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2014南大理科强化班数学试题

南京大学

匡亚明学院

理科强化班

2014 南京大学基础学科理科强化班考试试题(考生回忆版)
声明: 近几年来,由于各高校自主招生考试试题不再对外公布,试题收集工作有了较大的困难。经采 访几位江苏高校参加 2014 南大理科强化班考试的考生, 2014 南大理科强化班考试试题才得以大部分 还原。但由于整张试卷是由考生回忆整理所得,部分细节处会有缺漏,此回忆版试题仅供参考。

(本文档于 2015 年 6 月 9 日由整理人 Colin.S.Y 授权正式对外公布,以供复习参考之用。 ) (PS:欢迎报考南京大学理科强化班! )

(一) 数学
考试时间:2014 年 1 月 11 日上午 8:30—10:00 考试总分:150 分 共 90 分钟答题时间

一、 填空题(试题顺序会有变动,70 分) 1、loga(x-y)= (logax+logay) , 则 = 。

2、 (一道简单的向量题,具体数值记不清,高考容易题难度) 3、 (1+ tan 1°) · (1+ tan 2° ) · (1+ tan 3°)??(1+ 。 tan 60°)= 。

4、已知复数 z 满足 z2 +z+1=0, 求 z + z2014 + z2015= 5、f(x)= 为 m,求 M + m = 。

(x∈[-4π ,4π ]) ,设 f (x) 的最大值为 M, 最小值

6、函数 f (x) = x3-9x2+22x+a ,其零点成等差数列,则 a =



7、一种游戏,第 n 关时需投 n 次骰子,当第 n 关点数总和 > n2 时即可进入下一关, 则连过第 1、2 两关的概率是 。

8、 已知 a1,a2,a3,a4,a5,a6 为 1,2,3,4,5,6 的一个排列, 且满足 a1≠1,, a2≠2, a3≠3, a1<a2<a3, 则排列的所有可能情况共有 种。

9、椭圆 C 的 2 个焦点在 x 轴上,其长半轴长为 10,离心率为 0.6,右焦点为 F2,已知 点 A(2,-6) ,P 为椭圆 C 上一点,则 |PA|+
1

|PF2|的最小值为



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10、 【填空压轴题】回忆者表示“集合映射太抽象” “不知道题目在说什么” 。

二、 (20 分) (1) 如图 1 的直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 底面 A1B1C1D1 为菱形, 且 AB=1, AA1=2, ∠D1A1B1∈[ 60°, 90°]。求异面直线 B1D 与 A1D1 所成角大小的取值范围。 (2)如图 2 平面内有一组外切圆(半径不一定相等) ,现沿公切线将平面翻折θ 角, θ ∈﹙0° , 180°) ,能否使得两圆上所有的点都位于同一球面上?说明理由。

图2

三、 (20 分)已知坐标系 xOy 平面内一曲线 C:x2-y2-2 相交于 2 点。

xy-2=0,直线 l1、l2 与曲线 C

(1)请将坐标系 xOy 旋转适当的角度变为坐标系 uOv,使曲线 C 成为标准方程。 (2)设坐标系 uOv 平面内直线 l1 的方程为 u-u0=k1(v-v0),求 k1 的取值范围。 (3) (学生无法回忆起)

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四、 (20 分)已知 f (x) = a (1)令 t= (2)求 g(a)的表达式。 (3)若 g(a) =g(

+

,a 为实数,记 g (a)为 f(x)的最大值。

,请用 m(t)表示 f(x)。

),求所有满足条件的 a。

五、 (20 分)证明:



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