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安顺学院附中2013届高三第五次月考 数学文科


2012 年 12 月 28 日

15:00--17:00

6、已知对任意实数 x ,有 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 , g ( x ) ? g ( ? x ) ? 0 ,且当 x ? 0 时, f '( x ) ? 0, g '( x ) ? 0 , 则当 x ? 0 时,有( ) B、 f '( x ) ? 0, g '( x ) ? 0 D、 f '( x ) ? 0, g '( x ) ? 0 )

安顺学院附中 2012-2013 学年度第一学期高三第五次月考

数学(文科)
命题:顾涛 审题:张太茂
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷第 1-2 页,第 II 卷第 3-4 页;

A、 f '( x ) ? 0, g '( x ) ? 0 C、 f '( x ) ? 0, g '( x ) ? 0

7、若函数 f ( x ) ? a x ? co s x 在点 O (0, 0 ) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 a ? ( A、 ?
1 2

第I卷 (本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
注意事项: 1、每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目答案的标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号,不能答在试卷上。 2、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 1、已知角 ? 满足 tan ? ? 0 且 sin ? ? 0 ,则 ? 所在的象限是( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 2、在等差数列 { a n } 中, a 2 ? 1, a 4 ? 5 ,则 { a n } 的前 5 项和 S 5 =( A、7 B、15 C、20
? ? ? a 3、设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 ? ? |a|

B、

1 2
2

C、 ? 2

D、 2

8、 公差不为 0 的等差数列 { a n } 中, 2 a 2 ? a 7 ? 2 a 1 2 ? 0 , 有 数列 { b n } 是各项为正数的等比数列, b 7 ? a 7 , 且 则 b5 ? b9 ? ( A、 1 2 ) B、 1 4
?
4

C、 1 6

D、 1 8
3? 4 , 0 ) ,则 ? 的

9、将函数 f ( x ) ? sin ? x (其中 ? >0)的图像向右平移 最小值是( A、
1 3

个单位长度,所得图像经过点 (

) B、 1
? ? ?
? ? ?

C、
?

5 3

D、 2
? ? ?

D、第四象限

10、若 a , b , c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 , ( a ? c ) ? ( b ? c ) ? 0 ,则 | a ? b ? c | 的最小值为( A、 2 ? 1 B、1 C、 2 D、2

?

?



) D、25 )
? ?

? b ? 成立的充分条件是( |b |

11 、 ? A B C 满 足 A B ? A C ? 4 3 , ? B A C ? 3 0 ? . 设 M 是 ? A B C 内 的 一 点 ( 不 在 边 界 上 ) 定 义 ,
f ( M ) ? ( x , y , z ) ,其中 x , y , z 分别表示 ? M A C , ? M C B , ? M A B 的面积,若 f ( M ) ? ( x , y , 1) ,则

??? ???? ?

A、 | a | ? | b | 且 a // b 4、已知 s in ? ? c o s ? ? A、 ? 5、已知 co s(
5 12
7 13

?

?

?

?

B、 a ? ? b

?

?

?

?

C、 a // b ) C、 ?
12 5

D、 a ? 2 b

1 x

?

4 y

的最小值是( A、 6

) B、 7 C、 8
? ?

, ? ? (0, ? ) ,则 tan ? =( B、
5 12

D、 9
?
4

D、

5 12



12 5

12、 已知定义在区间 ? ? ? ,
? ?

? ?
2? ?

上的函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x

对称, x 当 )

? ?

?
4

时,f ( x ) ? sin x ,

?
6

??) ? ?

1 2

,则 s in (? ?

?
3

)?(


1 2 1 2

如果关于 x 的方程 f ( x ) ? a 有解,记所有解的和为 S, 则 S 不可能为( ... A、 ?
5 4

A、

3 2

B、 ?

3 2

C、 ?

?

B、 ? ?

C 、?

3 4

?

D、 ?

?
2

D、

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第 II 卷 (本卷共 10 小题,共 90 分)
注意事项: 考生不能将答案直接答在试卷上,必须答在答题卡上。 ........................ 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13、 co s 6 0 0 ? = . 14、若等比数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 3 ? 2 ? 2 ? ,则实数 ? =
n

支持 20 岁以下 20 岁以上(含 20 岁) 800 100

保留 450 150

不支持 200 300

(Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从“支持”态度的人中抽取了 45 人,求 n 的值; (Ⅱ)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体,从这 5 人 中任意选取 .
??

2 人,求至少有 1 人 20 岁以下的概率; 20、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆的中心在原点 O ,离心率 e ?
3 2

15、已知 a、 b、 c 分别为三角形 ABC 的内角 A、 B 、 C 的对边,向量 m ? (co s A , co s C ),
?? ? ? n ? ( c ? 2 b , a ) 且 m ? n ,则内角 A 的大小为
2

,短轴的一个端点为 (0, 2 ) ,点 M 为直线 y ?

1 2

x 与该

. . (Ⅰ)求椭圆的方程;

椭圆在第一象限内的交点,平行于 O M 的直线 l 交椭圆于 A , B 两点. 16、已知不等式 2 x ? 1 ? m ( x ? 1) 对一切 | m |? 2 恒成立,则实数 x 的取值范围是

(Ⅱ)求证:直线 M A , M B 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? A B C D 的底面是正方形, P D ? 底 面 A B C D ,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 A E C ? 平 面 P D B ; (Ⅱ)当 P D ?
2 A B 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x ( a ? R ).
2

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求证: f ( x ) 在 (1, ? ? ) 上是增函数; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 [1, ? ? ) 上的最小值.

22、 (本小题满分 10 分) 18、 (本小题满分 12 分) 在数列 { a n } 中, a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 1 ?
1 4an , bn ? 2 2an ? 1

某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. ,其中 n ? N .
*

(1) sin 1 3 ? ? co s 1 7 ? ? sin 1 3 ? co s 1 7 ?
2 2 *

(2) sin 1 5 ? ? co s 1 5 ? ? sin 1 5 ? co s 1 5 ?
2 2

(1)求证:数列 { b n } 是等差数列; (2)求证:在数列 { a n } 中对于任意的 n ? N ,都有 a n ? 1 ? a n ;

(3) sin 1 8 ? ? co s 1 2 ? ? sin 1 8 ? co s 1 2 ?
2 2

(4) sin ( ? 1 8 ? ) ? co s 4 8 ? ? sin ( ? 1 8 ? ) co s 4 8 ?
2 2

(5) sin ( ? 2 5 ? ) ? co s 5 5 ? ? sin ( ? 2 5 ? ) co s 5 5 ?
2 2

19、 (本小题满分 12 分) 由世界自然基金会发起的“地球 1 小时”活动,已发展成为最有影响力的环保活动之一,今年的参与 人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此,某新闻媒体进行 了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示: 、

(Ⅰ) 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 (Ⅱ) 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.

安顺学院附中 2013 届高三第一次月考数学试卷(文科)第 2

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安顺学院附中 2013 届高三第五次月考(12 月)

∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 A E C ? 平 面 P D B .

文科数学答案
一、选择题 1-5 CBDCC 二、填空题 13、 ?
1 2

(Ⅱ)当 P D ?

2 A B 且 E 为 PB 的中点时, P 0 , 0 ,

?

?1 1 2 ? 2a , E ? a, a, a? , ?2 ? 2 2 ? ?

?

6-10 CBCDA

11-12 DA

14、

3 2

15、

?
3

16、

?1 ? 2

7

? x ?

1? 2

设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角,
3
? ???? ? 2 ? a ? , E O ? ? 0, 0, ? a?, ? ? ? 2 2 2 ?2 ? ? ? ??? ???? ? EA ? EO 2 ∴ c o s ? A E O ? ??? ???? ? , ? 2 EA ? EO

三、解答题 17、 (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵ PD ? 底 面 ABCD , ∴PD⊥AC,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 A E C ? 平 面 P D B . (Ⅱ)设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, ∴O,E 分别为 DB、PB 的中点, ∴OE//PD, O E ?
1 2 P D ,又∵ P D ? 底 面 A B C D ,

∵ EA ? ? ?

??? ?

?1

a, ?

1

a, ?

2

∴ ? A O E ? 4 5 ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 4 5 . 18、 (I)证明: b n ? 1 ? b n ?
2 2 a n ?1 ? 1 ? 2 2an ? 1 2 2 a1 ? 1 ? 2,

?

?

所以:数列 { b n } 是首项 b1 ? (II)由(I)知 b n ? 2 n , n ? N * ,

? 2 ,公差为 2 的等差数列. b n ? 2 n , n ? N *

∴OE⊥底面 ABCD,OE⊥AO, 在 Rt△AOE 中, O E ?
?

1 2

PD ?

2 2

AB ? AO ,

所以: a n ?

n ?1 2n 1 2

?

1 2

(1 ? 1 n

1 n

) , a n ?1 ? 1 2 1 n ?1

1 2

(1 ? 1

1 n ?1 ( 1

), 1 n

∴ ? A O E ? 4 5 ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 4 5 . 【解法 2】如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz , 设 AB ? a, PD ? h, 则 A ? a , 0, 0 ? , B ? a , a , 0 ? , C ? 0, a , 0 ? , D ? 0, 0, 0 ? , P ? 0, 0, h ? , (Ⅰ)∵ A C ? ? ? a , a , 0 ? , D P ? ? 0, 0, h ? , D B ? ? a , a , 0 ? , ∴ A C ? D P ? 0, A C ? D B ? 0 ,
???? ???? ???? ????

?

所以 a n ? 1 ? a n ?

(1 ?

)?

(1 ?

)?

2 n ?1

?

)? 0.

即:对任意的 n ? N * , a n ? 1 ? a n

19、解: (Ⅰ)由题意得 所以 n ? 1 0 0 .

800 ? 100 45

?

800 ? 450 ? 200 ? 100 ? 150 ? 300 n



?????3 分 ?????5 分

????

????

????

(Ⅱ)设所选取的人中,有 m 人 20 岁以下,则

200 200 ? 300

?

m 5

,解得 m ? 2 .???7 分

也就是 20 岁以下抽取了 2 人,另一部分抽取了 3 人,分别记作 A1,A2;B1,B2,B3,
安顺学院附中 2013 届高三第一次月考数学试卷(文科)第 3 页(共 2 页)

则从中任取 2 人的所有基本事件为 (A1,B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2),
(

1 2

(B1 ,B2),(B2 ,B3),(B1 ,B3)共 10 个.

???9 分

?

x1 ? m ? 1)( x 2 ? 2 ) ? (

1 2

x 2 ? m ? 1)( x 1 ? 2 )

其中至少有 1 人 20 岁以下的基本事件有 7 个: 1, B1), 1, B2), 1, B3), 2 ,B1), 2 ,B2), 2 ,B3), (A (A (A (A (A (A (A1, A2), ????10 分
7 10

( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 )
x1 x 2 ? ( m ? 2 )( x1 ? x 2 ) ? 4 ( m ? 1) ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

?

所以从中任意抽取 2 人,至少有 1 人 20 岁以下的概率为

.

?????12 分
? 2 m ? 4 ? ( m ? 2 )( ? 2 m ) ? 4 ( m ? 1)
2

20、
x
2 2

( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) 2m ? 4 ? 2m ? 4m ? 4m ? 4
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

?

解: (Ⅰ)设椭圆方程为 a
?c 3 , ? ? 2 ?a ? b ? 2, 则? 解得 a ? 2
x
2


?0.

( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 )



k1 ? k 2 ? 0



????????12 分

2.
?1

21、 (Ⅰ)证明:当 a ? 2 时, f ( x ) ? x 2 ? 2 ln x , 当 x ? (1, ?? ) 时, f ? ( x ) ?
2( x
2

?

y

2

? 1)

所以椭圆方程为 8

2


y ? 1 2

????????5 分
x?m

? 0

, ????????5 分

x

所以 f ( x ) 在 (1, ?? ) 上是增函数. . (Ⅱ)解: f ? ( x ) ?
2x
2

(Ⅱ)由题意 M ( 2 ,1) ,设直线 l 的方程为

? a

( x ? 0) ,

1 ? y ? x ? m, ? ? 2 ? 2 2 ? x ? y ? 1, 2 2 2 ? 由? 8 得 x ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0 ,

x

当 a ? 0 时, f '( x ) ? 0 , f ( x ) 在 [1, ? ? ) 上单调递增,最小值为 f (1) ? 1 . 当 a ? 0 ,当 x ? ( 0 ,
a 2 a 2 ) 时, f ( x ) 单调递减;当 x ? ( a 2 , ?? ) 时, f ( x ) 单调递增.

可得

x1 ? x 2 ? ? 2 m



x1 x 2 ? 2 m ? 4
2

, ,

????????8 分



? 1 ,即 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [1, ?? ) 上单调递增,

设直线 M A , M B 的斜率分别为
k1 ?

k1 , k 2
y1 ? 1

又 f (1) ? 1 ,所以 f ( x ) 在 [1, ?? ) 上的最小值为 1 .
k2 ? y2 ? 1 x2 ? 2



A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )
y1 ? 1 x1 ? 2

,则
?

x1 ? 2



.???????9 分



a 2

? 1 ,即 a ? 2 时, f ( x ) 在 [1,

a 2

) 上单调递减;

k1 ? k 2 ?

?

y2 ? 1 x2 ? 2

( y 1 ? 1)( x 2 ? 2 ) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 2 ) ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

在(

a 2

, ?? ) 上单调递增.

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又f(

a 2

)?

a 2

?

a 2

ln

a 2


a 2 a 2 a 2

所以 f ( x ) 在 [1, ?? ) 上的最小值为

?

ln



综上,当 a ? 2 时, f ( x ) 在 [1, ? ? ) 上的最小值为 1 ; 当 a ? 2 时, f ( x ) 在 [1, ? ? ) 上的最大值为 22、
s in 1 5 ? c o s 1 5 ? s in 1 5 c o s 1 5 ? 1 ?
2 0 2 0 0 0

a 2

?

a 2

ln

a 2

10 2

s in 3 0 ?

3 4

(I)选择(2) :
2 2 0

......5 分
3 4

(II)三角恒等式为: s in ? ? c o s (3 0 ? ? ) ? s in ? c o s (3 0 ? ? ) ?
0

sin ? ? c o s (3 0 ? ? ) ? sin ? c o s(3 0 ? ? )
2 2 0 0

? sin ? ? (
2

3 2 3 4

cos ? ? cos ? ?
2

1 2

sin ? ) ? sin ? (
2

3 2

cos ? ?

1 2

sin ? )

?

3 4

sin ? ?
2

3 4

......5 分

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