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2009年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析

2009 年安徽省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分) (2009?安徽)i 是虚数单位,若 =a+bi(a,b∈R) ,则乘积 ab 的值是( )

A.﹣15 B.﹣3 C.3 D.15 【考点】复数相等的充要条件;复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题. 【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简 a 和 b 的值,即得乘积 ab 的值. 【解答】解:∵ = =

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,再依据两个复数相等的充要条件求出

=﹣1+3i

=a+bi,∴a=﹣1,b=3,∴ab=﹣1×3=﹣3. 故选 B. 【点评】本题考查两个复数相除的方法,以及两个复数相等的充要条件的应用. 2. (5 分) (2009?安徽)若集合 A={x||2x﹣1|<3},B={x| A.{x|﹣1<x<﹣ 或 2<x<3} B.{x|2<x<3} C.{x|﹣ <x<2} D.{x|﹣1<x<﹣ }
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<0},则 A∩B 是(



【考点】交集及其运算. 【专题】综合题. 【分析】集合 A 中的绝对值不等式可利用讨论 2x﹣1 的正负得到一个不等式组,求出不等 式组的解集即可得到集合 A;集合 B 中的其他不等式可转化为 2x+1 与 x﹣3 同号即同时为 正或同时为负得到两个不等式组,分别求出解集即可得到集合 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵|2x﹣1|<3, ∴﹣3<2x﹣1<3,即 ∴﹣1<x<2, 又∵ <0, ,

∴(2x+1) (x﹣3)>0,即





∴x>3 或 x<﹣ , ∴A∩B={x|﹣1<x<﹣ }.

1

故选 D 【点评】此题是以绝对值不等式和其他不等式的解法为平台,考查了求交集的运算,是一道 中档题.

3. (5 分) (2009?安徽)下列曲线中离心率为

的是(



A.

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题.

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【分析】通过验证法可得双曲线的方程为 【解答】解:选项 A 中 a= 选项 B 中 a=2,c= 选项 C 中 a=2,c= 选项 D 中 a=2,c= ,则 e= ,则 e= 则 e= ,b=2,c= 符合题意 不符合题意 ,不符合题意 =

时, ,e= 排除.



故选 B 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了双曲线方程中利用,a,b 和 c 的关系 求离心率问题. 4. (5 分) (2009?安徽)下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是( A.p:a+c>b+d,q:a>b 且 c>d
x



B.p:a>1,b>1,q:f(x)=a ﹣b(a>0,且 a≠1)的图象不过第二象限 2 C.p:x=1,q:x=x D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】由题意根据必要条件、充分条件和充要条件的定义对 ABCD 四个选项进行一一判 断,从而求解. 【解答】解:A、∵q:a>b 且 c>d,∴a+c>b+d,∴q?p,但 p 推不出 q,p 是 q 的必要不 充分条件,故 A 正确; x B、∵p:a>1,b>1,∴f(x)=a ﹣b(a>0,且 a≠1)的图象不过第二象限,但若 b=1,a >1 时 f(x)的图象也不过第二象限,q 推不出 p,∴p 是 q 的充分不必要条件,故 B 错误; 2 2 C、∵x=1,∴x=x ,但当 x=0 时,x=x ,也成立,q 推不出 p,∴p 是 q 的充分不必要条件, 故 C 错误; D、∵a>1,∴f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数,p 是 q 的充要条件, 故 D 错误; 故选 A.
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2

【点评】本小题主要考查了命题的基本关系及必要条件、充分条件和充要条件的定义,题中 的设问通过对不等关系的分析,考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度. 5. (5 分) (2009?安徽)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示{an} 的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是( ) A.21 B.20 C.19 D.18 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题. 【分析】写出前 n 项和的函数解析式,再求此式的最值是最直观的思路,但注意 n 取正整数 这一条件. 【解答】解:设{an}的公差为 d,由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105,即 a1+2d=35,① a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99,即 a1+3d=33,② 由①②联立得 a1=39,d=﹣2,
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∴Sn=39n+

×(﹣2)=﹣n +40n=﹣(n﹣20) +400,

2

2

故当 n=20 时,Sn 达到最大值 400. 故选:B. 【点评】 求等差数列前 n 项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题, 但注 意 n 取正整数这一条件. 6. (5 分) (2009?安徽)设 a<b,函数 y=(a﹣x) (x﹣b) 的图象可能是(
2



A.

B.
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C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】数形结合. 【分析】 根据所给函数式的特点, 知函数值的符号取决于 x 的值与 a 的值的大小关系, 当 x≥a 时,y≤0,当 x≤a 时,y≥0,据此即可解决问题. 2 【解答】解:∵y=(a﹣x) (x﹣b) ∴当 x≥a 时,y≤0, 故可排除 A、D; 又当 x≤a 时,y≥0, 故可排除 C; 故选 B. 【点评】本题主要考查了函数的图象,以及数形结合的数学思想方法,属于容易题.

7. (5 分) (2009?安徽)若不等式组 相等的两部分,则 k 的值是( )

所表示的平面区域被直线

分为面积

3

A.

B.

C.

D.
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【考点】简单线性规划的应用. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先根据约束条件: 意义求面积即可. 【解答】解:满足约束条件:

,画出可行域,求出可行域顶点的坐标,再利用几何

,平面区域如图示:

由图可知,直线 时,平面区域被直线

恒经过点 A(0, ) ,当直线 分为面积相等的两部分, 的方程得:

再经过 BC 的中点 D( , )

当 x= ,y= 时,代入直线 k= , 故选 A.

【点评】 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题. 8. (5 分) (2009?安徽)已知函数 f(x)= sinwx+coswx(w>0) ,y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x)的单调递增区间是( ) A.[kπ﹣ C.[kπ﹣ ,kπ+ ,kπ+ ],k∈Z ],k∈Z B.[kπ+ D.[kπ+ ,kπ+ ,kπ+ ],k∈Z ],k∈Z
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【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性.

4

【分析】先把函数化成 y=Asin(ωx+φ)的形式,再根据三角函数单调区间的求法可得答案. 【解答】解:f(x)= sinwx+coswx=2sin(wx+ ) , (w>0) .

∵f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,恰好是 f(x)的一个周期, ∴ =π,w=2.f(x)=2sin(2x+ ≤2x+ ) . ≤2kπ+ ,k∈Z.kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,

故其单调增区间应满足 2kπ﹣

故选 C. 【点评】本题主要考查三角函数单调区间的求法.求三角函数的周期、单调区间、最值都要 把函数化成 y=Asin(ωx+φ)的形式在进行解题. 9. (5 分) (2009?安徽)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(1+x)=2f(1﹣x)﹣x +3x+1,则曲 线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程是( ) A.x﹣y﹣2=0 B.x﹣y=0 C.3x+y﹣2=0 D.3x﹣y﹣2=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的几何意义. 【专题】压轴题. 【分析】对等式两边进行求导数,通过赋值求切线斜率;对等式赋值求切点坐标;据点斜式 写出直线方程. 2 【解答】解:∵f(1+x)=2f(1﹣x)﹣x +3x+1 ∴f′(1+x)=﹣2f′(1﹣x)﹣2x+3 ∴f′(1)=﹣2f′(1)+3 ∴f′(1)=1 2 f(1+x)=2f(1﹣x)﹣x +3x+1 ∴f(1)=2f(1)+1 ∴f(1)=﹣1 ∴切线方程为:y+1=x﹣1 即 x﹣y﹣2=0 故选 A 【点评】本题考查对数的几何意义,在切点处的对数值是切线斜率,求切线方程.
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2

10. (5 分) (2009?安徽)考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直 线, 乙也从这 6 个点种任意选两个点连成直线, 则所得的两条直线相互平行但不重合的概率 等于( ) A. B. C. D.
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【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;压轴题. 2 【分析】先用组合数公式求出甲乙从这 6 个点中任意选两个点连成直线的条数共有 C6 ,再 用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有 225 种, 利用正八面体找出相互平行但不重合共 有共 12 对,代入古典概型的概率公式求解. 2 【解答】解:甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,共有 C6 =15 条,乙也从这 6 个点中 任意选两个点连成直线, 2 共有 C6 =15 条,甲乙从中任选一条共有 15×15=225 种不同取法,

5

因正方体 6 个面的中心构成一个正八面体, 有六对相互平行但不重合的直线, 则甲乙两人所 得直线相互平行但不重合共有 12 对, 这是一个古典概型,所以所求概率为 = ,

故选 D. 【点评】 本题的考点是古典概型, 利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数, 再通过正方体 6 个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数,代入公式求 解. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. (5 分) (2009?安徽)若随机变量 X~N(μ,? ) ,则 P(X≤μ)= 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【专题】计算题;作图题.
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2



【分析】由正态分布的图象规律知,其在 x=μ 左侧一半的概率为 ,故得 P(ζ≤μ)的值. 【解答】解:∵ζ 服从正态分布 N(μ,? ) , 根据正态密度曲线的对称性可得 ∴曲线关于 x=μ 对称,P(X≤μ)= 选填: .
2

【点评】本题主要考查正态分布的图象,结合正态曲线,加深对正态密度函数的理解. 12. (2009?安徽)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取 相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为 (ρ∈R) ,它与曲线 (α 为

参数)相交于两点 A 和 B,则|AB|= . 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程. 【专题】直线与圆. 【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程,求出弦心距,再利用弦长公式求得弦 长|AB|的值.
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【解答】解:直线的极坐标方程为

(ρ∈R) ,化为直角坐标方程为 x﹣y=0.

6

曲线

(α 为参数)的普通方程为 (x﹣1) +(y﹣2) =4,表示以(1,2)

2

2

为圆心,半径等于 2 的圆. 求得弦心距 d= = ,故弦长为 2 =2 = ,

故答案为 . 【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置 关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于基础题. 13. (5 分) (2009?安徽)程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是 127 .

【考点】设计程序框图解决实际问题. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算 a 值,并输出满足条件 a>100 的第一个 a 值,模拟程序的运行过程,用 表格将程序运行过程中变量 a 的值的变化情况进行分析,不难给出答案. 【解答】解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: a 是否继续循环 循环前 1/ 第一圈 3 是 第二圈 7 是 第三圈 15 是 第四圈 31 是 第五圈 63 是 第六圈 127 否 故最后输出的 a 值为:127 故答案为:127 【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.
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7

14. (5 分) (2009?安徽)给定两个长度为 1 的平面向量



,它们的夹角为 120°.如图 =x +y ,其中 x,y∈R,

所示,点 C 在以 O 为圆心,以 1 半径的圆弧 AB 上变动.若 则 x+y 的最大值是 2 .

【考点】向量在几何中的应用. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】根据题意,建立坐标系,设出 A,B 点的坐标,并设∠AOC=α,则向量
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,且

=x

+y

,由向量相等,得 x,y 的值,从而求得 x+y 的

最值. 【解答】解:建立如图所示的坐标系, 则 A(1,0) ,B(cos120°,sin120°) , 即 B(﹣ , ) . =(cosα,sinα) . y)

设∠AOC=α,则 ∵ =x +y

=(x,0)+(﹣ ,

=(cosα,sinα).



∴x+y= sinα+cosα=2sin(α+30°) . ∵0°≤α≤120°.∴30°≤α+30°≤150°. ∴x+y 有最大值 2,当 α=60°时取最大值 2.答案:2

【点评】本题是向量的坐标表示的应用,结合图形,利用三角函数的性质,容易求出结果. 15. (5 分) (2009?安徽)对于四面体 ABCD,下列命题正确的序号是 ①④⑤ .
8

①相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△ BCD 的三条高线的交点; ③若分别作△ ABC 和△ ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所在直线异面; ④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点; ⑤最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱. 【考点】棱锥的结构特征. 【专题】常规题型;压轴题. 【分析】①根据三棱锥的结构特征判断.②根据对棱不一定相互垂直判断.③可由正四面 体时来判断. ④由棱中点两两连接构成平行四边形判断. ⑤根据两边之和大于第三边判断. 【解答】解:①根据三棱锥的结构特征知正确. ②因为只有对棱相互垂直才行,所以不一定,不正确. ③若分别作△ ABC 和△ ABD 的边 AB 上的高,若是正四面体时,则两直线相交,不正确. ④因为相对棱中点两两连接构成平行四边形,而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角 线,所以三条线段相交于一点,故正确. ⑤设图中 CD 是最长边. BC+BD>CD,AC+AD>CD 若 AC+BC≤CD 且 AD+BD≤CD 则 AC+AD+BC+BD≤CD+CD,矛盾 则命题成立. 故答案为:①④⑤
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【点评】本题主要考查三棱锥的结构特征,通过作高,取中点连线,来增加考查的难度,即 全面又灵活,是一道好题,属中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分) (2009?安徽)在△ ABC 中,sin(C﹣A)=1,sinB= . (Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)设 AC= ,求△ ABC 的面积. 【考点】解三角形. 【专题】计算题.
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【分析】 (I)利用 sin(C﹣A)=1,求出 A,C 关系,通过三角形内角和结合 sinB= ,求出 sinA 的值; (II)通过正弦定理,利用(I)及 AC=

,求出 BC,求出 sinC,然后求△ ABC 的面积. ,且 C+A=π﹣B,

【解答】解: (Ⅰ)因为 sin(C﹣A)=1,所以

9

∴ ∴ ∴

, , ,

又 sinA>0,∴ (Ⅱ)如图,由正弦定理得





又 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴

【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能 力. 17. (12 分) (2009?安徽)某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A 到过疫区.B 肯定是受 A 感染的.对于 C,因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的,于 是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是 .同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 .在 这种假定之下,B、C、 D 中直接受 A 感染的人数 x 就是一个随机变量.写出 x 的分布列 (不 要求写出计算过程) ,并求 x 的均值(即数学期望) . 【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【专题】概率与统计. 【分析】由题意知 X 的可能取值为 1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 x 的分布列 和 x 的均值. 【解答】解:由题意知 X 的可能取值为 1,2,3, 随机变量 X 的分布列是 X 1 2 3 P
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X 的均值为 EX=1× +2× +3× =



【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和均值的求法,是中档题,在历年高考中都是必 考题型.

10

18. (13 分) (2009?安徽)如图所示,四棱锥 F﹣ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线 AC=2,BD= .AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2. (1)求二面角 B﹣AF﹣D 的大小; (2)求四棱锥 E﹣ABCD 与四棱锥 F﹣ABCD 公共部分的体积.

【考点】与二面角有关的立体几何综合题;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题. 【分析】 (1)连接 AC、BD 交于菱形的中心 O,过 O 作 OG⊥AF,G 为垂足,连接 BG、 DG, 根据定义可知∠BGD 为二面角 B﹣AF﹣D 的平面角, 在三角形 BGD 中求出此角即可; (2)连接 EB、EC、ED,设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H,则四棱锥 E﹣ABCD 与四棱 锥 F﹣ABCD 的公共部分为四棱锥 H﹣ABCD,过 H 作 HP⊥平面 ABCD,P 为垂足,然后
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求出 HP,利用体积公式 V= S 菱形 ABCD?HP 求解即可. 【解答】解: (1)解:连接 AC、BD 交于菱形的中心 O,过 O 作 OG⊥AF,G 为垂足,连 接 BG、DG. 由 BD⊥AC,BD⊥CF 得 BD⊥平面 ACF,故 BD⊥AF. 于是 AF⊥平面 BGD,所以 BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD 为二面角 B﹣AF﹣D 的平面角. 由 FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC= 由 OB⊥OG,OB=OD= ,OG= . .

,得∠BGD=2∠BGO=

(2)解:连接 EB、EC、ED,设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H, 则四棱锥 E﹣ABCD 与四棱锥 F﹣ABCD 的公共部分为四棱锥 H﹣ABCD. 过 H 作 HP⊥平面 ABCD,P 为垂足. 因为 EA⊥平面 ABCD,FC⊥平面 ABCD, 所以平面 ACEF⊥平面 ABCD,从而 P∈AC,HP⊥AC. 由 + = + =1,得 HP= . , .

又因为 S 菱形 ABCD= AC?BD=

故四棱锥 H﹣ABCD 的体积 V= S 菱形 ABCD?HP=

【点评】 本题考查空间位置关系, 二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识. 考 查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力.

19. (12 分) (2009?安徽) 已知函数 的单调性.

, 讨论 f (x)

11

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;压轴题.

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【分析】先求出函数的定义域,然后求出导函数
2 2

,设 g

(x)=x ﹣ax+2,二次方程 g(x)=0 的判别式△ =a ﹣8,然后讨论△ 的正负,再进一步考 虑导函数的符号,从而求出函数的单调区间. 【解答】解:f(x)的定义域是(0,+∞) , 设 g(x)=x ﹣ax+2,二次方程 g(x)=0 的判别式△ =a ﹣8. ①当△ =a ﹣8<0,即 时,对一切 x>0 都有 f′(x)>0,此时 f(x)在(0,+∞) 上是增函数. 2 ②当△ =a ﹣8=0,即 时,仅对 有 f′(x)=0,对其余的 x>0 都有 f′(x)>0, 此时 f(x)在(0,+∞)上也是增函数. ③当△ =a ﹣8>0,即
2 2 2 2



时, , (x1,x2) _ 单调递减↘ x2 0 极小 ,0<x1<x2. (x2,+∞) + 单调递增 是上

方程 g(x)=0 有两个不同的实根 x (0,x1) f'(x) + f(x) 单调递增↗ 此时 f(x)在 x1 0 极大

上单调递增,在

单调递减,在

上单调递增.

【点评】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性, 同时考查了转化的能力和分类讨论的 数学思想,属于中档题.

20. (13 分) (2009?安徽) 点P (x0, y0) 在椭圆

(a>b>0) 上, x0=acosβ, y0=bsinβ,

0<

.直线 l2 与直线 l1:

垂直,O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 α,

直线 l2 的倾斜角为 γ (Ⅰ)证明:点 P 是椭圆 与直线 l1 的唯一交点;

(Ⅱ)证明:tanα,tanβ,tanγ 构成等比数列. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;等比关系的确定. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.

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【分析】 (Ⅰ)由 直线 l1 与椭圆有唯一交点 P. (Ⅱ)tanα= 列. 【解答】解: (Ⅰ)由

,得 y=

,从而 x=acosβ,由此能证明

= tanβ,由此得 tanαtanγ=tan β≠0,从而能证明 tanα,tanβ,tanγ 构成等比数

2

,得 y=



代入椭圆

,得



将 从而 x=acosβ,

,代入上式,得 x ﹣2acosβx+a cos β=0,

2

2

2



有唯一解



即直线 l1 与椭圆有唯一交点 P. (Ⅱ)tanα= = tanβ,

l1 的斜率为 tan
2

=



由此得 tanαtanγ=tan β≠0, ∴tanα,tanβ,tanγ 构成等比数列. 【点评】本题考查直线与椭圆有唯一交点的证明,考查 tanα,tanβ,tanγ 构成等比数列的证 明,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用. 21. (13 分) (2009?安徽)首项为正数的数列{an}满足 an+1= (an +3) ,n∈N+. (1)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n≥2,an 都是奇数; (2)若对一切 n∈N+都有 an+1>an,求 a1 的取值范围. 【考点】数列递推式;数列的函数特性. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (1)首先在 n=1 时,知 a1 为奇数,再利用归纳法证明对一切 n≥2,an 都是奇数; (2)先求出 an+1﹣an 的表达式,利用函数思想求解不等式 an+1﹣an>0,求出 an 取值范围, 利用归纳法求出 a1 的取值范围.
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2

13

【解答】 (1)证明:已知 a1 是奇数,假设 ak=2m﹣1 是奇数,其中 m 为正整数,则由递推 关系得 ak+1= =m(m﹣1)+1 是奇数.

根据数学归纳法,对任何 n≥2,an 都是奇数. (2)法一:由 an+1﹣an= (an﹣1) (an﹣3)知,an+1>an 当且仅当 an<1 或 an>3. 另一方面,若 0<ak<1,则 0<ak+1< 若 ak>3,则 ak+1> =3. =1;

根据数学归纳法得,0<a1<1?0<an<1,?n∈N+; a1>3?an>3,?n∈N+. 综上所述,对一切 n∈N+都有 an+1>an 的充要条件是 0<a1<1 或 a1>3. 法二:由 a2= >a1,得 a1 ﹣4a1+3>0,于是 0<a1<1 或 a1>3.
2

an+1﹣an=



=



因为 a1>0,an+1=

,所以所有的 an 均大于 0,

因此 an+1﹣an 与 an﹣an﹣1 同号. 根据数学归纳法,?n∈N+,an+1﹣an 与 a2﹣a1 同号. 因此,对一切 n∈N+都有 an+1>an 的充要条件是 0<a1<1 或 a1>3. 【点评】此题主要考查数学归纳法求解有关数列的问题时的应用.

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