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许昌市五校2010-2011学年高二下学期第一次联考数学(文)试题


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2010-2011 学年许昌市联考高二下学期 文科数学试卷
n n ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? xi yi ? n x y ?? 1 参考公式: ? b ? i ? 1 n ; ? i ?n 2 2 2 1 .? ? ( xi ? x ) ? xi ? n x i ?1 i ?1 ? ? ? ? a? y?b x ?

2. K

2

?

n(ad ? bc)

2

( a ? b )(c ? d )( a ? c )(b ? d )

n

3. R 2

?
?1?
i ?1 n i ?1

?y

i

? ?i y ? y

?
?

2

? ?y
P (K
2

2

i

? k)

k
P (K
2

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 0.05 0.025 0.010 0.005 0. 001 3.841 5.024 6.636 7.879 10.828

4.

? k)

k

一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知 y 关于 x 的回归方程为 ? ? 2 ? 1 .5 x ,则变量 x 减少一个单位时( ) y A. y 平均增加 1.5 个单位 B. y 平均增加 2 个单位 C. y 平均减少 1.5 个单位 D. y 平均减少 2 个单位 2.想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别 有关,应检验( ) A. H 0 : 男生喜欢参加体育活动 B. H 0 : 女生不生喜欢参加体育活动 C. H 0 : 喜欢参加体育活动与性别有关 2 3 4 x D. H 0 : 喜欢参加体育活动与性别无关 y 3 4 6 3.已知 x , y 之间的一组数据如表 所示,对于表中数据,现 在给出如下拟合直线,则根据最小二乘法思想判断拟合程度最好的直线是( A. ? ? x ? 1 y B. ? ? 2 x ? 1 y C. ? ? 1 .6 x ? 0 .4 y D. ? ? 1 .5 x y 4.观察两个变量得到如下数据:
x

5 8 )

6 9

y

-1 -2 -0.9 -2

-3 -4 -5 5 -3.1 -3.9 -5.1 5 ) C. ? y

4 4.1

3 2.9

2 2.1
源:Z|xx|k.Com]

[



1 0.9

则两个变量的回归直线方 程是( A. ? y
? 0 .5 x ? 1

B. ? y

? x

? 2 x ? 0 .3

D. ? y

? x ?1

1

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5.已知数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n A.
2

? n a n ? n ? 2 ? ,而 a 1 ? 1 ,通过计算 a 2 , a 3
2

,猜想 a n =(



?n

? 1?

2

B.

2 n ? n ? 1?

C.

2 2 ?1
n

D.

2 2n ? 1

6. 甲乙丙丁四位同学各自对 X , Y 两变量的线性相关性做实验, 并用回归分析方法分别求得相 关系数 r 与残差平方和 E 如下表: 甲 乙 丙 丁 0.82 0.78 0.69 0.85 r 106 115 124 103 E 则哪位同学的实验结果表明 X , Y 两变量具有更强的线性相关性?( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.已知①正方形的对角线相等,②矩形的对角线相等,③正方形是矩形。根据“三段论”推 理出一个结论,则这个结论是 ( ) A.正方形的对角线相等 B.矩形的对角线相等 C.正方形是矩形 D.其它 8.下列几种推理是演绎推理的是( ) A.在数列 ? a n ? 中, a 1
? 1, a n ? 1 ? 1 ? ? a n ?1 ? ??n ? 2? 2? a n ?1 ?

,由此归纳出 ? a n ? 的通项公式

B.某高校高三(1)班有 55 人, (2)班有 54 人, (3)班有 52 人,由此得出高三所有班级的 人数都超过 50 人。 C.由平面三角形的性质,推测出空间四面体的性质 D.两条直线平行,同旁内角互补。如果 ? A 和 ? B 是两条直线的同旁内角,则 ? A + ? B
??

9.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,假设正确的是( A .假设三内角都不大于 60 度 C.假设三内角至少有一个大于 60 度 D.假设三内角至多有二个大于 60 度 10.定义 x ? A. a 11.已知 直 线 l ①? A.0 12.观察等式: s in 2 3 0 ?
2 ? 2 ?



B.假设三内角都大于 60 度

y ? x ? y
3

,则 a ? a ? a ? ? ( B. 0

) C. ? a D. a 3

? 平 面 ?, 直 线 m ? 平 面 ?

,以下命题真命题的个数为( )
/ /m ? ? ? ?

/ /? ? l ? m

,② ?

? ? ? l / /m

,③ l

B.1
2 ? ?

C.2
?

D.3 , s in 2 2 0 ?
? c o s 5 0 ? s in 2 0 s in 5 0 ?
2 ? ? ?

? c o s 6 0 ? s in 3 0 s in 6 0 ?

3 4

3 4

,

s in 1 5 ? c o s 4 5 ? s in 1 5 s in 4 5 ?

?

?

3 4

,

??,由此得出以下推广命题不正确的是(



2

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A. s in 2 ? B. s in 2 ? ? C. s in 2 ? ? D. s in 2 ?

? c o s ? ? s in ? c o s ? ?
2

3 4

? 30

?

? ? cos
? ? cos ??

2

? ? s in ? ? ? 3 0
? ? s in ? ? ? 3 0

?

? cos ?
? cos ?
?

?

3 4

? 30

?

2

?

?

3 4 3 4

? cos

2

? 30

?

? ? s in ?

co s ?? ? 3 0

??

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.设 x ? 14.设
R , 且 x ? 0, 若 x ? x
?1

? 3, 归 纳 猜 想 x

2

n

? x

2

?n

? n ? N ? 的个位数字是
*

f 0 ? x ? ? c o s x , f1 ? x ? ? f 0? ? x ? , ? , f n ?1 ? x ? ? f n ? ? x ? ? n ? N

? ,则

f 2011 ? x ? ?
[来源:学科网 ZXXK]

15.在如图所示的数阵中,第 n ? n 16.以下说法中正确的是

? 3?

行从左到右第 3 个数是

① 甲乙两同学各自独立地考察了两个变量 X , Y 的线性相关关系 时,发现两个人对 X 的观测数据的平均值相等,都是 s 。对 Y 的 观测数据的平均值也相等 ,都是 t 。各自求出 的回归直线分别是
l1 , l 2 ,则直线 l1 , l 2 必定相交于定点 ? s , t ? 。

②用独立性检验(2×2 列联表法)来考察两个分类变量 X , Y 是否 有关系时,算出的随机变量 K 2 的值越大,说明“ X , Y 有关系”成立的可能性越大。 ③合情推理就是正确的推理。
n

④最小二乘法的原理是使得 ?
i ?1

? yi ? ? a ? b xi ? ? ? ?

2

最小。

⑤用相关指数 R 2 来刻画回归效果, R 2 越小,说明模型的拟合程度越好。 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.) 17. (本小题 10 分)证明: 6 ? 7 ? 2 2 ? 5

3

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18. (本小题 12 分)在人们对休闲方式的一次调 查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男 性 54 人。女性中有 43 人的休闲方式是看电视,27 人的休闲方式是参加体育运动。男性中有 21 人的休闲方式是看电视,33 人的休闲方式是参加体育运动。 (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表 (2)判断性别是否与休闲方式有关系

19. (本小题 12 分)若 x , y

? 0

且x ?

y ? 2

,求证

1? x y

? 2



1? y x

? 2

中至少有一个成立。

20. (本小题 12 分)若 s in ? 2 ?

??

??

5 s in ?

,证明 2 tan ? ?

??

? ? 3 tan ?

21. (本小题 12 分)已知函数 f ? x ? ? x 3 ? a x 2 ? b x ? c ,在曲线 y 切线方程是 y ? 3 x ? 1 ,且函数在 x ? ? 2 处有极值。 (1)求 f ? x ? 的解析式 (2)求 f ? x ? 在 ? ? 3,1 ? 上的最值

? f

? x ? 上的点 P ? 1, f ? 1 ? ? 处的

22. (本小题 12 分)已知某商品的价格 x (元)与需求量 y (件)之间的关系有如下一组数 据:
x

y

14 12

16 10

18 7

20 5

22 3

(1)画出 y 关于 x 的散点图 (2)用最小二乘法求出回归直线方程 (3)计算 R 2 的值,并说明回归模型拟合程度的好坏。
5 5 2 2 5

参考数据: x
5

? 1 8 , y ? 7 .4 , ? x i ? 1 6 6 0 , ? y i ? 3 2 7 , ? x i y i ? 6 2 0
i ?1 i ?1 i ?1

?
i ?1

?y

i

? ?i y

?

2

? 0 .3 ,

? ?y
i ?1

5

i

? y

?

2

? 5 3 .2

4

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高二文科数学
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 15. 三、解答题 17.证明: 要证 只需证 即证
6 ? 7 ? 2
7
n

1 A 7
2

2 D

3 C

4 B

5 B

6 D 14.

7 C

8 D

9 B
sin x

10 A

11 C

12 A

?

n 2

2

? 3?n ? 3?

16.

①②④

2 ?
?

5
2 ? 5

?

6 ?

?

2

?2

?

2

13 ? 2

42 ? 13 ? 4 10

42 ? 2 10 即证 即证 42 ? 40 因为 4 2 ? 4 0 显然成立 所以 原命题成立 18.解: (1)2×2 列联表如下: 看电视 43 女 21 男 64 合计

运动 27 33 60
2

合计 70 54 124
2

(2)假设休闲方式与性别无关,计算 K 因为 6.021>5.024, P ? K
1? x y
2

?

124 ? 43 ? 33 ? 27 ? 21? 70 ? 54 ? 64 ? 60

? 6 .0 2 1

? 5 .0 2 4 ? ? 0 .0 2 5 ,所以有理由认为假设休闲方式与性别无关是不合理的,

即我们有 97.5%的把握认为休闲方式与性别有关。 19.证明:假设
? 2且

1? y x

? 2 ,则 1 ? x ? 2 y ,1 ? y ? 2 x

所以 ? 1 ? x ? ? ? 1 ? y ? ? 2 y ? 2 x ,即 x ? y ? 2 ,与题设矛盾。 所以假设不成立,原命题成立。 20.证明:由 展开得 即 所以
s i n ? ? ?? ? ? 2
s i n ? ? ?? ?

5 s i ,得 s in ? ? ? ? ? ?n ?
c o?s? ?

??? ? ?

? 5 s in ? ? ? ? ? ? s i ? 5 ?? ?n ?

??? ? ?
?c ? s ? o ?c o ? ? ? s ? ? ?
s in

c o? ? s

??

s??n? i ?

6 c o s ? ? ? ? ? sin ? ? 4 sin ? ? ? ? ? c o s ? 2 tan ? ? ? ?
2

? ? 3 tan ?

21.解: (1) f ? ? x ? ? 3 x ? 2 a x ? b ,由已知得
? f ? ?1 ? ? 3 ? 2 a ? b ? 3 ? a ? 2 ? ,解得 ? ? ? f ?? ?2 ? ? 12 ? 4a ? b ? 0 ?b ? ?4 ?

又因为点 P 在直线 y ? 3 x ? 1 上,所以 f ? 1 ? ? 1 ? a ? b ? c ? 4 ,解得 c ? 5 所以 f ? x ? ? x ? 2 x ? 4 x ? 5
3 2
2 (2) f ? ? x ? ? 3 x ? 4 x ? 4
[来源:Z,xx,k.Com]

5

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由 f ? ? x ? ? 0 解 得 x ? -2 或 x ?

2 3

,由 f ? ? x ? ? 0 解 得 - 2 ? x ?
? ? 2 ? 3 ? ? 2 ? ,1 ? 递 增 ? 3 ?

2 3

所以 f ? x ? 在 ? ? 3 , ? 2 ? 递 增 , 在 ? ? 2 , ? 递 减 , 在 ? 由 f ? ? 3 ? = 0, f ? ? 2 ? ? 5, f ?

67 ? 2 ? ? 2? , f ?1 ? ? ? 4 知 f ? ? ? f ?1 ? ? f ? ? ? 9 ? 3 ? ? 3? 67 ? 2 ? ? ? ? 9 ? 3 ?

??3? ?

f

??2 ?

所以 f ? x ? m a x ? f ? ? 2 ? ? 5 , f ? x ? m in ? f ?

6


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