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2013年哈三中高考二模考试文科数学参考答案


2013 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试 数学试卷(文史类)答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 B 5 B 6 C 7 C 8 D 9 C 10 B 11 C 12 D

二、填空题: 13.
?1

14.

2

15.

?0 ,1 ?

16.

? 2 ,3 ?

三、解答题: 17. (Ⅰ)整理得 a n ? a n ?1 ? 2 又 a1 ? 1 得 a n ? 2 n ? 1
1 1 1 2n ? 1

……………………………… ………………………………

4分 6分

(Ⅱ) 由(1)知

bn ?

2 2n ? 1

(

?

) ……………………………

8分

所以 T n ?

n 2n ? 1

……………………………………

12 分

18. (Ⅰ) 第六组 p ? 0 . 08 第七组 p ? 0 . 06 估计人数为 180

··············2 分 ············· ············· 分 ·············4 ············· 分 ·············6

(Ⅱ) 设 [185 ,190 ] 组中三人为 a , b , c ; [190 ,195 ] 组中两人为 m , n 则所有的可能性为 ? a , b ? , ? a , c ? , ?b , c ? , ? m , n ? , ? a , m ? , ? a , n ? , ?b , m ? , ?b , n ? ,

?c , m ? , ?c , n ?

············· 分 ·············8

其中满足条件的为 ? a , b ? , ? a , c ? , ?b , c ? , ? m , n ? ··········10 分 ········· 故p ?
4 10 ? 2 5

·········· 12 分 ·········

19.(Ⅰ)? AB // CD , CD ? AD , AD ? CD ? 2 AB ? 2 , F 分别为 CD 的中点,

? ABFD

为矩形, AB ? BF

········· 2 分 ········

? DE ? EC ,? DC ? EF ,又 AB // CD ,? AB ? EF

? BF ? EF ? E ,? AE ? 面 BEF , AE ? 面 ABE ,

? 平面 ABE ⊥平面 BEF

··········· 4 分 ··········

(Ⅱ) ? DE ? EC ,? DC ? EF ,又 PD // EF , AB // CD ,? AB ? PD 又 AB ? PD ,所以 AB ? 面 PAD , AB ? PA , PA ? 面 ABCD ····· 分 ·····6 三棱锥 B ? PED 的体积 V = V B ? CED ? V E ? BCD
1 2 a 2

S ? BCD ?

? 2 ? 2 ? 2 ,到面 BCD 的距离 h ?

V B ? PED ? V E ? BCD =

1 3

?2?

a 2

?

a 3

?[

2 5 15

,

2 15 15

····· ] ······ 10 分

可得 a ? [

2 5 5

,

2 15 5

······ ] . ·······12 分

? 3 ? 2 a ? 2 20. (Ⅰ)由已知 ? a ? ? ?

?1 2 4b 2 2 x y 2 2 ? b ?c 得 a 2 ? 4 , b 2 ? 3 ,方程为 ····· ? ? 1 ······3 分 4 3 c 1 ? a 2

?

3

(Ⅱ)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 P (

x1 2

,

y1 3

), Q (

x2 2

,

y2 3

)

(1)当直线 l 的斜率存在时,设方程为 y ? kx ? m
? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 2 y 联立得: ( 3 ? 4 k ) x ? 8 kmx ? 4 ( m ? 3 ) ? 0 ?x ? ?1 ? 4 3 ?

? ? ? ? 48 ( 3 ? 4 k 2 ? m 2 ) ? 0 ? ? 8 km ? x1 ? x 2 ? 有? 2 3 ? 4k ? 2 4 ( m ? 3) ? x1 x 2 ? 2 ? 3 ? 4k ?



由以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O 可得: 3 x 1 x 2 ? 4 y 1 y 2 ? 0 · 整理得: ( 3 ? 4 k 2 ) x 1 x 2 ? 4 km ( x 1 ? x 2 ) ? 4 m 2 ? 0 将①式代入②式得: 3 ? 4 k 2 ? 2 m 2 ,
? 3 ? 4k
2



······ 6 分 ·····

? 0 ,? m

2

? 0 , ? ? 48 m

2

? 0

又点 O 到直线 y ? kx ? m 的距离 d ?

m 1? k
2

AB ?

1? k

2

x1 ? x 2 ?

1? k

2

4 3

3 ? 4k 3 ? 4k

2 2

?m

2

?

1? k

2

4 3? m 3 ? 4k
2

?

1? k

2

4 3? m 2m
2

····· 8 分 ····· 所以 S ? OAB ?
1 2 AB d ? 2 3m 2m
2 2

?

3

····· 10 分 ·····

(2) 当直线 l 的斜率不存在时,设方程为 x ? m ( ? 2 ? m ? 2 ) 联立椭圆方程得: y 2 ?
3(4 ? m )
2

4 3( 4 ? m )
2

代入 3 x 1 x 2 ? 4 y 1 y 2 ? 0 得到 3 m 2 ?
S ? OAB ? 1 2 AB d ? 1 2 m y1 ? y 2 ?

? 0 即m ? ?

2 5 5

,y ? ?

2 15 5

4

3

综上: ? OAB 的面积是定值 3 , 又 ? ODE 的面积 ?
1 2 ?2?
/

3 ?

3

,所以二者相等.
/

····· ····

12 分

21. (Ⅰ) a ? 0 , f ( x ) ? x ? x ln x , f ( x ) ? ? ln x , f ( x ) ? 0 , x ? 1 ······1 分 ·····

x ? ( 0 ,1), f ( x ) ? 0 , f ( x ) 在( 0, 1)上是增函数
/

x ? 1, ? ) f ( x ) ? 0 , f ( x ) 在( 1, ?? )上是减函数 ( ? ,
/

······4 分 ·····

(Ⅱ)由原式 ? 1 ? 令 g (x) ? 1 ?

1 x
1 x

?
?

ln x x
ln x x

? b

,可得 g ( x ) 在 ? 0 ,1? 上递减,在 ?1, ?? ? 上递增 ·····7 分 ···· ·················8 分 ················

∴ g ( x ) min ? g (1) ? 0 即b ? 0 (Ⅲ)由(Ⅱ)知 g ( x ) ? 1 ?
1 e
1 ? ln x x

在(0,1)上单调递减



? x ? y ? 1 时, g ( x ) ? g ( y )
1 ? ln y y



1 ? ln x x

?

·················10 分 ················



1 e

? x ? y ?1

时, ? 1 ? ln x ? 0 ,? 1 ? ln x ? 0

········· ·········11 分

?

y x

?
2

1 ? ln y 1 ? ln x

················ ················12 分

22.(I)∵ DE

? EF ? EC ,∴ ? EDF ? ? C ,

又∵ ? P ? ? C ,∴ ? EDF ? ? P ,∴ ? EDF ∽ ? PAE ∴ EA ? ED ? EF ? EP 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP ··5 分 · (II) BE ? 3 , CE ?
9 2

, BP ?

15 4

PA 是⊙ O 的切线, PA

2

? PB ? PC , PA ?

15 4

3

····10 分 ···

23.(Ⅰ)圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2 2 sin( ? ?

?
4

)

····· 5 分 ···· ······ 10 分 ····· ····· ····· 5分

(Ⅱ)圆心到直线距离为 1 ,圆半径为 2 ,所以弦长为 2 24.(Ⅰ) f ( x ) ? 0 的解集为: ( ?? , ? 4 ) ? ( , ?? )
3 2

(Ⅱ) a ? ?

13 2

····· 10 分 ·····


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