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福建省泉州市南安一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


2015-2016 学年福建省泉州市南安一中高二(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为 3:5:7,现用分层抽样的方法 抽出容量为 n 的样本,其中甲种产品有 18 件,则样本容量 n=( A.45 B.54 C.90 D.126 )

2.如图,两个变量具有相关关系的图是(

)

A. (1) (2) B. (1) (3) C. (2) (4) D. (2) (3)

3. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, ?, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间的人数为( A.11 B.12 C.13 D.14 )

4.“m=1”是“函数 f(x)=x ﹣6mx+6 在区间(﹣∞,3]上为减函数”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

2

)

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

5.为了研究一片大约一万株树木的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位: cm) ,根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图,那么在这片树木中底部周长大于 100cm 的株树大约中( )

A.3000 B.6000 C.7000 D.8000

6.某初级中学领导采用系统抽样方法,从该校预备年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙 齿健康检查.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得间隔数 k= =16,即每 16 人抽取

一个人.在 1~16 中随机抽取一个数,如果抽到的是 7,则从 33~48 这 16 个数中应取的数是 ( A.40 ) B.39 C.38 D.37

7.下列说法中正确的是(

)

A.事件 A,B 中至少有一个发生的概率一定比 A,B 中恰有一个发生的概率大 B.事件 A,B 同时发生的概率一定比事件 A,B 恰有一个发生的概率小 C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件 D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件

8.如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图.估计这批产品 的中位数为( )

A.20

B.25

C.22.5 D.22.75

9.已知 a∈{﹣2,0,1,3,4},b∈{1,2},则函数 f(x)=(a ﹣2)x+b 为增函数的概率 是( A. ) B. C. D.

2

10.运行如图框图输出的 S 是 254,则①应为(

)

A.n≤5 B.n≤6 C.n≤7 D.n≤8

11.一只蜜蜂在一个棱长为 5 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 2,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( A. B. C. D. )

12.有 10 个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球 任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积 的和为( A.45 ) B.55 C.90 D.100

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是__________;

14.设 a∈R,则“直线 y=a x+1 与直线 y=x﹣1 平行”的__________条件是“a=1”.

2

15.已知一个三角形的三边长分别是 5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小, 则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是__________.

16.某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到校,且 每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 __________(用数字作答) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取 出 1 个球,每个球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率.

18.2015 年 7 月 16 日,电影《捉妖记》上映,上映至今全国累计票房已超过 20 亿,某影院 为了解观看此部电影的观众年龄的情况,在某场次的 100 名观众中随机调查了 20 名观众,已 知抽到的观众年龄可分成 5 组: A.45 B.54 C.90 D.126

【考点】分层抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】由分层抽样的特点,用 A 种型号产品的样本数除以 A 种型号产品所占的比例,即得 样本的容量 n. 【解答】解:A 种型号产品所占的比例为 18 故选:C. 【点评】本题考查分层抽样的定义和方法,各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比, 属于基础题. ,故样本容量 n=90. = ,

2.如图,两个变量具有相关关系的图是(

)

A. (1) (2) B. (1) (3) C. (2) (4) D. (2) (3) 【考点】变量间的相关关系. 【专题】图表型;数形结合;数形结合法;概率与统计. 【分析】根据相关关系的定义,分析四个图形中两个变量的关系,可得答案. 【解答】解: (1)中两个变量之间是确定的函数关系, (2)中两个变量之间具有相关关系; (3)中两个变量之间具有相关关系; (4)中两个变量之间不具有相关关系; 故两个变量具有相关关系的图是(2) (3) , 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是变量间的相关关系,正确理解相关关系的概念是解答的关键.

3. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, ?, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间的人数为( )

A.11

B.12

C.13

D.14

【考点】系统抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】根据系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,那么从 20 人抽取 1 人.从而得出从编 号 481~720 共 240 人中抽取的人数即可. 【解答】解:使用系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,即从 20 人抽取 1 人. 所以从编号 1~480 的人中, 恰好抽取 人. 故:B. 【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于基础题. =24 人, 接着从编号 481~720 共 240 人中抽取 =12

4.“m=1”是“函数 f(x)=x ﹣6mx+6 在区间(﹣∞,3]上为减函数”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

2

)

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据二次函数的图象和性质,求出函数 f(x)=x ﹣6mx+6 在区间(﹣∞,3]上为减 函数的 m 的取值,进而根据充要条件的定义,得到答案. 【解答】解:若函数 f(x)=x ﹣6mx+6 在区间(﹣∞,3]上为减函数,则 3m≥3, 解得:m≥1, 故“m=1”是“函数 f(x)=x ﹣6mx+6 在区间(﹣∞,3]上为减函数”的充分不必要条件, 故选:B 【点评】判断充要条件的方法是: ①若 p? q 为真命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p? q 为假命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p? q 为真命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p? q 为假命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命 题 p 与命题 q 的关系.
2 2 2

5.为了研究一片大约一万株树木的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位: cm) ,根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图,那么在这片树木中底部周长大于 100cm 的株树大约中( )

A.3000 B.6000 C.7000 D.8000 【考点】频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】在频率分布表中,频数的和等于样本容量,频率的和等于 1,每一小组的频率等于这 一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中,小矩形的面积等于这一组的频率.底部周长 小于 100cm 的矩形的面积求和乘以样本容量即可. 【解答】解:由图可知:底部周长小于 100cm 段的频率为(0.01+0.02)×10=0.3, 则底部周长大于 100cm 的段的频率为 1﹣0.3=0.7 那么在这片树木中底部周长大于 100cm 的株树大约 10000×0.7=7000 人. 故选 C. 【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力.统 计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现,基本上是低起点题.

6.某初级中学领导采用系统抽样方法,从该校预备年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙 齿健康检查.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得间隔数 k= =16,即每 16 人抽取

一个人.在 1~16 中随机抽取一个数,如果抽到的是 7,则从 33~48 这 16 个数中应取的数是 ( A.40 ) B.39 C.38 D.37

【考点】系统抽样方法. 【专题】计算题.

【分析】各组被抽到的数,应是第一组的数加上间隔的正整数倍,倍数是组数减一. 【解答】解:根据系统抽样的原理: 应取的数是:7+16×2=39 故选 B 【点评】本题主要考查系统抽样,系统抽样要注意两点:一是分组的组数是由样本容量决定 的,二是随机性是由第一组产生的数来决定的.其他组加上间隔的正整数倍即可.

7.下列说法中正确的是(

)

A.事件 A,B 中至少有一个发生的概率一定比 A,B 中恰有一个发生的概率大 B.事件 A,B 同时发生的概率一定比事件 A,B 恰有一个发生的概率小 C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件 D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件 【考点】互斥事件与对立事件;命题的真假判断与应用. 【分析】互斥事件是不可能同时发生的事件,而对立事件是 A 不发生 B 就一定发生的事件, 他两个的概率之和是 1. 【解答】解:由互斥事件和对立事件的概念知 互斥事件是不可能同时发生的事件 对立事件是 A 不发生 B 就一定发生的事件, 故选 D 【点评】对立事件包含于互斥事件,是对立事件一定是互斥事件,但是互斥事件不一定是对 立事件,认识两个事件的关系,是解题的关键.

8.如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图.估计这批产品 的中位数为( )

A.20

B.25

C.22.5 D.22.75

【考点】频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】根据频率分布直方图中,中位数的左右两边频率相等,列出等式,求出中位数即可. 【解答】解:根据频率分布直方图,得; ∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5, 0.3+0.08×5=0.7>0.5; ∴中位数应在 20~25 内, 设中位数为 x,则 0.3+(x﹣20)×0.08=0.5, 解得 x=22.5; ∴这批产品的中位数是 22.5. 故选:C. 【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题,是基础题目.

9.已知 a∈{﹣2,0,1,3,4},b∈{1,2},则函数 f(x)=(a ﹣2)x+b 为增函数的概率 是( A. ) B. C. D.

2

【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】首先求出所以事件个数就是集合元素个数 5,然后求出满足使函数为增函数的元素个 数为 3,利用公式可得. 【解答】解:从集合{﹣2,0,1,3,4}中任选一个数有 5 种选法,使函数 f(x)=(a ﹣2) x+b 为增函数的是 a ﹣2>0 解得 a>
2 2

或者 a<
2

,所以满足此条件的 a 有﹣2,3,4 共

有 3 个,由古典概型公式得函数 f(x)=(a ﹣2)x+b 为增函数的概率是 ; 故选:B. 【点评】本题考查了古典概型的概率求法;关键是明确所有事件的个数以及满足条件的事件 公式,利用公式解答.

10.运行如图框图输出的 S 是 254,则①应为(

)

A.n≤5 B.n≤6 C.n≤7 D.n≤8 【考点】程序框图. 【专题】图表型. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加 S=2+2 +?+2 的值,并输出满足循环的条件. 【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加 S=2+2 +?+2 的值, 并输出满足循环的条件. ∵S=2+2 +?+2 +2 =254, 故①中应填 n≤7. 故选 C. 【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程 序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋 值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程 图的含义而导致错误.
2 6 7 2 n 2 n

11.一只蜜蜂在一个棱长为 5 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 2,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( A. B. C. D. )

【考点】几何概型.

【专题】概率与统计. 【分析】小蜜蜂的安全飞行范围为:以这个正方体的中心为中心且边长为 1 的正方体内.这

个小正方体的体积为大正方体的体积的

,故安全飞行的概率为



【解答】解:由题知小蜜蜂的安全飞行范围为: 以这个正方体的中心为中心且边长为 1 的正方体内. 这个小正方体的体积为 1, 大正方体的体积为 27,

故安全飞行的概率为 p= 故选 C.



【点评】本题考查几何概型概率的求法,解题时要认真审题,注意小蜜蜂的安全飞行范围为: 以这个正方体的中心为中心且边长为 1 的正方体内.

12.有 10 个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球 任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积 的和为( A.45 ) B.55 C.90 D.100

【考点】归纳推理. 【专题】等差数列与等比数列;推理和证明. 【分析】用特殊值法,假设每次分出一个,分别求出每一次的乘积,然后等差数列的性质相 加可得答案. 【解答】解:假设每次分堆时都是分出 1 个球, 第一次分完后应该一堆是 1 个球,另一堆 n﹣1 个,则乘积为 1×(n﹣1)=n﹣1; 第二次分完后应该一堆是 1 个球,另一堆 n﹣2 个,则乘积为 1×(n﹣2)=n﹣2; 依此类推 最后一次应该是应该一堆是 1 个球,另一堆 1 个,则乘积为 1×1=1; 设乘积的和为 Tn, 则 Tn=1+2+?+(n﹣1)= n(n﹣1)

当 n=10 时,T10= ×10×(10﹣1)=45 故选:A 【点评】本题主要考查等差数列的求和.属基础题.在解答选择填空题时,特殊值法是常用 方法之一.解决本题的关键在于特殊值法的应用.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 132;

【考点】程序框图. 【专题】图表型;算法和程序框图. 【分析】 模拟执行程序框图, 依次写出每次循环得到的 s, i 的值, 当 i=10 时, 不满足条件 i≥11, 退出循环,输出 s 的值为 132. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 i=12,s=1 满足条件 i≥11,s=12,i=11 满足条件 i≥11,s=132,i=10 不满足条件 i≥11,退出循环,输出 s 的值为 132. 故答案为:132. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,依次正确写出每次循环得到的 s,i 的值是解题的 关键,属于基本知识的考查.

14.设 a∈R,则“直线 y=a x+1 与直线 y=x﹣1 平行”的充分不必要条件是“a=1”.

2

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】方程思想;数形结合法;简易逻辑.

【分析】“直线 y=a x+1 与直线 y=x﹣1 平行”?

2

,解出即可判断出结论.

【解答】解:“直线 y=a x+1 与直线 y=x﹣1 平行”?
2

2

?a=±1.

∴“直线 y=a x+1 与直线 y=x﹣1 平行”的充分不必要条件是“a=1”. 故答案为:充分不必要. 【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.

15.已知一个三角形的三边长分别是 5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小, 则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是 1﹣ 【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】分别求出对应事件对应的面积,利用几何概型的概率公式即可得到结论. 【解答】解:∵三角形的三边长分别是 5,5,6, ∴三角形的高 AD=4, 则三角形 ABC 的面积 S= , .

则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2,对应的区域为图中阴影部分, 三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的 ,圆的半径为 2, 则阴影部分的面积为 S1=12﹣ =12﹣2π ,

则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为



故答案为:1﹣



【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据条件求出相应的面积是解决本题的关键.

16.某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到校,且 每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的, 则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 (用 数字作答) . 【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点试验的 全部结果所构成的区域为 Ω ={(x,y|30≤x≤50,30≤y≤50}是一个矩形区域,则小张比小 王至少早 5 分钟到校事件 A={(x,y)|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,由图根据几何概率模 型的规则求解即可. 【解答】解:设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点试 验的全部结果所构成的区域为 Ω ={(x,y|30≤x≤50,30≤y≤50}是一个矩形区域,对应的 面积 S=20×20=400, 则小张比小王至少早 5 分钟到校事件 A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象, 则符合题意的区域

为△ABC,联立

得 C(45,50) ,联立

得 B(30,35) ,则 S△ABC= ×15×15,

由几何概率模型可知小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 故答案为: .

=



【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率,求解的关键是掌握两种求概率的方法 的定义及规则,求出对应区域的面积是解决本题的关键.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取 出 1 个球,每个球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】应用题. 【分析】设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x、y,用(x,y)表示抽取结果, 则所有可能的结果有 16 种, (I)A={(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4)},代入古典概率的求解公式可求 (Ⅱ)设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B,则 B={(1,3) , (3,1) , (2,3) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,3)},代入古典概率的求解公式可求 【解答】解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x、y, 用(x,y)表示抽取结果,则所有可能的结果有 16 种,即(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)共 16 种结果,每种情况等可能出现. (Ⅰ)设“取出的两个球上的标号相同”为事件 A, 则 A={(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4)}.

事件 A 由 4 个基本事件组成,故所求概率 答:取出的两个球上的标号为相同数字的概率为 .



(Ⅱ)设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B, 则 B={(1,3) , (3,1) , (2,3) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,3)}. 事件 B 由 7 个基本事件组成,故所求概率 答:取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率为 . .

【点评】本题主要考查了等可能事件的概率公式的应用,解题的关键是准确求出每种情况下 事件的个数.

18.2015 年 7 月 16 日,电影《捉妖记》上映,上映至今全国累计票房已超过 20 亿,某影院 为了解观看此部电影的观众年龄的情况,在某场次的 100 名观众中随机调查了 20 名观众,已 知抽到的观众年龄可分成 5 组:

【考点】频率分布直方图. 【专题】应用题;概率与统计.

【分析】 (1)根据频率分布直方图,利用频率=

,计算出对应的频率,补充完整频

率分布直方图,再计算观看此部电影的观众年龄平均数即可; (2)求出年龄在[25,30)和[40,45)内的频率与频数,用列举法求出对应的基本事件数, 计算概率即可. 【解答】解: (1)根据频率分布直方图,年龄在[25,30)的频率为 1﹣(0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.2,

∴年龄在[25,30)的小矩形的高为

=0.04,

补充画完整频率分布直方图如图所示, ∴估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为 22.5×0.01×5+27.5×0.04×5+32.5×0.07×5+37.5×0.06×5+42.5×0.02×5=33.5; (2)年龄在[25,30)内的频率为 0.2,对应的人数为 20×0.2=4,记为 a、b、c、d; 年龄在[40,45)内的频率为 0.02×5=0.1,对应的人数为 20×0.1=2,记为 E、F; 现从这 6 人中随机抽取 2 人,基本事件是 ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF,共 15 种, 属于同一年龄组的基本事件是 ab、ac、ad、bc、bd、cd、EF,共 7 种, 所以,所求的概率是 P= .

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了用列举法求古典概型的概率问题, 是基础题目.

19.某地区 2006 年至 2012 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2006 1 2.9 2007 2 3.3 2008 3 3.6 2009 4 4.4 2010 5 4.8 2011 6 5.2 2012 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2006 年至 2012 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2014 年农村居民家庭人均纯收入.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

. 【考点】线性回归方程. 【专题】概率与统计.



【分析】 (Ⅰ)根据数据求出样本平均数以及对应的系数即可求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)根据条件进行估计预测即可得到结论. 【解答】解: (Ⅰ)由题意得 =4, = =4.3,

=

= 0.5. =4.3﹣0.5×4=2.3 即 y 关于 t 的线性回归方程为 =0.5t+2.3; (Ⅱ)∵线性回归方程为 =0.5t+2.3;斜率 k=0.5>0, 可知 2006 年至 2012 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加,平均增加 0.5 千元, 当 t=9 时, =0.5×9+2.3=6.8; 预测该地区 2014 年农村家庭人均纯收入为 6.8 千元. 【点评】本题主要考查线性回归方程的求解以及应用,根据数据求出相应的系数是解决本题 的关键.考查学生的运算能力.

20.已知全集 U=R,非空集合 A= (m>0)

,B={x|(x﹣1+m) (x﹣1﹣m)≤0}

(Ⅰ)当 m=1 时,求(?UB)∩A; (Ⅱ)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;交、并、补集的混合运算. 【专题】转化思想;数学模型法;集合;简易逻辑.

【分析】 (I)由 可得出(?UB)∩A.

,解得﹣2≤x≤10,可得 A.当 m=1 时,B==.可得?UB.即

(II)由 m>0,可得 B=.由 q 是 p 的必要不充分条件,可得 B?A.

【解答】解: (I)由 当 m=1 时,B==. ?UB=(﹣∞,0)∪(2,+∞) . ∴(?UB)∩A=. (II)∵m>0,∴B=. ∵q 是 p 的必要不充分条件, ∴B?A.

,解得﹣2≤x≤10,可得 A=.

∴ 解得 0<m≤3.

,m>0,且等号不能同时成立.

【点评】本题查克拉不等式的解法、集合的运算性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

21.某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试.甲、乙两人参加了 5 次考试,成绩如下: 第一次 甲的成绩 乙的成绩 82 75 第二次 87 90 第三次 86 91 第四次 80 74 第五次 90 95

(Ⅰ)若从甲、乙两人中选出 1 人参加比赛,你认为选谁合适?写出你认为合适的人选并说 明理由;

(Ⅱ)若同一次考试成绩之差的绝对值不超过 5 分,则称该次考试两人“水平相当”.由上 述 5 次摸底考试成绩统计,任意抽查两次摸底考试,求恰有一次摸底考试两人“水平相当” 的概率. 【考点】极差、方差与标准差. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)解法一:求出 ,答案一:从稳定性角度选甲合适.

(注:按(Ⅱ)看分数的标准,5 次考试,甲三次与乙相当,两次优于乙,所以选甲合适. 答案二:通过 乙的成绩波动大,有爆发力,选乙合适. )

解法二:求出甲摸底考试成绩不低于 90 的概率,乙摸底考试成绩不低于 90 的概率,然后决 定选谁合适. (Ⅱ) 依题意知 5 次摸底考试, “水平相当”考试是第二次, 第三次, 第五次, 记为 A, B, C. “水 平不相当”考试是第一次,第四次,记为 a,b.列出这 5 次摸底考试中任意选取 2 次所有情 况.恰有一次摸底考试两人“水平相当”的情况个数然后求出概率. 【解答】解: (Ⅰ)解法一: 依题意有 ,

答案一:∵

∴从稳定性角度选甲合适.

(注:按(Ⅱ)看分数的标准,5 次考试,甲三次与乙相当,两次优于乙,所以选甲合适. 答案二:∵ 乙的成绩波动大,有爆发力,选乙合适.

解法二:因为甲 5 次摸底考试成绩中只有 1 次 90,甲摸底考试成绩不低于 90 的概率为 ; 乙 5 次摸底考试成绩中有 3 次不低于 90,乙摸底考试成绩不低于 90 的概率为 . 所以选乙合适. (Ⅱ) 依题意知 5 次摸底考试, “水平相当”考试是第二次, 第三次, 第五次, 记为 A, B, C. “水 平不相当”考试是第一次,第四次,记为 a,b.

从这 5 次摸底考试中任意选取 2 次有 ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC 共 10 种情 况. 恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共 aA,aB,aC,bA,bB,bC 共 6 种情况. ∴5 次摸底考试成绩统计,任意抽查两次摸底考试,恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率 . 【点评】本题主要考查平均数,方差,概率等基础知识,运算数据处理能力、运算求解能力、 应用意识,考查化归转化思想、或然与必然思想.

22.如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位: 分) ,已知甲代表队数据的中位数为 76,乙代表队数据的平均数是 75. (1)求 x,y 的值; (2)若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生,求抽到的学生中,甲队 学生成绩不低于乙队学生成绩的概率; (3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差较小者稳定) .

【考点】极差、方差与标准差;茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)按大小数列排列得出 x 值,运用平均数公式求解 y, (2)判断甲乙两队各随机抽取一名,种数为 3×4=12,列举得出甲队学生成绩不低于乙队学 生成绩的有 80,80;82,80;88,80;88,86;88,88.种数为 3+1+1=5,运用古典概率求 解. (3)求解甲的平均数,方差,一点平均数,方差,比较方差越小者越稳定,越大,波动性越 大.得出结论:甲队的方差小于乙队的方差,所以甲队成绩较为稳定. 【解答】解: (1)因为甲代表队的中位数为 76,其中已知 高于 76 的有 77,80,82,88,低于 76 的有 71,71,

65,64,所以 x=6, 因为乙代表队的平均数为 75,其中超过 75 的差值为 5,11,13,14,和为 43,少于 75 的差值为 3,5, 7,7,19,和为 41,所以 y=3, (2)甲队中成绩不低于 80 的有 80,82,88; 乙队中成绩不低于 80 的有 80,86,88,89, 甲乙两队各随机抽取一名,种数为 3×4=12, 其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有 80,80;82,80;88,80;88,86;88,88.种 数为 3+1+1=5,所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为 p= (3)因为甲的平均数为: = (64+65+71+71+76+76+77+80+82+88)=75,
2



所以甲的方差 S 甲= 又乙的方差 S 乙=
2

=50.2, =70.3,

因为甲队的方差小于乙队的方差,所以甲队成绩较为稳定.

【点评】本题考察了茎叶图的运用,求解方差,进行数据的分析解决实际问题,考察了计算 能力,准确度.


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