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江苏省姜堰市蒋垛中学2015届高三数学错题再练(函数与导数)


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函数与导数 班级: 一:填空题 1.函数 f ( x) ? ( ) 2 x ? x 的值域是 姓名:

1 2

2

。 。 。

2.已知方程 x 3 ? 3 x 2 ? 9 x ? a ? 0 有三个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是 3.若函数 f ( x) ? 3 x 3 ? ax 2 ? x ? 5 在区间 [1,2] 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 4.在曲线 y ? x 3 ? 3 x 2 ? 6 x ? 1 的所有切线中,斜率最小的切线方程是 5.若函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a ? 7 a 在 x ? 1 处取得极大值 10,则 a+b=
3 2 2

。 。

6.若点 P 为函数 y ? 取值范围是

x ( x ? 1) 的图象上异于原点的动点,且该图象在点 P 处的切线的倾斜角为 ? ,则 ? 的

x 2

7. 已 知 函 数 f ( x) ? e ? 1, g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 , 若 存 在 f (a ) ? g (b) , 则 实 数 b 的 取 值 范 围 是 。

8.已知 [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数, 如:[1.8] ? 1, [?1.2] ? ?2 ; 若 x0 是函数 f ( x) ? ln x ? 则[ x0 ]= 。

2 的零点, x

9.已知偶函数 f ( x) 在 [0,??) 上是增函数,若 f (ax ? 1) ? f ( x ? 3) 在 x ? [1,2] 上恒成立,则实数 a 的取值 范围是
1



10.已知函数 f ( x) ? x 2 ,给出下列命题: ①若 x ? 1 ,则 f ( x) ? 1 ; ②若 0 ? x1 ? x 2 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ;

③若 0 ? x1 ? x 2 ,则 x1 f ( x 2 ) ? x 2 f ( x1 ) ;④若 0 ? x1 ? x 2 ,则 其中正确的命题是 (填序号) 。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2)。 2 2

11.已知函数 f ( x) 满足: f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), f ( x) ? f (? x ? 2) ,方程 f ( x) =0 在[0, 1]内有且只有一个

1 ,则 f ( x) =0 在区间[0, 2014]内根的个数为 。 2 1 2 12.若函数 f ( x) ? x 3 ? x 在区间 (a,10 ? a ) 上有最小值,则实数 a 的取值范围是 3 ln a c ? 3 13.已知实数 a, b, c, d 满足 ? ? 1 ,则 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的最小值是 b d
根x ?
2

。 。

14.设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) , 对任意的 x ? R 有 f (? x) ? f ( x) ? x , 且在 (0,??) 上 f ?( x) ? x 。
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若 f (2 ? a ) ? f (a ) ? 2 ? 2a ,则实数 a 的取值范围是

16. 已知函数 f ( x) =
第 2 页(共 7 页)

ax ,在 x ? 1 处取得极值 2. x ?b
2

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(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2) m 满足什么条件时,区间 (m,2m ? 1) 为函数 f ( x) 的单调增区间? (3)若 P ( x 0 , y 0 ) 为 f ( x) = 斜率的取值范围.

ax ax 图象上的任意一点, 直线 l 与 f ( x) = 2 的图象切于 P 点, 求直线 l 的 x ?b x ?b
2

17. 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax . (1)若 a ? 3 ,求曲线 y ? f ( x) 在 P ?1, ?3? 处的切线方程; (2)若 f ( x) 有零点,求实数 a 的取值范围.

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18. 设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a ? 3 , g ( x) ? ax ? 2a . (1)对于任意 a ? [?2, 2] 都有 f ( x) ? g ( x) 成立,求 x 的取值范围; (2)当 a ? 0 时对任意 x1 , x2 ? [?3, ?1] 恒有 f ( x1 ) ? ?ag ( x2 ) ,求实数 a 的取值范围; (3)若存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 0 与 g ( x0 ) ? 0 同时成立,求实数 a 的取值范围.

一:填空题 1. [ ,??)

1 2

2. (?5,27)

3. (??,5]

4. 3 x ? y ? 2 ? 0

5. 3

6. [

? ?

, ) 3 2
12. [?2,1) 13. 8

7. (2 ? 2 ,2 ? 14. (??,1] 二:解答题

2)

8. 2

9. (??,?3) ? (1,??)

10. ① ④

11. 2014

15. 解: (1)因为 f ( x) ? 2 f (? x) ? 8ax 2 ? 所以 f (? x) ? 2 f ( x) ? 8ax 2 ?
第 4 页(共 7 页)

2 x 2 x

① ②
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由① ② 可解得 f ( x) ? 2ax 2 ?

1 ………………………………………4 分 x

(2)f(x)定义域为 (??,0) ? (0,??) 当 a=0 时, f ( x) ?

1 1 1 , f (? x) ? ? ? ? ? f ( x), x ?x x
……………………………………7 分

∴ a=0 时 f ( x) 为奇函数

1 a ? 0时, f ( x) ? 2ax 2 ? (a ? 0, x ? 0), f (?1) ? 2a ? 1, f (1) ? 2a ? 1 x
∴f (?1) ? f (1), f (?1) ? ? f (1)

a ? 0 时函数 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数 ………………9 分 ∴
(3)由题意可知函数 f(x)在 x ? [3,??) 上为增函数 …………………10 分

设 3 ? x1 ? x 2 ,要使函数 f(x)在 x ? [3,??) 上为增函数, 法一:必须 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2ax12 ?
1 1 (x ? x ) 2 ? 2ax2 ? ? 1 2 [2ax1 x2 ( x1 ? x2 ) ? 1] ? 0 x1 x2 x1 x2

x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 9,? 2ax1 x2 ( x1 ? x2 ) ? 1. …………………………………12 分
x1 ? x2 ? 6,? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? 54 , ?

1 1 ? x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) 54
……………14 分 …………………………12 分

要使 a ?

1 1 , ? a 的取值范围是 [ , ??) 2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) 108
1 ? 0 在 [3, ??) 上恒成立, x2

法二: f ? ? x ? ? 4ax ? 所以 4a ?

1 1 1 在 [3, ??) 上恒成立, 所以 4a ? ,所以 a 的取值范围是 [ , ??) …14 分 x3 27 108

16. (1)已知函数 f ( x) =

a ( x 2 ? b) ? ax(2 x) ax / , ? f ( x ) ? ( x 2 ? b) 2 x2 ? b

………………2 分

? f ?(1) ? 0 ? 又函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值 2,? ? ,即 ? a ? f (1) ? 2

?a (1 ? b) ? 2a ? 0 ?2 ? ?1 ? b

?a ? 4 ?? ?b ? 1

? f ( x) ?

4x ………………………………………………………………………5 分 x ?1
2

(2)由 f ( x) ?
/

4( x 2 ? 1) ? 4 x(2 x) ? 0 ? x ? ?1 ( x 2 ? 1) 2
(??,?1)
-

x

?1
0

( ? 1,1) +

1 0

(1,??)
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f / ( x)
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f ( x)
极小值-2

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极大值 2 ………………………………8 分

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所以 f ( x) ?

4x 的单调增区间为 [?1,1] , x ?1
2

?m ? ?1 ? 若 (m,2m ? 1) 为函数 f ( x) 的单调增区间,则有 ?2m ? 1 ? 1 ,解得 ? 1 ? m ? 0 ?2 m ? 1 ? m ?
即 m ? (?1,0] 时, (m,2m ? 1) 为函数 f ( x) 的单调增区间。 ………………10 分 (3)? f ( x) ?

4( x 2 ? 1) ? 4 x(2 x) 4x / f ( x ) ? ? ( x 2 ? 1) 2 x2 ?1
/

直线 l 的斜率为 k ? f ( x 0 ) ?

4( x0 ? 1) ? 8 x0 ( x0 ? 1)
2 2

2

2

? 4[

2 ( x0 ? 1)
2 2

?

1 x0 ? 1
2

] ……12 分



1 x0 ? 1
2

? t , t ? (0,1] ,则直线 l 的斜率 k ? 4(2t 2 ? t ), t ? (0,1] ,
……………………………………………14 分

1 ? k ? [? ,4] . 2

17. 解:在区间 ? 0, ?? ? 上, f ?( x) ?

1 1 ? ax . ?a ? x x

(1)当 a ? 3 时, f ? ? x ? ? 1 ? 3 ? ?2 , 则切线方程为 y ? ? ?3? ? ?2 ? x ? 1? ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 …………………………………4 分 (2)①若 a ? 0 , f ( x) ? ln x 有唯一零点 x ? 1 . ………………………6 分

②若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 是区间 ? 0, ?? ? 上的增函数,

? f (1) ? ?a ? 0 , f (e a ) ? a ? ae a ? a (1 ? e a ) ? 0 ,

? f (1) ? f (e a ) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 ? 0, ?? ? 有唯一零点. ……………………8 分
③若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得: x ?

1 . a

在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是增函数; 在区间 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是减函数; 故在区间 ? 0, ?? ? 上, f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ln
1 ?1? 由 f ? ? ? 0 即 ? ln a ? 1 ? 0 ,解得: a ? . a e ? ?

1 a

1 a

1 a

1 ? 1 ? ? ln a ? 1 . a

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1? ? 故所求实数 a 的取值范围是 ? ??, ? . e? ?

………………………………10 分

18. 解: (1)由题意可知对于任意 a ? [?2, 2] 都有 x 2 ? ax ? a ? 3 ? ax ? 2a . 即 ? ?2 x ? 3? a ? x 2 ? 3 ? 0 对于任意 a ? [?2, 2] 恒成立. 设 h ? a ? ? ? ?2 x ? 3? a ? x 2 ? 3 ,………………………………………………3 分
2 ? ?h ? ?2 ? ? x ? 4 x ? 9 ? 0 所以 ? ,解不等式组可得 x ? ?2 ? 7 或 x ? ?2 ? 7 .…………5 分 2 ? ? h ? 2? ? x ? 4x ? 3 ? 0

(3)若 a ? 0 ,则 g ? x ? ? 0 ,不合题意,舍去; ………………………………11 分 若 a ? 0 , 由 g ? x ? ? 0 可 得 x ? 2 。 原 题 可 转 化 为 在 区 间 ? 2, ?? ? 上 若 存 在 x0 , 使 得 f ( x0 ) ? 0 , 因 为
?a ? f ( x) ? x 2 ? ax ? a ? 3 在 ? , ?? ? 上 单 调 递 增 , 所 以 f ? 2 ? ? 0 , 可 得 a ? 7 , 又 因 为 a ? 0 , 不 合 题 ?2 ?



………………………………………………………………13 分
a ? 2 时, 2

若 a ? 0 ,由 g ? x ? ? 0 可得 x ? 2 。原题可转化为在区间 ? 2, ?? ? 上若存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 。当 即 a ? 4 时 , f (2) ? 7 ? a ? 0 , 可 得 a ? 7 ; 当
a ? ?2 .

a a ?2 时,即 0?a ?4 时, f ( )?0 ,可得 a ?6 或 2 2

……………………………………………………………15 分 …………………………………………………………16 分

综上可知 a ? 7 .

第 7 页(共 7 页)

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