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教育部课题正弦定理课件_图文

教育部重点课题新教育子课题

《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》

温州市瓯海区三溪中学 张明

第一章:解三角形

1.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 . 高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢?

(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?
B

A

我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.

我们知道在三角形中知道大角对大边,大边 对大角,小角对小边,小边对小角。这是从宏观 定性角度描述的一个有关三角形的性质。如果从 微观定量角度(即要大大多少要小小多少)来分 析有什么结论? 答:这就是正弦定理,那正弦定理到底是个什 么东西?

1.1.1 正弦定理 2.定理的推导
回忆一下直角三角形的边角关系? a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗?
B c a

A
b C

a b ? ?c sin A sin B sin C ? 1

a b c ? ? sin A sin B sin C

思考: 对一般的三角形,这个结论还能成立吗?

大自然是和谐美的有秩序的不是杂乱无章的。所 以推测对任意三角形都成立。

1.1.1 正弦定理
(1)当 ?ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢? C 如图:作AB上的高是CD,根椐 E 三角形的定义,得到 b a CD ? a sin B, CD ? b sin A A 所以 a sin B ? b sin A B D a b c
得到 sin A ? sin B

b c 同理, AE ? BC .有 作 ? sin B sin C a b c ? ? ? sin A sin B sin C

1.1.1 正弦定理

(2)当 ?ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C

b
a
D A

B

c

4、一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的 对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫解三角形

1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所 对角的正弦的比相等,即
a b c   ? ? sin A sin B sin C

定理对解三角形有什么作用: 含三角形的三边及三内角,由己知二角一边 或二边一角可表示其它的边和角

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
1、A+B+C=π 2、大角对大边,大边对大角,小角对 小边,小边对小角。

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
3、正弦定理可以解决三角形中的问题: ① 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其他的边和角

② 已知两角和一边,求其他角和边 这些结论要不要去死记硬背?答:根据定理自 然得出

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
5、正弦定理的变形形式和外接圆半径 的关系
板演

a b c ? ? =2R sin A sin B sin C
问题:正弦定理是很美很漂亮的。正弦定理是三 角形大角对大边,大边对大角,小角对小边,小 边对小角的一个非常漂亮的精确的描述与认识但 还有个担心就是sinA>sinB就能A>B吗?如果不是 那这个美好的大自然就是不完美了,被破坏了

幸亏我们发现当A、B是三角形的两个内角时, sinA>sinB推出A>B,我们松了口气 我上课总告诉你们,世界是美好的,我想纠 正一下,大自然是美好的,人类不美好。这个世 界有战争、瘟疫、贫穷、疾病。有强者欺负弱者, 有政府欺负百姓。我还是更喜欢大自然对社会一 般般。我希望的社会也像大自然一样美好、和谐、 漂亮,有正弦定理与余弦定理的美。

1.1.1 正弦定理
3.定理的应用举例 例1 在?ABC 已知 解三角形. 变式:若将a=2 改为c=2,结果如何? 通过例题你发现了什么一般性结论吗?
A ? 300 , B ? 1350 , a ? 2

,

小结:知道三角形的两个内角和任何一边,利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。且 只有一解

例 2、 已知a=16, b= 16 3, A=30° . 已知两边和其中一边 解三角形 的对角,求其他边和角 a b 解:由正弦定理 ? C
sin A sin B
b sin A 16 3 sin 30? 3 ? ? 得 sin B ? a 16 2
16 3
300

16

16

所以B=60°,或B=120° 当 B=60°时
C=90°

A

B

B 8 3

c ? 32.
a sin C c? ? 16 . sin A

当B=120°时 C=30°

变式: a=30, b=26, A=30°,解三角形
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B b sin A 26 sin 30? 13 ? ? 得 sin B ? a 30 30 A
C
26
300

30

B

所以B=25.70, 或B=1800-25.70=154.30
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 (如图) C=124.30,
a sin C c? ? 49.57 sin A
13 sin 25.7 ? 30
?

小结:已知两边和其中一边的对角,可以求出 三角形的其他的边和角。

1.1.1 正弦定理
4.基础练习题

(1)在?ABC中,已知 A ? 450 , a ? 2, b ? 2, 求B
B=300 10 3 0 (2)在?ABC中,已知A ? 60 , a ? 4, b ? , 求B 3
无解

1.1.1 正弦定理
小结: ? 正弦定理 ? 主要应用

a b c ? ? sin A sin B sin C

(1) 已知两角及任意一边,可以求出其他两边 和另一角; (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、 无解)

已知边a,b和角A,求其他边和角.

A为锐角
C b A a A C b a B b C a B1 A C

b

a




B2

a<bsinA 无解
C b A a

a=bsinA 一解
C b B A

bsinA<a<b 两解

a≥b 一解

A为直角或钝角
a

a>b 一解

a≤b 无解

课后探究: (1)你还可以用其它方法证明 正弦定理吗?

1.1.1 正弦定理
5.探究课题引入时问题(2)的解决方法
B

c

A

?

?

b

C

bsinβ AB = sin(α + β)


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