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山东省济宁市2015届高考数学专题复习 第39讲 变量间的相关关系、统计案例练习 新人教A版

第三节
[考情展望]

变量间的相关关系、统计案例

1.考查独立性检验的基本思想,两个临界值的理解及应用.2.考查回归

分样的基本思想及回归直线方程的计算应用.3.多以选择题、填空题形式进行考查.

一、两个变量的线性相关 1.在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系, 我们将它称为正相关. 2.在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系 称为 负相关. 3.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条 直线附近,就称这两个变量之间具 有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. 二、回归方程 1.最小二乘法:使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二 乘法. 2.回归方程:两个具有线性相关关系的变量的一组数据:(x1,y1),(x2,y2),?, ^ ^ ^ (xn,yn).其回归方程为y=bx+a,则

? ? ^ a= y -b x . ?^
三、残差分析

n

n

∑ ?xi- x ??yi- y ? i ∑ xiyi-n x y =1 ^ i=1 b= = n , n 2 2 2 ∑ ? x ∑ x i- x ? i-n x i=1 i=1

其中( x , y )称为样本点的中心.

1.残差:对于样本点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),它们的随机误差为 ei=yi-

bxi-a,i=1,2,?,n,其估计值为ei=yi-yi=yi-bxi-a,i=1,2,?,n.ei 称为相应
于点(xi,yi)的残差. ^ 2 2.残差平方和为∑ (yi-yi) . i=1
n

^

^

^

^

^

?
i=1

n

^ 2 ?yi-yi? .

3.相关指数:R =1-

2

?
i=1

n

?yi- y ?

2

四、独立性检验 1.利用随机变量 K 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. 2. 列联表: 列出的两个分类变量的频数表, 称为列联表. 假设有两个分类变量 X 和 Y, 它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为 2×2 列联表
2

y1 x1 x2
总计

y2 b d b+d

总计

a c a+c

a+b c+d a+b+c+d
2

n?ad-bc? 2 构造一个随机变量 K = ,其中 n=a+b+c+d 为 ?a+b??c+d??a+c??b+d?
样本容量.

1.某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( ^ A.y=-10x+200 ^ C.y=-10x-200 ^ B.y=10x+200 ^ D.y=10x-200

)

【解析】 由题意回归方程斜率应为负,故排除 B,D,又销售量应为正值,故 C 不正 确,故选 A. 【答案】 A 2.下面是 2×2 列联表:

y1 x1 x2
合计 则表中 a,b 的值分别为( A.94,72 C.52,74 )

y2
21 25 46

合计 73 47 120

a
22

b

B.52,50 D.74,52

【解析 】 ∵a+21=73,∴a=52. 又 a+22=b,∴b=74. 【答案】 C 3.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调 查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线 ^ 方程:y=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出 平均增加________万元. 【解析】 由题意知[0.254(x+1)+0.321]-(0.254x+0.321)=0.254. 【答案】 0.254 4.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 1 671 人,经过计算 K 的观测值 k= 27.63,根据这一数据分析,我们有理由认为打鼾与患心脏病是 ________的(填有关或无 关). 【解析】 ∵k=27.63>6.635, ∴有 99%的把握认为“打鼾与患心脏病有关”. 【答案】 有关
2

5.(2013·湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系, 并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ^ ^ ①y 与 x 负相关且y=2.347x-6.423;②y 与 x 负相关且y=-3.476x+5.648;③y 与

x 正相关且y=5.437x+8.493;④y 与 x 正相关且y=-4.326x-4.578.
其中一定不正确 的结论的序号是( ... A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④

^

^

【解析】 由正负相关性的定义知①④一定不正确. 【答案】 D 6.(2013·福建高考)已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:

x y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

^ ^ ^ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y=bx+a.若某同学根据上表中的前两组 数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y=b′x+a′,则以下结论正确的是( ^ ^ A.b>b′,a>a′ ^ ^ C.b<b′,a>a′ ^ ^ B.b>b′,a<a′ ^ ^ D.b<b′,a<a′ )

【解析】 由(1,0),(2, 2)求 b′,a′.

b′=

2-0 =2, 2-1

a′=0-2×1=-2.
^ ^ 求b,a时,

?xiyi=0+4+3+12+15+24=58,
i=1

6

x =3.5, y = ,
i=1+4+9+16+25+36=91 , ?x2 i=1
6

13 6

13 58-6×3.5× 6 5 ^ ∴b= = , 2 91-6×3.5 7 ^

a= - ×3.5= - =- ,
^ ^ ∴b<b′,a>a′. 【答案】 C

13 5 6 7

13 5 6 2

1 3

考向一 [169] 相关关系的判断 (1)下列结论: ①函数关系是一种确定性关系; ②相关关系是一种非确定性关系; ③回归分析是对具 有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法; ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. 其中正确的是________. (2)下列关系属于线性负相关的是( A.父母的身高与子女身高的关系 B.球的体积与半径之间 的关系 C.汽车的重量与汽车每消耗 1 L 汽油所行驶的平均路程 D.一个家庭的收入与支出 【思路点拨】 (1)根据相关关系及回归分析的定义判断; )

(2)先判断两个变量之间关系是否为相关关系,再判断是否为负相关. 【尝试解答】 (1)①由函数 y=f(x)的定义可知当 x 确定时,y 也唯一确定了,所以 函数关系是一种确定性关系,所以①正确. ②相关关系的两个变量 x,y 存在一定的联系,但无法确定具体的关系,所以相关关 系是一种非确定性关系,所以②正确. ③回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法,不是对具有函数 关系的变量进行分析,所以③错误. ④与③对比,同时根据回归分析的定义可知④正确,所以正确的是①②④. (2)父母身高与子女身高的关系是一个正相关, 球的体积与半径之间的关系是函数关系, 一个家庭的收入与支出是一个正相关关系, 即 A、D 中的两个变量属于线性正相关, B 中两个变量是函数关系. 【答案】 (1)①②④ (2)C

规律方法 1 1.相关关系的判断方法:一是利用散点图直观判断,二是利用相关系数 作出判断. 2.对于由散点图作出相关性判断时,若散点图呈带状且区域较窄,说明两个变量有一 定的线性相关性,若呈曲线型也是有相关性. 3.在散点图中,若点散布在从左下角到右上角的区域,称为正相关;若散布在从左上 角到右下角的区域称为负相关. 对点训练 对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10),得散点图 9-3-1(1); 对变量 u,v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,?,10) ,得散点图 9-3-1(2).由这两个散 点图可以判断( )

图(1)

图(2) 图 9-3-1

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关

D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 【解析】 由散点图可知 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关. 【答案】 C 考向二 [170] 线性回归分析 (2013·重庆高考)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入

xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 ?xi=80, ?yi=20, ?xiyi=
i=1 i=1 i=1

10

10

10

184, ?xi=720.
2

100

i=1

(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a; (2)判断 变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

?xiyi-n x y
i=1

n

附:线性回归方程 y=bx+a 中,b=

,a= y -b x ,其中 x , y 为

?xi-n x
2

n

2

i=1

^ ^ ^ 样本平均值,线性回归方程也可写为y=bx+a. 【思路点拨】 (1)根据已知数据求回归系数,再求出线性回归方程. (2)根据回归方程判断. (3)利用回归方程进行预测分析. 1n 80 【尝试解答】 (1)由题意知 n=10, x = ?xi= =8, ni=1 10 1
n

y = ?yi= =2, ni=1 10
又 lxx= ?xi-n x =720-10×8 =80,
2 2 2

20

n

i=1

lxy= ?xiyi-n x y =184-10×8×2=24,
i=1

n

由此得 b=

lxy 24 = =0.3,a= y -b x =2-0.3×8=-0.4. lxx 80

故所求线性回归方程为 y=0.3x-0.4.

(2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y=0.3×7-0.4=1.7(千元).

^ ^ 规律方法 2 1.正确运用计算b 、a 的公式和准确的计算,是求线性回归方程的关键. 2.在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是 否具有相关关系,若具有线性相关关系,则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.

对点训练 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录 了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0. 4 2 0. 5 3 0. 6 4 0. 6 5 0. 4

(1)试求小李这 5 天的平均投篮命中率; (2)请你用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率. 【解】 (1)由图表知,5 天的平均投篮命中率

y=

0.4+0.5+0.6+0.6+0.4 =0.5, 5

1 (2) x = (1+2+3+4+5)=3, 5 ^ -2×?-0.1?+?-3?×0+0×0.1+1×0.1+2×?-0.1? ∴b= 2 2 2 2 ?1-3? +?2-3? +?4-3? +?5-3? =0.01, ^

a= y -b x =0.5-0.01×3=0.47,
^ 故回归直线方程为y=0.47+0.01x ^ 将 x=6 代入,得y=0.53, ∴6 号打 6 小时篮球的投篮命中率约为 0.53. 考向三 [171] 独立性检验 某中学对“学生性别和是否喜欢看 NBA 比赛”作了一次调查, 其中男生人数是 5 女生人数的 2 倍,男生喜欢看 NBA 的人数占男生人数的 ,女生喜欢看 NBA 的人数占女生 6 1 人数的 . 3 (1)若被调查的男生人数为 n,根据题意建立一个 2×2 列联表; (2)若有 95%的把握认为是否喜欢看 NBA 和性别有关,求男生至少有多少人?

^

?a+b+c+d??ad-bc? 2 附:K = ?a+b??c+d??a+c??b+d?

2

P(K2≥k)

0.10 0 2.70 6

0.05 0 3.84 1

0.02 5 5.02 4

0.01 0 6.63 5
2

0.001 10.82 8

k

【思路点拨】 (1)根据题意列出 2×2 列联表;(2)计算 K 的观测值,解不等式即可. 【尝试解答】 (1)由已知,得 喜欢 NBA 男生 女生 总计 3n?5n n n n?2 ? · - · ? 2 ? 6 3 6 6? 3 2 (2)K = = n. n n 8 n· · ·n 2 2 若有 95%的把握认为是否喜欢看 NBA 和性别有关. 3 2 则 K >3.841,即 n>3.841,n>10.24. 8 ∵ , 为整数,∴n 最小值为 12,即男生至少 12 人. 2 6 5n 6 不喜欢 NBA 总计

n
6

n n
2 3n 2

n
6

n
3

n

n
2

n n

规律方法 3 1.独立性检验的关键是准确的计算 K ,在计算时,要充分利用 2×2 列联 表. 2.独立性检验的步骤:,?1?根据样本数据制成 2×2 列联表.,?2?根据公式 K =
2

2

n?ad-bc?2 2 计算 K 的观测值 k. ?a+b??a+c??b+d??c+d?
?3?比较 k 与临界值的大小关系作统计推断.

对点训练 某班主任对班级 22 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表:在喜 欢玩电脑游戏的 12 人中,有 10 人认为作业多,2 人认为作业不多;在不喜欢玩电脑游戏 的 10 人中,有 3 人认为作业多,7 人认为作业不多. (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表;(2)试问喜欢电脑游戏与认为作业多少是否

有关系?(可能用到的公式: K=

2

n?n11n22-n12n21?2 .(可能用到数据: P(K2≥6.635)=0.01, n1+n2+n+1n+2

P(K2≥3.841)=0.05)
【解】 (1)根据题中所给数据,得到如下列联表: 认为作业多 喜欢玩电脑 游戏 不喜欢玩电 脑游戏 总计
2

认为作业不多 2

总计 12

10

3 13

7 9

10 22

n?n11n22-n12n21?2 22×?10×7-3×2?2 (2)K = = ≈6.418, 而 3.841<6.418<6.635 n1+n2+n+1n+2 12×10×13×9
∴有 95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关.

规范解答之二十 概率与统计的综合应用问题求解 第一步:理清题意,理解问题中的条件和结论.尤其是直方图中给定的信息,找关键 量;第二步:由直方图确定所需的数据,列出 2×2 列联表;第三步:利用独立性检验 的 步骤进行判断;第四步:确定基本事件总数及所求事件所含基本事件的个数;第五步:利 用概率公式求事件的概率. ————[1 个示范例]————[1 个规范练]————

(12 分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某个类体育节目的收视情 况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名,下面是根据调查结果绘制的观 众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图 9-3-2:

图 9-3-2 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷” 中有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表, 并据此资料判断是否有 95%的把握认为“体

育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体 育迷”中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概 率. 体育迷 合计

n?n11n22-n12n21?2 附:K = n1+n2+n+1n+2
2

P(K2≥k) k

0.05 3.84 1

0.01 6.63 5

【规范解答】 (1)由频率分布直方图可知, 在抽取的 100 人中, “体育迷”有 25 人, 从而完成 2×2 列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 3分 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 K =
2

体育迷 15 10 25

合计 45 55 100

30 45 75

100×?30×10-45×15? 100 = 75×25×45×55 33

2

≈3.030.因为 3.030<3.841,所以我们没有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关.6 分 (2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为 5 人,从而一切可能结果所组成的基 本事件为(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1), (a3,b2),(b1,b2),其中 ai 表示男性,i=1,2,3,bj 表示女性,j=1,2.9 分 由 10 个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的.用 A 表示“任选 2 人 中,至少有 1 人是女性”这事件,则 A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,

b1),(a3,b2),(b1,b2)},11 分
7 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= .12 分 10 频率 【名师寄语】 1.忽视直方图纵轴表示为 导致每组人数计算失误. 组距 2.K 的计算不准确、导致结果判断出错. 3.由 5 人中任取 2 人列举出所有可能结果时重复或遗漏某一情况导致失误.
2

中国共产党第十八届中央委员会第三次会议于 2013 年 11 月 9 日至 12 日在北京召开, 为了搞好对外宣传工作,会务组选聘了 16 名男记者和 14 名女记者担任对外翻译工作,调 查发现,男、女记者中分别有 10 人和 6 人会俄语. (1)根据以上数据完成以下 2×2 列联表: 会俄语 男 女 总计 30 不会俄语 总计

并回答能否在犯错的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与会俄语有关?

n?ad-bc?2 参考公式:K = ,其中 n=a+b+c+d. ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

参考数据:

P(K2≥k0)

0.40 0.70 8

0.25 1.32 3

0.10 2.70 6

0.01 0 6 .63 5

k0

(2)会俄语的 6 名女记者中有 4 人曾在俄罗斯工作过,若从会俄语的 6 名女记者中随 机抽取 2 人做同声翻译,则抽出的 2 人都在俄罗斯工作过的概率是多少? 【解】 (1)如表: 会俄语 男 女 总计 10 6 16 不会俄语 6 8 14 总计 16 14 30

假设是否会俄语与性别无关.由已知数据可求得

K2=

30×?10×8-6×6? ≈1.157 5<2.706. 16×14×16×14

2

所以在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断会俄语与性别有关. (2)会俄语的 6 名女记者,分别设为 A,B,C,D,E,F,其中 A,B,C,D 曾在俄罗斯 工作过. 则从这 6 人中任取 2 人有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,

DF,EF 共 15 种,其中 2 人都在俄罗斯工作过的是 AB,AC,AD,BC,BD,CD 共 6 种,
所以抽出的女记者中,2 人都在俄罗斯工作过的概率是

P= = .

6 15

2 5


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