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广东省仲元中学、中山一中等六校2014届高三上学期第一次联考理数学卷(解析版)


广东省仲元中学、中山一中等六校 2014 届高三上学期第一 次联考理数学卷(解析版)
一、选择题 1.设 z ? 1 ? i (为虚数单位) ,则 z ?
2

2 ?( z
B. ?1 ? i

) C. 1 ? i

A. ?1 ? i D. 1 ? i 【答案】C 【解析】 试题分析:? z ? 1 ? i , ? z ?
2

2 2 2 ? ?1 ? i ? ? ? 2i ? ?1 ? i ? ? 1 ? i ,故选 C. z 1? i

考点:复数的四则运算 2.设 U ? R ,集合 A ? y y ? 2 , x ? R , B ? x ? Z x ? 4 ? 0 ,则下列结论正确的
x 2

?

?

?

?

是( A.



A ? B ? ? 0, ?? ?

B. ? U A ? B ? ? ??, 0? C. D. ? U A ? B ? ?1, 2? 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 :

? ?

?

? ? A? ? B ? ??2, ?1, 0?
U

?

?A?

?


2 yx

?

?,y

?

? ?

x 0 , , ? R
, , 则

?

B ? x ? Z x 2 ? 4 ? 0 ? ? x ? Z ?2 ? x ? 2?

?

?

? ??2, ?1, 0,1, 2?

U

? A ? B ? ??2, ?1? ? ? 0, ?? ?
U



A







?U A ? ? ??, 0?

?? ? 1 , 2 B 错误; ? ? A? ? B ? ??2, ?1, 0? ,选项 C 正确,故 ,故选项 ? ? A? ? B ? ? ??, ? 0
选 C. 考点:集合的基本运算 3. 如果直线 ? 2a ? 5 ? x ? ? a ? 2 ? y ? 4 ? 0 与直线 ? 2 ? a ? x ? ? a ? 3? y ? 1 ? 0 (互相垂直, 则

a ?( )
A. 2 D. 2 , 0 , ?2 B. ?2 C. 2 , ?2

【答案】C 【解析】 试题分析: 由于直线 ? 2a ? 5 ? x ? ? a ? 2 ? y ? 4 ? 0 与直线 ? 2 ? a ? x ? ? a ? 3? y ? 1 ? 0 互相垂 直,则有

? 2a ? 5? ? ? 2 ? a ? ? ? a ? 2 ?? a ? 3? ? ? 2 ? a ? ? ? ?? 2a ? 5 ? ? ? a ? 3 ? ? ? ? ? ? a ? 2 ?? a ? 2 ? ? 0



解得 a ? ?2 ,故选 C. 考点:两直线的位置关系 4.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数” . 给出下列 函数: ① f ? x ? ? sin x cos x ; ③ f ? x ? ? sin x ? 3 cos x ; 其中“同簇函数”的是 A. ①② ④ 【答案】C 【解析】 ② f ? x ? ? 2sin ? x ? ④ f ? x? ? ) C. ②③ D. ③

? ?

??

?; 4?

2 sin 2 x ? 1 .

( B. ①④

试题分析:对于①中的函数而言, f ? x ? ? sin x cos x ?

1 sin 2 x ,对于③中的函数而言, 2

f ? x? ?

?? ? sin x ? 3 cos x ? 2sin ? x ? ? ,由“同簇函数”的定义而知,互为“同簇函数”的若干 3? ?
个函数的振幅相等,将②中的函数向左平移

? 个单位长度,得到的新函数解析式为 12

?? ? ? ?? y ? 2 sin?? x ? ? ? ? 12 ? 4 ? ??

?? ? ? 2sin ? x ? ? ,故选 C. 3? ?
考点:1.新定义;2.三角函数图象变换 5.下图为某几何体三视图,按图中所给数据,该几何体的体积为 ( )

3
4

正视图 2 2 俯视图

侧视图

A. 16 D. 16 ?

B. 16 3

C. 64 ? 16 3

4 3 3

【答案】D 【解析】 试题分析:由三视图知,该几何体是由一个四棱锥与一个四棱柱拼接而成,故该几何体的体 积V ?

1 2 4 3 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 16 ? ,故选 D. 3 3
考点:1.三视图;2.棱锥与棱柱的体积

? x ?1 ? 6.已知实数 x 、 y 满足约束条件 ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的取值范围是 ( ?x ? y ? 0 ?
A. ? 0,1? D. ? 0, 2 ? 【答案】D 【解析】 B. ?1, 2 ?



C. ?1, 3?

?x ?1 ? x ?1 ? 试题分析: 作出不等式组 ? y ? 2 所表示的可行域如下图的阴影部分所示, 联立 ? 得 ?y ? 2 ?x ? y ? 0 ?
点 A ?1, 2 ? ,

y A(1,2)

l:z=2x-y B(2,2) y=2

x-y=0

O x=1
联立 ?

x

?y ? 2 得点 B ? 2, 2 ? ,作直线 l : z ? 2 x ? y ,则 z 为直线 l 在 x 轴上截距的 2 倍, ?x ? y ? 0

当直线 l 经过可行域上点 A ?1, 2 ? 时,此时直线 l 在 x 轴上的截距最小,此时 z 取最小值, 即 zmin ? 2 ?1 ? 2 ? 0 ;当直线 l 经过可行域上的点 B ? 2, 2 ? 时,此时直线 l 在 x 轴上的截距 最大,此时 z 取最大值,即 zmax ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,故 z ? 2 x ? y 的取值范围是 ? 0, 2 ? ,故选 D. 考点:简单的线性规划问题 7 .若等边 ?ABC 的边长为 2 ,平面内一点 M 满足 CM ? ( A. )

???? ?

? 2 ??? ? ???? ???? 1 ??? CB ? CA ,则 MA ? MB ? 3 3

8 9 13 9

B.

13 9

C. ?

8 9

D. ?

【答案】C 【解析】 试 题 分 析 :

???? ??? ? ???? ? ??? ? ? 1 ??? ? 2 ??? ? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? MA ? CA ? CM ? CA ? ? CB ? CA ? ? CA ? CB ? BA , 3 3 3 ?3 ? 3 ??? ? ? 1 ??? ? 2 ??? ? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ? CB ? ? CB ? CA ? ? CB ? CA ? AB 3 3 3 ?3 ? 3


???? ??? ? ???? ? MB ? CB ? CM

???? ???? 1 ??? ? 2 ??? ? ?2 2 ??? 2 8 ? MA ? MB ? BA ? AB ? ? AB ? ? ? 22 ? ? , 3 3 9 9 9
故选 C.

考点:1.平面向量的基底表示;2.平面向量的数量积 8.定义:关于 x 的不等式 x ? A ? B 的解集叫 A 的 B 邻域.已知 a ? b ? 2 的 a ? b 邻域为 区间 ? ?2,8 ? ,其中 a 、b 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与 a 2 b2


2 抛物线 y ? 4 5 x 的焦点重合,则椭圆的方程为(

x2 y2 ? ?1 A. 8 3
D.

x2 y2 ? ?1 B. 9 4

x2 y2 ? ?1 C. 9 8

x2 y2 ? ?1 16 9

【答案】B 【解析】 试题分析:由题中的定义知, a ? b ? 2 的 a ? b 邻域为区间 ? ?2,8 ? ,则关于 x 不等式

x ? ? a ? b ? 2 ? ? a ? b 的 解 集 为 ? ?2 , 8 ? , 解 关 于 x 不 等 式 x ? ? a ? b ?2 ? ? a ? b得

? ? a ? b ? ? x ? ? a ? b ? 2 ? ? a ? b ,解得 ?2 ? x ? 2 ? a ? b ? ? 2 ,所以 2 ? a ? b ? ? 2 ? 8 ? a ? b ? 5 ,又由于椭圆
2 焦点与抛物线 y ? 4 5 x 的焦点

x2 y 2 ? ? 1 的一 a 2 b2

?

5, 0 重合,则 a 2 ? b2 ? 5 ,即 ? a ? b ?? a ? b ? ? 5 ,所

?

以 a ? b ? 1 ,解得 a ? 3 , b ? 2 ,

x2 y2 ? ? 1 ,故选 B. 故此椭圆的方程为 9 4
考点:1.新定义;2.含绝对值的不等式的解法;3.椭圆的方程

二、填空题
? 9.已知数列 ? an ? 的首项 a1 ? 1 ,若 ?n ? N , an ? an ?1 ? ?2 ,则 an ?

.

【答案】 an ? ? 【解析】

?1, n为正奇数 . ? ?2, n为正偶数
2 ? ?2 , a1

? 试题分析: ? a1 ? 1 ,且对 ?n ? N , an ? an ?1 ? ?2 , ? a1 ? a2 ? ?2 ? a2 ? ?

且 an ?1 ? an ? 2 ? ?2 ,

?

?1, n为正奇数 an ? 2 an ?1 ? an ? 2 ?2 ? ? ? 1 , ? an ? 2 ? an ,因此 an ? ? . an an ? an ?1 ?2 ? ?2, n为正偶数
.

考点:1.数列的周期性;2.数列的通项公式 10.执行程序框图,如果输入 a ? 4 ,那么输出 n ?
开始 输入 a

p ? 10 , q ? 1 , n ? 1

p?q

否 输出 n 结束

p ? p?a
q ? q?a



n ? n ?1
【答案】 4 . 【解析】 试题分析: p ? 10 ,q ? 1 , p ? q 成立, 执行第一次循环, p ? 10 ? 4 ? 14 ,q ? 1? 4 ? 4 ,

n ? 1?1 ? 2 ;
p ? q 成立,执行第二次循环, p ? 14 ? 4 ? 18 , q ? 4 ? 4 ? 16 , n ? 2 ? 1 ? 3 ; p ? q 成立,执行第三次循环, p ? 18 ? 4 ? 22 , q ? 16 ? 4 ? 64 , n ? 3 ? 1 ? 4 ; p ? q 不成立,跳出循环体,输出 n ? 4 .
考点:算法与程序框图 11.某校开设 A 类选修课 3 门, B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课 程中各至少选一门,则不同的选法共有 种(用数字作答) . 【答案】 30 。 【解析】 试题分析:解法一: (分类讨论)两类课程各至少有一门,有两种情况:一是 A 类选修课程
2 1 选择两门, B 类选修课程选择一门,共有 C3 C4 ? 3 ? 4 ? 12 种选法;二是 A 类选修课选择 1 2 一门, B 类选修课选择两门,共有 C3C4 ? 3 ? 6 ? 18 ,综上所述,共有 12 ? 18 ? 30 种不

同的选法;

解法二:在所有选法中将全部选择 A 类选修课或全部选择 B 类选修课的去掉即可,则共有
3 3 3 C7 ? ? C3 ? C4 ??

35 ? ?1 ? 4 ? ? 30 ,即共有 30 种不同的选法.
考点:排列组合 12.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 内(含正方体表面)任取一点 M ,则

???? ???? ? AA1 ? AM ? 1 的概率 p ?
D1 A1 C1

.

M D

B1

C

A

B

【答案】 【解析】

3 . 4

试题分析:当点 M 在平面 ABCD 内运动时, AM ? AA1 ,此时 AA1 ? AM ? 0 ; 当 点 M 在 平 面 A1 B1 C1 D内 1 方 向 上 的 投 影 为 2 , 此 时 1 运 动 时 , AM 在 AA

???? ?

????

???? ???? ?

???? ?

????

???? ???? ? AA1 ? AM ? 2 ? 2 ? 4 ? 1 成立;
当 点 M 在 正 方 体 的 侧 面 AA1 B1 B 、 BB1C1C 、 CC1 D1 D 和 DD1 A1 A 上 运 动 时 , 考 虑

???? ???? ? ???? ???? ? ???? 1 AA1 ? AM ? 1 时,点 M 的位置,由于 AA1 ? 2 ,此时 AM 在 AA1 方向上的投影为 , 2
如下图所示, 分别在棱 AA1 、BB1 、CC1 、DD1 取点 A2 、B2 、C2 、D2 , 使得 AA2 ?

???? ?

1 ???? AA1 , 4

???? ? 1 ???? ???? ? 1 ???? ? ????? 1 ???? ? BB2 ? BB1 , CC2 ? CC1 , DD2 ? DD1 ,此时 4 4 4 ???? ? ???? ? ???? ? ????? 1 AA2 ? BB2 ? CC2 ? DD2 ? , 当 点 M 在 正 方 体 A B C D的 侧 面 上 且 在 四 边 形 2

???? ???? ? ???? ? ???? 1 A2 B2C2 D2 的边上或其上方时, AM 在 AA1 方向上的投影不小于 ,此时 AA1 ? AM ? 1 , 2
矩形 A1 A2 B2 B1 的面积 S A1 A2 B2 B1 ? A1 A2 ? A1 B1

???? ? 3 ? ?2 ? 3, 当点在正方体 ABCD 的侧面上且在四边形 A2 B2C2 D2 的下方时, 此时 AM 在 2

???? ???? ???? ? 1 AA1 方 向 上 的 投 影 小 于 , 此 时 AA1 ? AM ? 1 , 故 由 几 何 概 型 的 计 算 公 式 得 2
p? 22 ? 4 ? 3 3 ? . 6 ? 22 4

D1 A1 D2 D A2 A M B2 B B1

C1

C2 C

考点:1.平面向量的数量积;2.几何概型 13.设函数 y ? f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 内有意义.对于给定的正数 k ,已知函数

? ? f ? x?, f ? x? ? k ?x fk ? x ? ? ? ,取函数 f ? x ? ? 3 ? x ? e .若对任意的 x ? ? ??, ?? ? ,恒有 k , f x ? k ? ? ? ?

f k ? x ? ? f ? x ? ,则 k 的最小值为
【答案】 2 . 【解析】 试 题 分 析 : 由 于 fk ? x ? ? ?

.

? ? f ? x?, f ? x? ? k , 且 对 任 意 的 x ? ? ??, ?? ? , 恒 有 k , f x ? k ? ? ? ?

f k ? x ? ? f ? x ? , 则 不 等 式 k ? f ? x? 在 ? ??, ?? ? 上 恒 成 立 , ? f ? x ? ? 3 ? x ? e? x ,
? f ? ? x ? ? ?1 ? e? x ? 1 1 ? ex ? 1 ? ,令 ex ex

f ?? x? ? 0 ? x ? 0 , 当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , 当 x ? 0 ,f ?? x? ? 0 , 故函数 f ? x ? 在 x ? 0

处取得极大值,亦即最大值, 即 f ? x ?max ? f ? 0 ? ? 3 ? 0 ? e ? 2 ,所以 k ? 2 ,即实数 k 的
0

最小值为 2 . 考点:1.函数不等式恒成立;2.利用导数求函数的最值 14 . 在 极 坐 标 系 中 , 过 点 ? 2 2, 是 .

? ?

??

? 的切线,则切线的极坐标方程 ? 作圆 ? ? 4 sin 4?

【答案】 ? cos ? ? 2 . 【解析】 试题分析:将圆的极坐标方程 ? ? 4sin ? 的方程化为直角坐标方程得 x ? y ? 4 y ,即
2 2

?? 2 ? x 2 ? ? y ? 2 ? ? 4 , 将 点 的 极 坐 标 ? 2 2, ? 化 为 直 角 坐 标 为 ? 2, 2 ? , 由 于 4? ?
22 ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ,点 ? 2, 2 ? 与圆心的连线的斜率
2

k?

2?2 ? 0 ,故所求的切线方程为 y ? 2 ,故切线的极坐标方程为 ? cos ? ? 2 . 2?0

考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化 15.如图所示,圆 O 的直径 AB ? 6 , C 为圆周上一点, BC ? 3 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l 的垂线 AD ,垂足为 C ,则 ?DAC ? .
D E C

A

O

B

【答案】 30 . 【解析】 试题分析:由于点 C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A 、 B 的一点,则 ?ACB ? 90 ,且
?

?

AB ? 6 , BC ? 3 ?
由弦切角定理得

1 AB ,??BAC ? 30? ,??ABC ? 60? ,由于 CD 切圆 O 于点 D , 2

?ACD ? ?ABC ? 60? ,? AD ? CD ,??DAC ? 90? ? ?ACD ? 30? .
考点:弦切角定理

三、解答题 16.设 a ? 6 cos x, ? 3 , b ? ? cos x,sin 2 x ? , f ? x ? ? a ? b .(1)求 f ? x ? 的最小正周 期、最大值及 f ? x ? 取最大值时 x 的集合; (2)若锐角 ? 满足 f ?? ? ? 3 ? 2 3 ,求 tan

?

?

?

?

? ?

4 ? 的值. 5

【答案】 (1)函数 f ? x ? 的最小正周期为 ? ,最大值为 2 3 ? 3 , f ? x ? 取最大值时 x 的集 合为

? ? ? 4 (2) tan ? ? 3 . ? x x ? k? ? , k ? Z ? ; 12 5 ? ?
【解析】 试题分析: (1)先利用平面向量数量积结合二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数 f ? x ? 的 解析式化为 f ? x ? ? 2 3 cos ? 2 x ?

? ?

??

? ? 3 ,然后利用相关公式求出函数 f ? x ? 的最小正周 6?

期,并令 2 x ?

?
6

? 2k? ? k ? Z ? 求出函数 f ? x ? 的最大值以及取最大值时 x 的取值集合;

(2)先利用已知条件 f ?? ? ? 3 ? 2 3 并结合角 ? 为锐角这一条件求出角 ? 的值,并最终 求出 tan

4 ? 的值. 5
? ?
2

试题解析: (1) f ( x) ? a ? b ? 6 cos x ? 3 sin 2 x

1分

? 6?

? 3 ? 1 1 ? cos 2 x cos 2 x ? sin 2 x ? ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 ? 2 3 ? ? ??3 2 2 ? 2 ?
4分 最小正周期 T ?

3分

?? ? ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 6? ?
当 2x ?

2? ?? 2

5分

?
6

? 2k? , k ? Z ,即 x ? k? ?

?
12

, k ? Z 时, f ( x) 有最大值 2 3 ? 3 ,

此时,所求 x 的集合为 {x | x ? k? ?

?
12

, k ? Z} .

7分

) ? 3 2 ?3 (2) 由 f (?
分 又由 0 ? ? ?



?? ? 2 3 cos ? 2? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 , o s 故c 6? ?

?? ? 2? ? ? ? ? 1? 6? ?

9

? ? ? ? ? 5 ? 2? ? ? ? ? , 故 2? ? ? ? ,解得 ? ? ? . 11 分 得 2 6 6 6 6 12 ? ? 3. 3
12 分

从而 tan ? ? tan

4 5

考点:1.平面向量的数量积的坐标表示;2.二倍角的降幂公式;3.辅助角公式;4.三角函数 的周期性与最值 17.某市 A 、 B 、 C 、 D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示: 中学 C A B D 人数

30

40

20

10

为了了解参加考试的学生的学习状况, 该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中 学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (1)问 A 、 B 、 C 、 D 四所中学各抽取多少名学生? (2) 从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生, 求这两名学生自同一所中学的概率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从自 A 、C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生, 用 ? 表示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列. 【答案】 (1)应从 A 、 B 、 C 、 D 四所中学抽取的人数分别为 15 、 20 、 10 、 5 ; (2) 参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生, 求这两名学生自同一所中学的概率为

2 ; 7
(3)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)先求出样本的抽样比例,然后根据分层抽样的特点(即每个学校的抽样的比 例与总体的抽样比例相等)计算出在 A 、 B 、 C 、 D 四所中学所抽取的学生人数; (2)先 计算出在两名学生自同一所学校的取法数,以及从 50 名学生中任意抽取两名学生的取法种 数, 最后利用古典概型的概率计算公式计算题中的事件的概率; ( 3) 先确定 50 名学生中 A 、

C 两校的学生人数,并列举出随机变量 ? 的可能取值,并利用古典概型的概率计算公式计
算出随机变量 ? 的相应取值下对应事件的概率,列举出随机变量 ? 的分布列即可. 试题解析: (1)由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名, 抽取的样本容量与总体个数的比值为 ∴应从 . . 4分

四所中学抽取的学生人数分别为

(2)设“从 50 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生自同一所中学”为事件 M ,

从 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C50 ? 1225 种, 5 分
2

自同一所中学的取法共有 C15 ? C20 ? C10 ? C5 ? 350 .
2 2 2 2

6分

∴ P( M ) ?

350 2 ? . 1225 7 2 . 7
7分

答:从 50 名学生中随机抽取两名学生自同一所中学的概率为

(3)由(1)知, 50 名学生中,自 A, C 两所中学的学生人数分别为 15,10 . 依题意得, ? 的可能取值为 0,1, 2 , 8分

2 1 1 2 C10 C15 C10 C15 3 1 7 ? , P (? ? 2) ? 2 ? P (? ? 0) ? 2 ? , P (? ? 1) ? . 2 C25 2 C25 20 C25 20

11 分

∴ ? 的分布列为:

3 20
12 分 考点:1.分层抽样;2.排列组合;3.古典概型;4.随机变量的分布列 18. 如图, 直角梯形 ABCD 中, AB//CD , AB ? BC , AB ? 1 ,BC ? 2 ,CD ? 1 ? 2 , 过 A 作 AE ? CD , 垂足为 E . F 、G 分别是 CE 、 AD 的中点. 现将 ?ADE 沿 AE 折起, 使二面角 D ? AE ? C 的平面角为 135 .
?

(1)求证:平面 DCE ? 平面 ABCE ; (2)求直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值. 【答案】 (1)详见解析; (2)求直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值为

2 . 3

【解析】 试题分析: ( 1 )利用折叠前 AE ? CE 以及 AE 、 CE 在同一平面内,得到在折叠后 AE ? CE ,由已知条件 AE ? CD ,结合直线与平面垂直的判定定理可以证明 AE ? 平面 DCE ,最终利用平面与平面垂直的判定定理即可证明平面 DCE ? 平面 ABCE ; (2)解 法一是利用空间向量法,即以点 E 为坐标原点, EA 、 EC 分别为 x 轴、 y 轴建立空间坐 标系,将二面角 D ? AE ? C 为 135 进行适当转化,再利用空间向量法求出直线 FG 与面
?

DCE 所成角的正弦值; 解法二是利用到 (1) 中的结论 AE ? 平面 DCE , 只需作 GH //AE 交 DE 于点 H ,于是确定直线 FG 与面 DCE 所成角为 ?GFH ,借助点 G 为 AD 的中点 从而得到 GH 为中位线,于是确定点 H 为 DE 的中点,连接 FH ,在直角三角形 FGH 中 计算出 sin ?GFH .
试题解析: (1)证明:? DE ? AE,CE ? AE, DE ? CE ? E,DE , CE ? 平面CDE ,

?

AE ? 平面 CDE ,

3分

? AE ? 平面 ABCE , ? 平面 DCE ? 平面 ABCE . 5 分
(2) (方法一)以 E 为原点,EA、EC 分别为 x, y 轴,建立空间直角坐标系 6 分

? DE ? AE,CE ? AE,? ?DEC 是二面角 D ? AE ? C 的平面角,即 ?DEC = 135 0 , 7


? AB ? 1 , BC ? 2 , CD ? 1 ? 2 ,

? A(2,0,0) ,B(2,1,0) ,C(0,1,0) ,E(0,0,0) ,D(0, ?1 ,1) .
1 1 1 (0, , 0) ( 1, ? , ) 10 分 ? F 、 G 分别是 CE 、 AD 的中点,? F ,G 2 2 2 1 ? FG =(1, ? 1, ) , AE = (?2, 0, 0) , 2
由(1)知 AE 是平面 DCE 的法向量,

9分

??? ?

??? ?

11 分

??? ?

12 分

??? ? ??? ? FG ? AE ?2 2 ? ??? ? |?| |? , (0 ? ? ? ) 设直线 FG 与面 DCE 所成角 ? ,则 sin ? ?| ??? 2 | FG | ? | AE | 3 ? 2 3 2

?

故求直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值为

2 . 3

14 分(列式 1 分,计算 1 分)

(方法二)作 GH // AE ,与 DE 相交于 H ,连接 FH 6 分 由(1)知 AE ? 平面 CDE ,所以 GH ? 平面 CDE , ?GFH 是直线 FG 与平面 DCE 所 成角 7 分

G 是 AD 的中点, GH 是 ?ADE 的中位线, GH ? 1 , EH ?

2 2

8分
0

因为 DE ? AE,CE ? AE,所以 ?DEC 是二面角 D ? AE ? C 的平面角,即 ?DEC = 135 分 在 ?EFH 中,由余弦定理得, FH ? EF ? EH ? 2 ? EF ? EH ? cos ?FEH
2 2 2

9

?

1 1 1 2 2 5 5 ? ? 2? ? ? (? ) ? (或 FH ? ) 11 分(列式 1 分,计算 1 分) 4 2 2 2 2 4 2

GH ? 平面 CDE ,所以 GH ? FH ,在 Rt?GFH 中, GF ? GH 2 ? FH 2 ?
分 所以直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值为 sin ?GFH ?

3 2

13

GH 2 ? GF 3

14 分

考点:1.平面与平面垂直的判定;2.直线与平面所成的角;3.利用空间向量法计算直线与平 面所成的角 19.已知椭圆 C 的中心在原点 O ,离心率 e ? (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆的上顶点为 A ,在椭圆 C 上是否存在点 P ,使得向量 OP ? OA 与 FA 共线? 若存在,求直线 AP 的方程;若不存在,简要说明理由.

3 ,右焦点为 F 2

?

3, 0 .

?

??? ? ??? ?

??? ?

x2 ? y2 ? 1 ; 【答案】 ( 1 )椭圆 C 的方程为 ( 2 )存在,且直线 AP 的方程为 y ? 0 或 4
3x ? 4 y ? 4 ? 0 .
【解析】 试题分析: (1)先设椭圆 C 的方程

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? ,利用离心率以及焦点坐标求出 a 2 b2

a 、 b 、 c 的值,进而确定椭圆 C 的方程; ( 2)先设点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,利用向量
??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA 与 FA 共线这一条件得到点 P 的坐标之间所满足的关系, 并代入椭圆 C 的方程解
出点 P 的坐标,然后确定直线 AP 的方程. 试题解析: (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

1分

离心率 e ? 分

3 c 3 , c ? 3 , ? a ? 2 , b2 ? 1 ,右焦点为 F ( 3 , 0) , ? ? 2 a 2

3

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 4

4分

(2)假设椭圆 C 上存在点 P ( x0 , y0 ) ,使得向量 OP ? OA 与 FA 共线, 5 分

??? ? ??? ? ??? ? ? OP ? OA ? ( x0 , y0 ? 1) , FA ? (? 3,1) ,? x0 ? ? 3( y0 ? 1) (1)
又? 点 P ( x0 , y0 )在椭圆

6分

x2 x2 ? y 2 ? 1 上,? 0 ? y0 2 ? 1 4 4
8 3 1 , ), 7 7

(2)

8分

由(1) 、 (2)组成方程组解得: P(0, ?1) ,或 P(?

11 分

当点 P 的坐标为 (0, ?1) 时,直线 AP 的方程为 y ? 0 ,

当点 P 的坐标为 P(?

8 3 1 , ) 时,直线 AP 的方程为 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 , 7 7
14 分

故直线 AP 的方程为 y ? 0 或 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 . 考点:1.椭圆的方程;2.平面向量共线;3.直线的方程

20.设 S n 为数列 ? an ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N ? ,都有 S n ? ? m ? 1? ? man ( m 为正 常数). (1)求证:数列 ? an ? 是等比数列; (2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ?

bn ?1 ? n ? 2, n ? N ? ? ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 1 ? bn ?1

(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2n ?1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

【答案】 (1)详见解析; (2) bn ? 【解析】

2 n ?1 n? N? ? ; (3) Tn ? ? 2n ? 3? ? 2 ? 6 . ? 2n ? 1

试题分析: (1) 利用 an 与 S n 之间的关系 an ? ?

n ?1 ? S1 , n ?1 , 对 n 分两种情况讨论, ? S n ? S n ?1 , n ? 2

时,求 a1 的值, n ? 2 时,利用 an ? Sn ? Sn ?1 得出 an 与 an ?1 之间的关系,进而利用定义证

明数列 ? an ? 为等比数列; (2)在(1)的条件下求出 b1 ? 2a1 的值,然后根据数列 ?bn ? 的递推公式的结构利用倒数 法得到数列 ?

?1? ?1? 通过求处等差数列 ? ? 的通项公式求出数列 ?bn ? 的通项公 ? 为等差数列, ? bn ? ? bn ?

? 2n ?1 ? b 式; (3)利用(2)中数列 ? n ? 的通项公式,并根据数列 ? ? 的通项公式的结构选择错 ? bn ?
位相减法求数列 ?

? 2n ?1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?
1分 2分

试题解析: (1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? (m ? 1) ? ma1 ,解得 a1 ? 1 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? man ?1 ? man .即 (1 ? m)an ? man ?1 . 又 m 为常数,且 m ? 0 ,∴

an m ? (n ? 2) . an ?1 1 ? m

3分

∴数列 {an } 是首项为 1,公比为

m 的等比数列. 1? m
bn ?1 ,∴ 1 ? bn ?1

4分

(2) b1 ? 2a1 ? 2 5 分 ∵ bn ?

1 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) . 7 分 bn bn ?1 bn bn ?1
8分

∴?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列. 2 ? bn ?
1 1 2n ? 1 2 ? ? (n ? 1) ?1 ? ,即 bn ? bn 2 2 2n ? 1



(n ? N ? ) .

9分

(3)由(2)知 bn ?

2n ?1 2 ? 2 n (2n ? 1) . ,则 bn 2n ? 1
10 分

2 2 23 2 4 2n 2n ?1 ? ? ?? ? ? 所以 Tn ? , b1 b2 b3 bn ?1 bn
即 Tn ? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? ? ? 2
1 2 3 2 3 4 n ?1

? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ,
n ?1

① ②

11 分 12 分

则 2Tn ? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? ? ? 2 ? (2n ? 3) ? 2
n

? (2n ? 1) ,
13 分

②-①得 Tn ? 2

n ?1

? (2n ? 1) ? 2 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n ?1 ,

n ?1 故 Tn ? 2 ? (2n ? 1) ? 2 ?

23 (1 ? 2n ?1 ) ? 2n ?1 ? (2n ? 3) ? 6 . 1? 2

14 分

考点:1.利用定义证明等比数列;2.倒数法求数列的通项公式;3.错位相减法 21.设函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? bx . 2

(1)当 a ? b ?

1 时,求函数 f ? x ? 的最大值; 2 1 2 a ax ? bx ? ? 0 ? x ? 3? 其图象上任意一点 P ? x0 , y0 ? 处切线的 2 x

(2)令 F ? x ? ? f ? x ? ?

斜率 k ?

1 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2
2

(3)当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ? x ? ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值. 【答案】 (1) 函数 f ? x ? 的最大值为 ? 【解析】 试题分析: (1)将 a ? b ?

3 1 ?1 ? ; (2) 实数 a 的取值范围是 ? , ?? ? ; (3)m ? . 4 2 ?2 ?

1 代入函数 f ? x ? 的解析式,利用导数求出函数 f ? x ? 的最大值; 2

( 2 )先求出函数 F ? x ? 的解析式,利用导数将问题转化为 a ? ? ?

? 1 2 ? x0 ? x0 ? 对任意 ? 2 ?max

1 2 x0 ? ? 0, 3? 恒成立的问题处理,利用二次函数的最值的求法求 ? x0 ? x0 的最大值,从而得 2
到实数 a 的取值范围; (3)将问题等价转化为函数 g ? x ? ? x ? 2m ln x ? 2mx 在定义域上
2

只有一个零点处理, 结合导数研究函数 g ? x ? 的单调性, 利用极值与最值的关系求出正数 m 的值. 试题解析: (1)依题意,知 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当a?b? 分 令,解得 x ? 1.(? x ? 0)

1 1 2 1 1 1 1 ?( x ? 2)( x ? 1) 时, f ( x) ? ln x ? x ? x , f ?( x) ? ? x ? ? 2 4 2 x 2 2 2x

2

因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递 增; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减。 所以 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ?

3 ,此即为最大值 4

4分

(2) F ( x) ? ln x ?

x ?a 1 a , x ? (0,3] ,则有 k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? , 在 x0 ? (0,3] 上恒成立, x0 2 x

∴ a ≥ (?

1 2 x0 ? x0 ) max , x0 ? (0,3] 2 1 2 1 1 x0 ? x0 取得最大值 ,所以 a ≥ 2 2 2
2
2

当 x 0 ? 1 时, ?

8分

(3)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,所以 x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解,

) ? 设 g ( x) ? x ? 2m ln x ? 2mx , 则 g ?( x
2

2 x 2 ?2m x ? 2 m . 令 g ?( x) ? 0 ,x2 ? mx ? m ? 0 x

m ? m 2 ? 4m m ? m 2 ? 4m ? 0 (舍去) 因为 m ? 0, x ? 0, 所以 x1 ? , x2 ? , 2 2
当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减, 当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上单调递增, 当 x ? x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x) 取最小值 g ( x2 ) . 10 分

? x2 2 ? 2m ln x2 ? 2mx2 ? 0 ? g ( x2 ) ? 0 ? 则? 即? 2 ? x2 ? mx2 ? m ? 0 ? g ?( x2 ) ? 0 ?
所以 2m ln x2 ? mx2 ? m ? 0, 因为 m ? 0, 所以 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0(?) 12 分

设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 ,因为当 x ? 0 时, h( x ) 是增函数,所以 h( x) ? 0 至多有一解.

∵ h(1) ? 0 ,∴方程(*)的解为 x2 ? 1 ,即

m ? m 2 ? 4m 1 ? 1 ,解得 m ? 2 2

14 分

考点:1.函数的最值;2.函数不等式恒成立;3.函数的零点问题


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