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高考专题辅导与测试第1部分 专题七 第二讲 坐标系与参数方程(选修4-4)_图文

质量铸就品牌 品质赢得未来

第1部分

专题七

选修4系列

数 学

质量铸就品牌 品质赢得未来

第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

第二讲 坐标系与参数方程?选修4-4?

考点统计
极坐标方程 及其应用 参数方程及 其应用

考情分析
坐标系与参数方程是新课标选考内容之一, 高考对本讲内容的考查主要有:

(1)直线与圆的极坐标方程以及极坐标与直
角坐标系的互化,如2013年广东T14,2013年新课

极坐标与参 标全国卷ⅠT23. (2)直线、圆与圆锥曲线的参数方程以及参 数方程的综

合应用
数 学

数方程与普通方程的互化.

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

1.(2013· 安徽高考改编)在极坐标系中,求圆 ρ=2cos θ 的垂直 于极轴的两条切线方程.

解:由 ρ=2cos θ,可得圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 所以垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x=0 和 x=2,即所 π 求垂直于极轴的两条切线方程分别为 θ= (ρ∈R)和 ρcos θ= 2 2.
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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

2.(2013· 湖南高考改编)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:
?x=t, ? ? ?y=t-a ?

(t 为参数)过椭圆

?x=3cos φ, ? ? C: ?y=2sin φ ?

(φ 为参数)的右

顶点,求常数 a 的值.

解: 由直线 l

?x=t, ? 的参数方程? ?y=t-a ?

消去 t 得直线 l 的一般方

x2 y2 程为 y=x-a, 由椭圆参数方程得 + =1, 右顶点为(3,0), 9 4 又因为直线 l 过椭圆的右顶点,所以 3-a=0,即 a=3.

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

3 . (2013· 东 高 考 改 编 ) 已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 广
?x= ? ? ?y= ?

2cos t, 2sin t

(t 为参数),C 在点(1,1)处的切线为 l,以坐

标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求 l 的极坐标方程. 解: 曲线 C 的普通方程为 x2+y2= ( 2 cos t)2+( 2 sin t)2
=2(cos2t+sin2t)=2, 由圆的知识可知, 圆心(0,0)与切点(1,1) 的连线垂直于切线 l,从而 l 的斜率为-1,由点斜式可得 直线 l 的方程为 y-1=-(x-1), x+y-2=0.把 x=ρcos 即 θ, y=ρsin θ 代入直线 l 的方程可得 l 的极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ-2=0.
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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

4 . (2013· 课 标 全 国 卷 Ⅰ ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 新
?x=4+5cos t, ? ? ?y=5+5sin t ?

(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ= 2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

?x=4+5cos t, ? 解:(1)将? ?y=5+5sin t ?

消去参数 t,化为普通方程(x-4)2

+(y-5)2=25,即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
?x=ρcos θ, ? 将? ?y=ρsin θ ?

代入 x2+y2-8x-10y+16=0,

得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

(2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.
?x2+y2-8x-10y+16=0, ? 由? 2 2 ?x +y -2y=0, ? ?x=1, ? 解得? ?y=1 ? ?x=0, ? 或? ?y=2. ?

所以 C1 与

? C2 交点的极坐标分别为? ?

π ? ? π? 2, ?,?2, ?. 4? ? 2?

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

5.(2013· 福建高考)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为
? ? ? ? π? π? 2, ?,直线 l 的极坐标方程为 ρcos?θ- ?=a,且点 A 在 4? 4? ?

直线 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (2)圆 C
?x=1+cos ? 的参数方程为? ?y=sin α ?

α,

(α 为参数), 试判断直

线 l 与圆 C 的位置关系.
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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

解:(1)由点 可得 a= 2.

? A? ?

? π? π? 2, ?在直线 ρcos?θ- ?=a 上, 4? 4? ?

所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r=1, 1 2 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= = <1, 2 2 所以直线 l 与圆 C 相交.
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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴, 并在两坐标系中取相同的长度单位.设 M 是平面内任意一
?x=ρcos θ, ? 点, 它的直角坐标是(x, 极坐标是(ρ, 则? y), θ), ?y=ρsin θ, ?

?ρ2=x2+y2, ? ? y ?tan θ=x?x≠0?. ?
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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

2.圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0, 0), θ 半径为 r, 则圆的方程为: 2-2ρ0ρcos(θ ρ -θ0)+ρ2-r2=0. 0 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)当圆心位于 M(a,0),半径为 a:ρ=2acos θ; (3)当圆心位于
? π? M?a,2 ?,半径为 ? ?

a:ρ=2asin θ.

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

3.直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为 α,则它的 方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点:θ=θ0 和 θ=π-θ0; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; (3)直线过
? π? M?b,2 ?且平行于极轴:ρsin ? ?

θ=b.

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

4.几种常见曲线的参数方程 (1)圆 以 O′(a , b) 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 的 参 数 方 程 是
?x=a+rcos α, ? ? ?y=b+rsin α, ?

其中 α 是参数.

?x=rcos α, ? 当圆心在(0,0)时,方程为? ?y=rsin α, ?

其中 α 是参数.

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

(2)椭圆
?x=acos φ, ? x2 y2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是? 其中 φ 是 a b ?y=bsin φ, ?

参数.
?x=bcos φ, ? x2 y2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是? 其中 φ 是 b a ?y=asin φ, ?

参数. (3)直线 经 过 点 P0(x0 , y0) , 倾 斜 角 为 α 的 直 线 的 参 数 方 程 是
?x=x0+tcos α, ? ? ?y=y0+tsin α, ?

其中 t 是参数.

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

极坐标方程及其应用
[例 1]
? π? (1)(2013· 北京高考改编)在极坐标系中,求点?2,6 ? ? ?

到直线 ρsin θ=2 的距离. (2)已知点 P(1+cos α,sin α),参数 α∈[0,π],点 Q 在曲 线 C:ρ= 上. ? π? 2sin?θ+4 ? ? ? 9

①求点 P 的轨迹方程和曲线 C 的直角坐标方程; ②求点 P 与点 Q 之间距离的最小值.
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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

[自主解答]

? π? (1)极坐标系中点 ?2,6 ? 对应的直角坐标为 ? ?

( 3,1),直线 ρsin θ=2 对应的直线方程为 y=2,所以点到直 线的距离为 1.
?x=1+cos α, ? (2)①由? ?y=sin α, ?

消去 α,

得点 P 的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(y≥0),

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

9 又由 ρ= ,得 ρ= , ? π? sin θ+cos θ 2sin?θ+4 ? ? ? 所以 ρsin θ+ρcos θ=9. 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x+y=9. ②因为半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的圆心(1,0)到直线 x+y =9 的距离为 4 2, 所以|PQ|min=4 2-1.

9

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

——————————规律· 总结————————————

研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化. 当 条件涉及到角度和到定点距离时, 引入极坐标系会对问题的解 决带来很大方便.
———————————————————————————

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

1.在极坐标系 Ox 中,已知点

? ? α? α? ? π? A?1,2 ?,B?1,-2 ? ?0<α ?,求过 2? ? ? ? ? ?

AB 的中点,且与 OA 垂直的直线的极坐标方程.

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

解:设 AB 的中点为 C, α 则|OC|=cos , 2 过 C 作 CD⊥OA 于 D. α 2 α 则|OD|=|OC|· cos =cos . 2 2 α 设 M(ρ,θ)是直线 CD 上的任意一点,则∠MOD=θ- , 2
? α? 在△MOD 中,|OD|=|OM|cos?θ-2 ?, ? ? ? α? α ?θ- ?, 即 cos =ρcos 2? 2 ?
2

? α? α 所以直线 CD 的极坐标方程为 cos =ρcos?θ-2 ?. 2 ? ?
2

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

参数方程及其应用

[例 2]

(2013· 郑州模拟)已知直线
?x=cos θ, ? C2:? ?y=sin θ ?

?x=1+tcos ? ? C1: ?y=tsin α ?

α,

(t

为参数),曲线

(θ 为参数).

π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中 点,当 α 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么 曲线?
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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

[自主解答]

π (1)当 α= 时, 1 的普通方程为 y= 3(x-1), C 3

C2 的普通方程为 x2+y2=1,
?y= 3?x-1?, ? 联立方程组? 2 2 ?x +y =1, ?

解得 C1 与

?1 C2 的交点坐标为(1,0),? ,- ?2 ?

3? ? . 2? ?

(2)C1 的普通方程为 xsin α-ycos α-sin α=0, A 点坐标为(sin2α,-sin αcos α),

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 ? 1 2 ?x=2sin α, ? ?y=-1sin αcos α 2 ? P

(α 为参数),

? 1 ?2 2 1 点轨迹的普通方程为?x-4? +y = , 16 ? ? ?1 ? 1 ? ,0?,半径为 的圆. 点的轨迹是圆心为 4 4 ? ?

故P

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

——————————规律· 总结————————————
在解答参数方程的有关问题时常用的方法 (1)将参数方程化为普通方程,再利用相关知识解决,注 意消参后 x,y 的取值范围. (2)观察参数方程有什么几何意义,利用参数的几何意义 解题. ——————————————————————————

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

2.已知直线 l

?x=4-2t, ? 的参数方程为? ?y=t-2 ?

(t 为参数),P 是椭圆

x2 2 +y =1 上任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最大值. 4
解:由于直线 l
?x=4-2t, ? 的参数方程为? ?y=t-2 ?

(t 为参数),

故直线 l 的普通方程为 x+2y=0.

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

x2 2 因为 P 为椭圆 +y =1 上的任意一点, 4 故可设 P(2cos θ,sin θ),其中 θ∈R. 因此点 P 到直线 l 的距离是 |2cos θ+2sin θ| 2 d= = 2 2 1 +2
? ? π?? 2?sin?θ+4 ?? ? ? ??

5



π 2 10 所以当 θ=kπ+ ,k∈Z 时,d 取得最大值 . 4 5

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

极坐标方程与参数方程的综合应用
[例 3] (2013· 辽宁高考)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分 别为 ρ=4sin
? π? θ,ρcos?θ-4 ?=2 ? ?

2.

(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直 ?x=t3+a, ? 线 PQ 的参数方程为? b 3 (t∈R 为参数),求 a,b 的值. ?y=2t +1 ?
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坐标系与参数方程(选修4-4)

[自主解答]

(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4,

直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.
?x2+?y-2?2=4, ? 解? ?x+y-4=0, ? ?x =0, ? 1 得? ?y1=4, ? ?x =2, ? 2 ? ?y2=2. ?

所以 C1 与

? π? ? C2 交点的极坐标为?4,2 ?,?2 ? ? ?

π? 2, ?. 4?

注:极坐标系下点的表示不唯一.

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

(2)由(1)可得, 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2), P (1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0, b ab 由参数方程可得 y= x- +1. 2 2 ?b ?2=1, 所以? ?-ab+1=2, ? 2

解得 a=-1,b=2.

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坐标系与参数方程(选修4-4)

——————————规律· 总结———————————— 对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目,可先同时将它

们转化为直角坐标方程求解.
———————————————————————————

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

3. 在直角坐标系 xOy 中, 曲线

?x= 3cos ? C1 的参数方程为? ?y=sin α ?

α,

(α 为参数),以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为
? π? ρsin?θ+4 ?=4 ? ?

2.

(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上的动点, 求点 P 到 C2 上点的距离的最小 值,并求此时点 P 的坐标.

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

?x ? =cos α, 解: (1)对于曲线 C1 有? 3 ?y=sin α ? x2 2 =1.即 C1 的普通方程为 +y =1. 3 对于曲线 C2 有
? π? ρsin?θ+4 ?= ? ?

? ?? ? ?

x ?2 2 ? +y =cos2α+sin2α 3? ?

2 ρ(cos θ+sin θ)=4 2?ρcos θ+ 2

ρsin θ=8?x+y-8=0,所以 C2 的直角坐标方程为 x+y-8= 0.

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第二讲

坐标系与参数方程(选修4-4)

(2)显然椭圆 C1 与直线 C2 无公共点,椭圆上点 P( 3cos α,sin α)到直线 x+y-8=0 的距离为 | 3cos α+sin α-8| d= = 2 当
? π? sin?α+3?=1 ? ? ? ? ? π? ?2sin?α+ ?-8? 3? ? ? ?

2



时,d 取最小值为 3 2,此时点 P 的坐标为

?3 1? ? , ?. ?2 2?

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坐标系与参数方程(选修4-4)

预测演练提能

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