当前位置:首页 >> 数学 >>

放缩法与反证法证明不等式 【新人教A版】高中数学课件_图文

不等式的证明 复习 ? 不等式证明的常用方法: ? 比较法、综合法、分析法 反证法 先假设要证明的命题不成立,以此为出发点, 结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等, 进行正确的推理,得到矛盾,说明假设不正确, 从而间接说明原命题成立的方法。 例1.已知x,y ? 0,且x ? y ? 2.试证: 1? x 1? y , 中至少有一个小于2. y x ?例2、已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0, 例题 ? abc > 0, 求证:a, b, c > 0 ? 证:设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 ? 又由a + b + c > 0, 则b + c > ?a > 0 ? ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 ? 与题设矛盾 ? 若a = 0,则与abc > 0矛盾, ? ∴必有a > 0 ? 同理可证:b > 0, c > 0 例3、设0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a, 不可能同时大于1/4 证明:设(1 ? a)b>1/4, (1 ? b)c>1/4, (1 ? c)a>1/4, 则三式相乘: (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a > 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ (1 ? b )b ? 1 4 1 1 64 2 ① 1 4 ? (1 ? a ) ? a ? 0 ? (1 ? a )a ? ? ? 2 ? ? ? (1 ? c )c ? 同理: 4 以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 与①矛盾∴结论成立 1 64 放缩法 ? ? ? ? ? 在证明不等式过程中,有时为了证明 的需要,可对有关式子适当进行放大或缩 小,实现证明。例如: 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。 例1、若a, b, c, d?R+,求证: 1? a b c d ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d?a?c 证:记m = ?m ? a b c d ? ? ? a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c ∵a, b, c, d?R+ a b c d ? ? ? ?1 a?b?c?d a?b?c?a c?d ?a?b d ?a?b?c 同时 m? a b c d ? ? ? ?2 a?b a?b c?d d?c ∴1 < m < 2 即原式成立 例2已知a,b是实数,求证: a+b 1? a ? b ? a 1? a ? b 1? b . 法1: a?b 1? a ? b ? a 1? a ? b 1? b 证明:在 a ? b ? 0 时,显然成立. 1 ? 当 a ? b ? 0 时,左边 1 ? 1 1 a ? b a?b ?1 a ?b b |a| ? ? ? 1? a ? b 1? a ? b ?1 1? a ? b ? a 1? a ? b 1? b . 法2: a?b ?0 ? a ? b ? a ? b , a ? b ?1?1 1 ? ? ? 1? 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b a ? b 1 ? ? 1? 1? a ? b 1? a | ? | b b |a| ? ? 1? a ? b 1? a ? b ? a 1? a ? b 1? b . 法3:函数的方法 例3求证: 1 1 1 2( n+1-1)<1+ ? ? ... ? ? 2 n (n ? n* ) 2 3 n ? 1 2 ? ? k 2 k 2 k ? k ?1 ? 2( k ? k ? 1), k ? N * ?1 ? 1 1 1 ? ? ??? ? 2 3 n 0) ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ??? ? ( n ? n ? 1)] ? 2 n. ? 2[( 1 ? 例4、巳知:a、b、c∈ a 2 ? ab ? b 2 ? R? ,求证: a 2 ? ac ? c 2 ? a ? b ? c a 2 ? ac ? c 2 a 2 3 2 (c ? ) ? a 2 4 略 解 ? ? a 2 ? ab ? b 2 ? a 2 3 2 (b ? ) ? a ? 2 4 (b ? (c ? a 2 ) ? 2 ? a?b?c a 2 ) 2 小结 ? ? ? ? ? 在证明不等式过程中,有时为了证明的 需要,可对有关式子适当进行放大或缩小, 实现证明。例如: 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是定理2(传递性性质) 课堂练习 1、当 n > 2 时,求证:log n ( n ? 1) log n ( n ? 1) ? 1 证:∵n > 2 ∴log n ( n ? 1) ? 0, log n ( n ? 1) ? 0 ? log n ( n ? 1) ? log n ( n ? 1) ? ? log n ( n ? 1) log n ( n ? 1) ? ? ? 2 ? ? ? log n ( n 2 ? 1) ? ? ? ? 2 ? ? 2 2 ∴ n > 2时 , log n ( n ? 1) log n ( n ? 1) ? 1 ? log n n 2 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?1 课堂练习 ? 2、若p>0,q>0,且p3+q3=2, ? 求证:p+q≤2 课堂小结 ? 证明不等式的特殊方法: ? (1)放缩法:对不等式中的有关式子进行 ? 适当的

更多相关标签: