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【人教A版】高中数学必修二:3.3.3《点到直线的距离(1)》ppt课件

3.3.3 点到直线的距离 设计问题、创设情境 问题 1:已知直线 l : x ? y ? 2 ? 0 , O 为坐标原点. 问:直线 l 上是否存在点 P ,到原点 O 的距离为 2 , 若存在,这样的点有几个?若不存在请说明理由. 学生探索、尝试解决 思路一、(函数思想)设点 P( x, y) 是直线 l 上任意一点, 则 y ? 2 ? x ,所以 | OP |2 ? x 2 ? y 2 ? x 2 ? (2 ? x) 2 ? 2x 2 ? 4x ? 4 ? 2( x ? 1) 2 ? 2 ? 2 , 所以 | OP |? 2. 因此, 直线 l 上到原点 O 的距离为 2 的点 P ,仅有一个,即 P(1,1) . 学生探索、尝试解决 思路二、(转化为两点间的距离) 直线 l 的斜率为 ? 1 ,所以过原点且与直线 l 垂直 的直线方程为 y ? x ,与 x ? y ? 2 ? 0 联立,解得 垂足 Q 的坐标为 (1,1) ,所以原点到直线 l 的距离为 (1 ? 0) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 2 . 学生探索、尝试解决 思路三、 (解三角形)如图,易知 ?OAQ ? 450 , 在 Rt?OAQ 中, | OA |? 2 , 2 ? 2. 所以 | OQ |?| OA | sin ?OAQ ? 2 ? 2 思路四、 (等面积法)如图,易知 | OA |?| OB |? 2 , | OA | ? | OB | ? 2. 所以 | AB |? 2 2 , | OQ |? | AB | 信息交流、揭示规律 问题 2:通过问题 1,我们知道点在直线外时,可以用点 到直线的距离定量的刻画点与直线的位置关系.你能 将这个问题推广到一般情形,得到点到直线的距离公 式吗?大家自己提出问题,并制定解决思路或方案. 求点 P0 ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 距离. 信息交流、揭示规律 思路一(函数思想)步骤: ①设出直线 l 上任意一点 Q 的坐标; ②用两点间距离公式表示 | PQ | ,并借助直线方程消元; ③将 | PQ | 关于横坐标 x 的二次函数后求最值. 思路二(转化为两点间距离)的步骤: ①确定直线 l 的斜率 k ? k ? 0? ; ②求与 l 垂直的直线 l ? 的斜率 k ? ? ? ③求过点 P 垂直于 l 的直线 l ? 的方程; ④求 l 与 l ? 的交点 Q ; 1 ; k ⑤求点 P 与点 Q 的距离,得到点 P 到 l 的距离 d ? PQ . 信息交流、揭示规律 思路三(解三角形)的步骤: ①过点 P0 作 x 轴, y 轴的垂线交 l 于点 R , S ; ②用 x0 , y0 表示点 R , S 的坐标; ③求出 | P0 R |, | P0 S | ; ④利用勾股定理求出 | RS | , 并计算 sin ?P0 SR ? | P0 R | ; | RS | ⑤解三角形 P0 SQ 得 | P0 Q |?| P0 S | sin ?P0 SR . 信息交流、揭示规律 思路四(等面积法)的步骤: ①过点 P0 作 x 轴, y 轴的垂线交 l 于点 R , S ; ②用 x0 , y0 表示点 R , S 的坐标; ③求出 | P0 R |, | P0 S | ; ④利用勾股定理求出 | RS | ; ⑤根据面积相等,求出 | P0 Q |? | P0 R | ? | P0 S | . | RS | 运用规律、解决问题 例题 1.求点 P0 (?1,2) 到下列直线的距离: (1) y ? 10 ? 2 x ; (2) 3 x ? 2 解:(1)先将方程 y ? 10 ? 2 x 化为一般式为 2 x ? y ? 10 ? 0 , 由点到直线的距离公式得 d? | 2 ? (?1) ? 2 ? 10 | 2 ?1 2 2 ?2 5. (2) d ? | 3 ? (?1) ? 2 | 32 ? 0 2 ? 5 . 3 运用规律、解决问题 问题 4:在公式的推导过程中, A, B 可以为零吗? 我们得到的点到直线的距离公式中 A, B 是否可以为零? 例 2.已知点 A(1,3), B(3,1), C (?1,0) ,求△ ABC 的面积. 解:设 AB 边上的高为 h ,则 S ?ABC ? 1 | AB | h . 2 | AB |? (3 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2 . AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离. y ?3 x ?1 AB 边所在的直线方程为 ? , 1? 3 3 ?1 即x? y?4 ? 0. 点 C (?1,0) 到 x ? y ? 4 ? 0 的距离 h ? | ?1 ? 0 ? 4 | 1 ?1 2 2 ? 5 2 . 因此, S ?ABC ? 1 5 ?2 2? ? 5. 2 2 变练演编、深化提高 例题 3.已知直线 l1 : 2 x ? 7 y ? 8 ? 0 , l 2 : 6 x ? 21y ? 1 ? 0 , l1 与 l 2 是否平行?若平行,求 l1 与 l 2 间的距离. 解: l1 的斜率 k1 ? 2 6 2 ? . , l 2 的斜率 k 2 ? 7 21 7 8 1 l1 的纵截距 b1 ? ? , l 2 的纵截距 k 2 ? ? . 7 21 因为 k1 ? k 2 , b1 ? b2 ,所以 l1 ? l 2 . 求得 l1 与 x 的交点 A 的坐标为 ( 4,0) . 点 A 到直线 l 2 的距离 d ? 所以 l1 与 l 2 间的距离 | 6 ? 4 ? 21? 0 ? 1 6 2 ?212 ? 23 53 . 159 23 53 . 159 变练演编、深化提高 问题5:如何求两平行线之间的距离?为

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