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期权定价的二项式方法精选 课件_图文

期权定价的二项式方法
1). 定价原理 2). 二项式定价的基本过程 3). 期权定价的二项式公式 4). 二项式定价公式推导 5). 美式期权的定价

1). 定价原理
无套利定价原理:
具有相同收益不同头寸的价格应该相同。
在到期日现金流完全相同的两个组合,它们 期初的现金流必定也完全相同 (债券期货为 例).
期权在到期日的执行与否是不确定的,这种 不确定性使得在到期日的收益变得不确定, 因而难于直接利用无套利原理对期权进行 定价。

克服困难不确定性, 以便采用无套利原理对 期权进行定价:
二项式定价方法,
布莱克—舒尔斯定价方法,
蒙特卡罗模拟法。
二项式方法 (二叉树方法)
把整个持有期分成若干个时间区间, 并假定 在每个时间区间内股票的价格只有上升和 下降两种状态, 且价格上升和下降的百分比 也已知,这样可以得出股票在期权到期日有 限个确定的价格状态,从而克服了不确定性.

? 期权的价格就可以利用无套利原理从这有 限个确定的股票价格(期权的收益)来进行估 计.
? 表面看把股票价格的变动只有两种可能,现 实中,股票价格可是千变万化.不过我们可以 通过增加期数来扩大股票价格变动的范围.
时间区间分得越小, 在到期日确定的股票价 格状态越多, 计算越复杂,所得期权价格估计 越接近于真实的价格.

2). 二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权,股票现行的市场价格为30 元,期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%,要么下降 10%,市场的无风险利率为10%(年利率), 试确定该期权的价格。

33

2

1.025

30

?

27

1 0

1.025

(a)股票价格树

(b)期权价值树

(c)无风险收益树

股票价格树: 给出股票在不同阶段不同状态确 定的价格.
期权价值树: 根据股票在不同阶段不同状态确 定的价格以及期权确定的执行价格,给出期 权在相应状态的价值,其在初始状态的价值 就是要确定的期权价格.
无风险收益树: 无风险资产在不同阶段不同状 态的价格,这是进行无套利定价的标准.

? 无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无

风险资产的年收益率及每个阶段的时间长度

来确定. 在本例中,每阶段无风险资产的收益

率为

10%/4=0.025

确定期权的价格
无套利定价: 考虑组合
买入A股该股票和卖出该股票的一份买入期 权组成。
要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是 升还是降都应同无风险投资的收益相等。

? 买权未来价值是不确定的,有风险.买权和股票 组合可以消除这种风险.同时来考虑是否能从 中找到期权的价值.
? 如果按比例持有股票和卖出相应的期权,股票 上涨的收益可能被期权的损失弥补

首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的 收益在两种状态(价升或价降)下都相同。
如果股票价格上升至33元,组合在到期日 的价值为
33A? 2 ,
其中2是期权被执行后投资者的付出;
如果股票价格下降至27元,期权不被执行, 组合的价值为
27A 。
在到期日这两个值应相等,且应等于无风 险投资的收益。



33A? 2 ? 27A ,
解之得
A ?1/3 ,

即该组合应由买入1/3股该股票和卖出一份 该股票的买入期权组成。无论股票的价格 是升还是降,组合在期末的价值

33? 1 ? 2 ? 27 ? 1 ? 9

3

3

根据无套利原理,这就要求无风险投资在 期末的收益同为9元,因而期初用于无风险 投资的资金应为
9 ? e?0.1?0.25 ? 8.78
这也应该是期初用于投资组合的资金,由 此得
30? 1 ? C ? 8.78, C ?10 ?8.78 ?1.22
3
买入期权的价格应该定为1.22元

3). 期权定价的二项式公式
符号:
S0 股票在期初的价格,
SX 期权确定的执行价格,
u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子
d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益
r 年无风险收益率
T 期权的期限

Ru ? max{ S0 (1 ? u) ? S X ,0}
期权在股票价格上升状态下的收益
Ru ? max{ S0 (1? u) ? S X ,0}
期权在股票价格下降状态下的收益
Rd ? max{S0 (1? d) ? SX , 0} 构建一个组合,买入A股股票,卖出一份买 入期权组成,要求在期权到期日无论何种 情况出现,组合的价值相同
AS0 (1 ? u) ? Ru ? AS0 (1 ? d ) ? Rd A ? Ru ? Rd
S0 (u ? d )

根据无套利原理,买入期权的价格C应满足方 程
S0 A ? C ? [ AS0 (1 ? u) ? Ru ]e?rT

将A代入得

C ? e?rT [?Rd ? (1 ? ? )Ru ]

? ? ? erT ? (1 ? u) ? u ? (er T ?1)

u?d

u?d

qu ? e?rT (`1? ? ) 市场的上升状态价格因子 qd ? e?rT ? 市场的下降状态价格因子
C ? qu Ru ? qd Rd
? qu max{ S0 (1? u) ? S X ,0} ? qd max{ S0 (1? d) ? S X ,0}
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关,而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。

对上述例子的应用

? ? u ? (erT ?1) ? 0.1 ? (e0.025 ?1) ? 0.37342

u?d

0.2

qu ? e?rT (1 ? ? ) ? e?0.025 ? 0.62658 ? 0.611111
qd ? e?rT ? ? e?0.025 ? 0.37342 ? 0.36420

Ru ? 2, Rd ? 0

C ? qu Ru ? qd Rd ? 0.611111? 2 ? 1.22.

在期权价值树上进行计算

qu Ru
C

2
0.61111
1.22

qd Rd

0.3642

0

计算期权价格的价格树(二叉树)

四个时段的情形
考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权,设股票的现行价格为S0 ? 60元, 期权确定的执行价格为 SX ? 6。5元设把期权 的有效期分为时间相同的4个阶段,预计股 票价格在每阶段要么上升10%,要么下降 5%,每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.

生成股票价格树
72.6

79.86

87.846 75.867

66

68.97

60

62.7

65.5215

57

59.565

54.15

56.5868

51.4425

股票价格树

48.8704

到第四阶段末,即期权的到期日,股票价格已经有 5个状态。如果我们把整个有效期分成n个阶段,那 么到期权的到期日(最后一个阶段末),股票价格将 有n+1个可能的状态。

计算相关数据

u ? (e rT ? 1) 0.1 ? (e 0.05 ? 1)

??

?

? 0.324859

u?d

0.1 ? 0.05

qu ? e?rT (1 ? ? ) ? e?0.05 (1 ? 0.324859) ? 0.642214

qd ? e?rT ? ? 0.309016

根据期权确定的执行价格以及股票在最后 阶段不同状态的价格,计算期权在最后阶 段各状态的价值 .

计算期权在不同状 态的价值
13.79

18.03

22.846 10.867

10.3 7.57
3.08

7.14 4.69
0.33 0.22
0.0
期权价格树

0.5215 0 0

4). 二项式定价公式推导
对于第3阶段各状态的期权价值有
18.03 ? qu max{ S0 (1 ? u)4 ? S X ,0} ? qd max{ S0 (1 ? u)3 (1 ? d ) ? S X ,0}
7.14 ? qu max{ S0 (1 ? u)3 (1? d) ? S X ,0} ? qd max{ S0 (1? u)2 (1 ? d )2 ? S X ,0} 0.33 ? qu max{ S0 (1 ? u)2 (1? d )2 ? S X ,0} ? qd max{ S0 (1? u)(1? d )3 ? S X ,0}
0 ? qu max{ S0 (1 ? u)3 (1? d ) ? S X ,0} ? qd max{ S0 (1 ? d)4 ? S X ,0}
对于第2阶段各状态期权价值有
13.7 ? qu18.03 ? qd 7.14 ? qu2 max{ S0 (1? u)4 ? S X ,0} ?
2qu qd max{ S0 (1 ? u)3 (1 ? d ) ? S X ,0} ? qd2 max{ S0 (1 ? u)2 (1 ? d )2 ? S X ,0}

4.69 ? qu 7.14 ? qd 0.33 ? qu2 max{ S0 (1? u)3 (1? d ) ? S X ,0} ?
2qu qd max{ S0 (1 ? u)2 (1 ? d )2 ? S X ,0} ? qd2 max{ S0 (1 ? u)(1 ? d )3 ? S X ,0}
0.22 ? qu 0.33 ? qd 0 ? qu2 max{ S0 (1 ? u)2 (1 ? d )2 ? S X ,0}
? 2qu qd max{ S0 (1 ? u)(1 ? d )3 ? S X ,0} ? qd2 max{ S0 (1 ? d )4 ? S X ,0}
对于第1阶段各状态的期权价值有
10.3 ? qu13.7 ? qd 4.69 ? qu3 max{S0(1? u)4 ? SX , 0} ? 3qu2qd max{S0(1? u)3(1? d) ? SX , 0} ? 3qu qd2 max{ S0 (1 ? u)2 (1 ? d )2 ? S X ,0} ? qd3 max{ S0 (1 ? u)(1 ? d )3 ? S X ,0}
3.08 ? qu 4.69 ? qd 0.22 ? qu3 max{ S0 (1 ? u)3 (1 ? d ) ? S X ,0} ? 3qu2qd max{ S0 (1 ? u)2 (1 ? d )
? S X ,0} ? 3qu qd2 max{ S0 (1 ? u)(1 ? d )3 ? S X ,0 ? qd3 max{ S0 (1 ? d )4 ? S X ,0}

期初的价值(期权的价格)

C ? 7.57 ? qu10.3 ? qd 3.08 ? qu4 max{ S0 (1? u)4 ? S X ,0} ? 4qu3qd max{ S0 (1 ? u)3 (1 ? d ) ? S X ,0} ? 6qu2qd2 max{ S0 (1 ? u)2 (1 ? d )2 ? S X ,0} ? 4qu qd3 max{ S0 (1 ? u)(1 ? d )3

? S X ,0} ? qd4 max{ S0 (1 ? d )4 ? S X ,0}

? ?

4 i?0

????

4 i

???qu4?i ?

qdi

max{ S0 (1 ? u)4?i (1 ?

d)i

?

SX

,0}

? ? ?

4 i

? ? ?

?

(4

4! , ? i)!i!

i

?

0,1,

2,

3,

4

0! ? 1

把持有期分成n个相同时段的情形
假定每阶段内股票价格上升或下降的因子 相同 ,无风险收益率相同.

? C

?

n i?0

????

n i

????qun?i

qdi

max{ S0 (1 ? u)n?i (1 ?

d)i

?

SX

,0}

? ? ?

n i

? ? ?

?

(n

n! ? i)!i!

?

n

?

(n i

?1) ? ? (i ?1)

? ?

(n ? i ?1

?1)

,

n

?

0,1,

,n

欧式卖出期权的二项式定价公式

? P

?

n i?0

? ? ?

n i

? ? ?

qn?i u

qdi

max{SX

? S0 (1? u)n?i (1? d )i , 0}

例7:计算在下列股票上执行期限为一年的欧
式买入和卖出期权的价格,已知该股票的现行 价格为60元,无风险年收益率为5%,买入期 权的执行价格为62元,卖出期权确定的执行价 格为61元。设把执行期限等分为两个阶段,经 估计得每阶段股票价格要么上升8%,要么下 降4%。

首先计算 相关参数

? ? u ? (erT / 2 ?1) ? 0.8 ? (e0.05/ 2 ?1) ? 0.4557

u?d

0.08 ? 0.04

qu ? e?rT / 2 (1 ? ? ) ? e?0.025(1 ? 0.4557) ? 0.5309,

qd ? e?rT / 2 ? ? 0.4445
对于买入期权
max{ S0 (1? u)2 ? S X ,0} ? max{69.984 ? 62,0} ? 7.984,
max{ S0 (1? u)(1? d) ? S X ,0} ? max{62.208 ? 62,0} ? 0.208
max{ S0 (1? d)2 ? S X ,0} ? max{55.296 ? 62,0} ? 0
C ? qu2 7.984 ? 2qu qd 0.208 ? qd2 0 ? 2.35

对于卖出期权
max{ S X ? S0 (1? u)2 ,0} ? max{61? 69.984,0} ? 0
max{ SX ? S0 (1? u)(1? d),0} ? max{61? 62.208,0} ? 0 max{ S X ? S0 (1? d)2 ,0} ? max{61? 55.296,0} ? 5.704
P ? qu2 0 ? 2qu qd 0 ? qd2 5.704 ? 1.13

参数计算的简化
设每个阶段的无风险收益率 r ? rT / n 则有
erT / n ?1 ? er ?1 ? r , e?rT / n ? 1/(1 ? r )

? ? ? erT /n ? (1? u) ? u ? (er T /n ?1)? u ? r

u?d

u?d

u?d

qu

?

e?rT / n (`1? ? )

?

r?d (1? r)(u ? d )

qd

?

e?rT / n ?

?

u?r (1? r)(u ? d )

在一般情况下,假定无风险收益率是几何收 益率,则无风险资产在每个时段的收益率 为
r ? er?t ?1
?t ? T / n 为每个时段的时间长度 又可设股票价格的上升与下降幅度完全由其
价格的波动率 ? 确定,则价格在每个时段
的上升因子和下降因子为
u ? e??t ? 1 d ? e???t ?1

分别将它们代入得

qu

?

r ?d (1? r )(u ? d)

?

er?t ? e???t er?t (e??t ? e???t )

u?r

e??t ? er?t

qd ? (1? r )(u ? d ) ? er?t (e??t ? e???t )

例:右表给出了某股票过去15 周(包括本周)的收盘价.现
在有一以该股票为标的资 产,期限为3个月(13周),执 行价格为7.5元的欧式买入 期权,已知无风险资产的年 收益率为6%,试把期限分成 13个时段,用二项式方法计 算该期权的价格.

计算过程:
(1)先估计股票价格的波动性,
(2) 计算二项式公式中的上升状态因子和下降 状态因子,
(3)计算股票在期权到期日各状态的价格,以及 期权在到期日各状态的价值,
(4) 利用二项式公式计算期权的价格.

计算结果

5). 美式期权的定价
买入期权: 用欧式买入期权的定价公式或方法. 卖出期权: 由于在某些状态下,提前执行会优
于继续持有期权,因此在美式卖出期权定价 的价格树上需要确定期权在每一个结点状态 的价值时都要对持有期权的价值和执行期权 的价值加以比较,并选取其中的大者作为期 权在该结点的价值.

Vt ? max{VtM ,VtEX }
Vt 表示期权在时间t的某状态结点处的价值
VtM 期权在该状态结点的市场价值,即持有 期权的价值
VtM ? quVRUP ? qdVRDW VRUP期权在该结点的右端上方相邻结点的价值 VRDW 期权在该结点的右端下方相邻结点的价值

VtEX 期权在该结点提前执行的价值
VtEX ? max{ S X ? St ,0}
上述三式结合得出期权在期权价格树上某结 点处的价值
Vt ? max{quVRUP ? qdVRDW , max{ S X ? St ,0}}

美式卖出期权定价的例:
S0 ? 60, SX ? 61,T ? 2
r ? 5%,u ? 10%, d ? ?3%

qu

?

(1?

r?d r)(u ? d)

?

0.05 ? 0.03 (1? 0.05)(0.1? 0.03)

?

0.5861

u?r

0.1? 0.05

qd ? (1 ? r)(u ? d ) ? (1? 0.05)(0.1? 0.03) ? 0.3663

66
60 57

72.6 62.7 54.15

二阶段股票价格树

0.0 ? max{max{61? 66,0},0.5861*0 ? 0.3663*0}

美式卖出期 权价格树

0.00
1.47
4.0

0.00 0 ? max{61? 72.6, 0}
0.00 0 ? max{61? 62.7, 0}
6.85 6.85 ? max{61? 54.15,0}

4.0 ? max{max{61? 57, 0}, 0.5861*0 ? 0.3663*6.85} ? max{4, 2.51}

1.47 ? max{max{61? 60,0},0.5861*0 ? 0.3663*4} ? max{1,1.47}


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