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高三二轮学案 函数与方程学生版

邯郸市一中 2012 级二轮复习数学学案

制作人:高三数学组 段纪飞

使用时间 2014、12—2015、3

函数与方程的思想 一、知识要点: 1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想 函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概 念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问 题,从而使问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小 值、图像变换等. (2)方程的思想 方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构 造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得以解 决.方程的教学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的 观点观察处理问题.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系. 2.函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的,如函数问题可以转化为方程问题来解决,方程 问题也可以转化为函数问题加以解决,如解方程 f(x)=0,就是求函数 y=f(x)的零点,解 不等式 f(x)>0(或 f(x)<0),就是求函数 y=f(x)的正(或负)区间,再如方程 f(x)=g(x)的解的 问题可以转化为函数 y=f(x)与 y=g(x)的交点问题,也可以转化为函数 y=f(x)-g(x)与 x 轴的交点问题,方程 f(x)=a 有解,当且仅当 a 属于函数 f(x)的值域,函数与方程的这种 相互转化关系十分重要. 二、典型例题及强化训练 角度一 求最值或参数的范围

OB 的夹角为 60° [例 1] 长度都为 2 的向量 OA , , 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB (劣
弧)上, OC =m OA +n OB ,则 m+n 的最大值是________.

1.(1)若 a,b 是正数,且满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围为________. π? (2)如果方程 cos2x-sin x+a=0 在? ?0,2?上有解,则 a 的取值范围为________.

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角度二

解决图像交点或方程根等问题

1 [例 2] 设函数 f(x)= ,g(x)=-x2+bx,若 y=f(x)的图像与 y=g(x)的图像有且仅有 x 两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( A.x1+x2>0,y1+y2>0 B.x1+x2>0,y1+y2<0 C.x1+x2<0,y1+y2>0 D.x1+x2<0,y1+y2<0 )

2.已知方程 9x-2· 3x+(3k-1)=0 有两个实根,则实数 k 的取值范围为________.

角度三 [例 3]

函数与方程思想在不等式中的应用

1 3 (2013· 郑州模拟)已知函数 f(x)=ln x- x+ -1,g(x)=-x2+2bx-4,若对 4 4x

任意 x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式 f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数 b 的取值范围.

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3.设 f(x)=ln x+ x-1,证明: 3 (1)当 x>1 时,f(x)< (x-1); 2 9?x-1? (2)当 1<x<3 时,f(x)< . x+5

角度四

函数与方程思想在数列中的应用

8 1?n ?1?n+?1?n(其中 n∈N*),且该数 [例 4] 若数列{an}的通项公式为 an= ×? - 3 × 8 ?4? ?2? 3 ? ? 列中最大的项为 am,则 m=________.

4.(2013· 全国高考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2 2,且 S1,S2,S4 成等 比数列,求{an}的通项公式.

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角度五

函数与方程思想在解析几何中的应用 2 , 2

[例 5] 椭圆 C 的中点为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,短轴长为 2,离心率为 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A,B,且 AP =3 PB (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 m 的取值范围.

y2 5.(2013· 西城模拟)如图,椭圆 C:x2+ =1(0<m<1)的左顶点为 A,M 是椭圆 C 上 m 异于点 A 的任意一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称.

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9 4 3? (1)若点 P 的坐标为? , ,求 m 的值; ?5 5 ? (2)若椭圆 C 上存在点 M,使得 OP⊥OM,求 m 的取值范围.

应用函数与方程思想解决问题时应注意以下五个方面的思考和切入 (1)函数与不等式的相互转化.对函数 y=f(x),当 y>0 时,就化为不等式 f(x)>0,借 助于函数的图像和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题 十分重要. (3)在三角函数求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通过三角函数关系化为未 知量的表达式,那么问题就能化为未知量的方程来解. (4)解析几何中的许多问题,如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方 程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数 表达式的方法加以解决.

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函数与方程思想专练 一、选择题 1.(2013· 青岛模拟)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则数 列{an}的公比为( 1 A. 2 ) 1 B. 3 2 C. 5 4 D. 9 )

x2 y2 2.若 a>1,则双曲线 2- =1 的离心率 e 的取值范围是( a ?a+1?2 A.(1, 2) B.( 2, 5) C.[ 2, 5] D.( 3, 5)

3.已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为( A.(-∞,2)∪(3,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) 4.若 2x+5y≤2 y+5 x,则有(
- -

)

B.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,3) ) C.x-y≤0 D.x-y≥0

A.x+y≥0 B.x+y≤0

5.如图, A 是单位圆与 x 轴的交点, 点 P 在单位圆上, ∠AOP=θ(0<θ<π),OQ = OA + OP ,四边形 OAQP 的面积为 S,当 OA · OP +S 取得最大值时 θ 的值为( π A. 6 π B. 4 π C. 3 π D. 2 )

6. (2013· 西安模拟)已知函数 f(x)=cos x(x∈(0,2π))有两个不同的 零点 x1,x2,且方程 f(x)=m 有两个不同的实根 x3,x4.若把这四个数 按从小到大的排列构成等差数列,则实数 m 的值为( 1 A. 2 1 B.- 2 C. 3 2 D.- 3 2 )

二、填空题 7.若方程 sin2x+2sin x+a=0 有解,则实数 a 的取值范围是________. 8.已知数列{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N*,an=n2+λn 恒成立,则实数 λ 的取值范围是________. 9 .设 f(x) , g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f′(x)g(x) + f(x)g′(x)>0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是________. 三、解答题
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10.(2013· 贵阳模拟)已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S7=70,且 a1,a2,a6 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+48 (2)设 bn= ,数列{bn}的最小项是第几项,并求出该项的值. n

11. (2013· 海淀模拟)如图, 曲线 M: y2=x 与曲线 N: (x-4)2+2y2=m2(m>0)相交于 A, B,C,D 四个点. (1)求 m 的取值范围; (2)求四边形 ABCD 的面积的最大值及此时对角线 AC 与 BD 的交点坐标.

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12.已知函数 f(x)=ax3+(2-a)x2-x-1(a>0). (1)若 a=4,求 f(x)的单调区间; x1 1 ? ,2 ,求 a 的取值范围. (2)设 x1,x2,为关于 x 的方程 f(x)=0 的实根,若 ∈? x2 ?2 ?

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