什么发现? 答案 正弦函数y=sin x的图象关于原点对称. 答案 思考2 上述对称性反映出正弦函数有什么性质?如何从理论上加以 验证? 答案 正弦函数是R上的奇函数.根据诱导公式,得sin(-x)= -sin x,对一切x∈R恒成立. 答案 梳理 对于y=sin x,x∈R恒有sin(-x)=-sin x,所以正弦函数y=sin x是 奇 函数,正弦曲线关于 原点 对称. 题型探究 类型一 三角函数的周期性 例1 求下列函数的最小正周期. π (1)y=sin(2x+ )(x∈R); 3 解答 (2)y=|sin x|(x∈R). 解 ? ?sin x?2kπ≤x≤2kπ+π?, 因为 y=|sin x|=? (k∈Z). ? ?-sin x?2kπ+π<x≤2kπ+2π? 其图象如图所示, 所以该函数的最小正周期为π. 解答 反思与感悟 对于形如函数 y=Asin(ωx+φ),Aω≠0时的最小正周期的求法常直 2π 接利用T= 来求解,对于y=|Asin ωx|的周期情况常结合图象法来 |ω| 求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期. ? 1 π? ? (1)y=sin?-2x+3? ?; ? ? 2π 解 T= =4π. 1 |- | 2 (2)y=|sin 2x|. π 解 T= . 2 解答 类型二 三角函数的奇偶性 例2 判断下列函数的奇偶性. ? 1 π? ? ? (1)f(x)=sin?-2x+2?; ? ? 1 解 显然 x∈R,f(x)=cos x, 2 ? ? 1 ? - x ∵f(-x)=cos? ? 2 ? ? ? 1 =cos x=f(x), 2 ∴f(x)是偶函数. 解答 (2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x); 解 ? ?1-sin x>0, 由? 得-1<sin x<1. ? ?1+sin x>0, π 解得定义域为{x|x∈R 且 x≠kπ+ ,k∈Z}. 2 ∴f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x), ∴f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)] =lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数. 解答 1-sin x+2sin2x (3)f(x)= . 1+sin x 解 ∵1+sin x≠0,∴sin x≠-1, π ∴x∈R 且 x≠2kπ- ,k∈Z. 2 ∵定义域不关于原点对称, ∴该函数是非奇非偶函数. 解答 反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点: 关键点一:看函数的定义域是否关于原点对称. 关键点二:看f(x)与f(-x)的关系. 对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简 后再判断. 跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性. ?3 ? ? 2 π + 2 x (1)f(x)=cos? + x sin ? ? ?2 ? x; 解 f(x)=sin 2x+x2sin x, ∵x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x) =-sin 2x-x2sin x=-f(x), ∴f(x)是奇函数. 解答 (2)f(x)= 1-2sin x+ 2sin x-1. 解 ? ?1-2sin x≥0, 1 由? 得 sin

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