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2013届高考数学人教a版第一轮总复习课件 第2章 第9节 函数与方程

第 二 章 函 数、 导 数 及 其 应 用

第 九 节 函 数 与 方 程

抓 基 础

明 考 向
教 你 一 招

提 能 力
我 来 演 练

[备考方向要明了]

考 什 么

了解函数零点的概念,能判断函数在某个区间上是否 存在零点.

怎 么 考

1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点.
2.利用函数的图形及性质判断函数的零点,及利用它们求 参数取值范围问题是重点,也是难点. 3.题型以选择题和填空题为主,常与函数的图象与性质交 汇命题.

1.函数的零点 (1)定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数x叫

做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的 关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点

?函数y=f(x)有 零点 .

3.函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一 f(b)<0 ,那么函数y=f(x)在区间 条曲线,并且有 f(a)· (a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0 ,这 个 c 也就是f(x)=0的根.

二、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 >0 =0 <0

二次函数y=
ax2+bx+ c(a>0)的图象 与x轴 的交点 零点个数 两个 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 一个 无交点 零个

1.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是(
A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2)

)

解析:由于f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,根据函数的 零点存在性定理,知函数f(x)的零点在区间(0,1)内. 答案:C

2.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2- ax 的零点是 A.0,2 1 B.0, 2 ( )

1 1 C.0,- D.2,- 2 2 解析:∵2a+b=0,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1),
1 所以零点为 0 和- . 2

答案:C

3.(教材习题改编)在以下区间中,存在函数f(x)=x3+3x

-3的零点的是
A.[-1,0] B.[1,2]

(

)

C.[0,1]

D.[2,3]

解析:注意到f(-1)=-7<0,f(0)=-3<0,f(1)=1>0, f(2)=11>0,f(3)=33>0,结合各选项知,选C. 答案: C

4 4.函数f(x)=x-x的零点个数为________.

4 解析:由f(x)=0,得x-x=0, 即x2=4,∴x=± 2, 4 ∴函数f(x)=x-x有2个零点.
答案:2

5.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实

数a的取值范围是________.
解析:∵函数f(x)=x2+x+a在(0,1)上有零点.

∴f(0)f(1)<0.即a(a+2)<0,解得-2<a<0.
答案: (-2,0)

1.函数的零点不是点 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就

是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以函数
的零点是一个数,而不是一个点.在写函数零点时, 所写的一定是一个数字,而不是一个坐标.

2.函数零点具有的性质
对于任意函数,只要它的图象是连续不间断的,其 函数零点具有以下性质: (1)当它通过零点(不是偶次零点)时,函数值变号; (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

3.零点存在定理的零点个数
(1)在(a,b)上存在零点(此处的零点不仅指变号零点), 个数不定,若仅有变号零点,则有奇数个. (2)若函数在(a,b)上有零点,不一定有f(a)· f(b)<0.

[精析考题] [例1] 个数为 A. 3 C. 1 B. 2 D.0
2 ? ?x +2x-3,x≤0, (2010· 福建高考)函数f(x)=? ? ?-2+ln x,x>0

的零点 ( )

[自主解答]

当x≤0时,x2+2x-3=0,解得x=1或-3,

则f(x)在(-∞,0]上有一个零点; 当x>0时,-2+ln x=0,解得x=e2, 则f(x)在(0,+∞)上有一个零点,所以f(x)共有2个零点. [答案] B

[例2]

(2011· 新课标全国卷)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3 (
? 1? B.?0,4? ? ? ?1 3? D.?2,4? ? ?

的零点所在的区间为
? 1 ? A.?-4,0? ? ? ?1 1? C.?4,2? ? ?

)

[自主解答]

因为

?1? 1 1 1 ? ? 4 f 4 =e +4× -3=e -2<0, 4 4 ? ?

?1? 1 1 1 f?2?=e 2 +4× -3=e 2 -1>0, 2 ? ?

所以 f(x)=e +4x-3

x

?1 1? 的零点所在的区间为?4,2?. ? ?

[答案] C

[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
2 1.(2011· 杭州一模)函数 f(x)= x +a 的零点为 1,则实数 a 的 3 +1 值为 A.-2 1 C.2 1 B.-2 D.2 ( )

2 1 解析:由已知得f(1)=0,即 1 +a=0,解得a=-2. 3 +1

答案: B

1 2.(2011· 宁波一模)设函数 f(x)=3x-ln x(x>0),则函数 f(x) A.在区间(0,1),(1,+∞)内均有零点 B.在区间(0,1),(1,+∞)内均无零点 C.在区间(0,1)内有零点,在区间(1,+∞)内无零点 D.在区间(0,1)内无零点,在区间(1,+∞)内有零点 ( )

1 解析:当0<x<1时,函数f(x)=3x-ln x恒为正数,故在(0,1)内 1 无零点;而f(1)=3>0,f(3)=1-ln 3<0,故函数在(1,3)内有零点.

答案:D

[冲关锦囊]
函数零点的判断方法

(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个
解就有几个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b] 上是连续不断的曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须结合函数 的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少

个零点;

(3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交

点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有
几个不同的零点.

双基自测 1.(2011· 福建)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实 数根,则实数m的取值范围是( A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:判别式 ).

Δ>0,即m2-4>0,解得m<-2或m>2,故选C. 答案 C

2.若函数y=f(x)在R上递增,则函数y=f(x)的零点( A.至少有一个 C.有且只有一个 答案 B B.至多有一个 D.可能有无数个

).

3.如图所示的函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求 图中交点横坐标的是( ).

A.①② 答案 B

B.①③

C.①④

D.③④

5.(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1) 上有零点,则实数a的取值范围是________. 解析 函数f(x)=x2+x+a在(0,1)上递增.由已知条件

f(0)f(1)<0,即a(a+2)<0,解得-2<a<0. 答案 (-2,0)

【训练1】 函数f(x)=log3x+x-3的零点一定在区间( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

).

解析 法一 函数f(x)=log3x+x-3的定义域为(0,+∞),并 且在(0,+∞)上递增连续,又f(2)=log32-1<0,f(3)=1> 0,∴函数f(x)=log3x+x-3有唯一的零点且零点在区间(2,3) 内.

法二

方程log3x+x-3=0可化为log3x=3-x,在同一坐标系

中作出y=log3x和y=3-x的图象如图所示,可观察判断出两图 象交点横坐标在区间(2,3)内.

答案

C

考向二 有关二次函数的零点问题 【例2】?是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a -1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点,且只有一个零点.若 存在,求出a的取值范围,若不存在,说明理由. [审题视点] 验. 可用零点定理去判断,注意对函数端点值的检

解 ∵Δ=(3a-2) -4(a-1)=9a

2

2

? 8?2 8 -16a+8=9?a-9? +9>0 ? ?

∴若实数a满足条件,则只需f(-1)· f(3)≤0即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)≤0. 1 所以a≤-5或a≥1. 检验:(1)当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x. 令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.

1 13 6 2 (2)当f(3)=0时,a=- ,此时f(x)=x - x- . 5 5 5 13 6 令f(x)=0,即x - x- =0, 5 5
2

2 解之得x=-5或x=3. 1 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-5. 1 综上所述,a<-5或a>1.

【训练2】 关于x的一元二次方程x2-2ax+a+2=0,当a为何 实数时 (1)有两不同正根; (2)不同两根在(1,3)之间; (3)有一根大于2,另一根小于2; (4)在(1,3)内有且只有一解 解 设f(x)=x2-2ax+a+2,

Δ=4a2-4(a+2)=4(a2-a-2)=4(a-2)(a+1). ? Δ > 0, ? (1)由已知条件?x1+x2=2a>0, ?x · ? 1 x2=a+2>0,

解得a>2.

? ?Δ>0, ?1<a<3, (2)由已知条件? ?f?1?>0, ? ?f?3?>0,

11 解得2<a< 5 .

(3)由已知条件f(2)<0,解得a>2. 11 (4)由已知条件f(1)f(3)<0解得 <a<3. 5

11 7 检验:当f(3)=0,a= 5 时,方程的两解为x=5,x=3, 当f(1)=0,即a=3时,方程的两解为x=1,x=5,
? ?Δ=0, 11 可知 ≤a<3.当? ?a=2. 5 ? ?1<a<3

即a=2时f(x)=x2-4x+4=(x-2)2方程的解x1=x2=2 11 ∴a=2,综上有a=2或 5 ≤a<3.

1.方程x2-2x=0的实数根的个数是_______. 解析:设f(x)=lnx+x-4.

3

(2,3) 上. 2.设x0是方程lnx+x=4的解,则x0在区间________ 因为f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0.

1 0, ? g(x)=bx2-ax的零点为___________. 2

3. 若 函数 f(x)=ax+b 只有一个零点 2 ,则函数

4.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取 a>1 值范围是___________ . 解析:由题意知即为方程x2+2x+a=0无实数解, 即4-4a<0,解得a>1.

函数零点的存在 性判断与求解
【例1】

?1? 求函数y=x -2x -x+2的零点;
3 2

1 ? 2 ? 判断函数f ? x ?=log 2 x+ x+2的零点的个数. 2

【解析】 ?1?由y=x3-2x 2-x+2 =x 2 ( x-2)-( x-2) =( x-2)( x 2-1)=( x-2)( x-1)( x+1). 令( x-2)( x-1)( x+1)=0, 解得x=2或x=1或x=-1. 所以函数y=x3-2x 2-x+2的零点为-1,1, 2.

? 2 ?函数f ? x ?的定义域为(0,+?).
1 1 令f ? x ?=log 2 x+ x+2=0,得log 2 x=- x-2. 2 2 1 设y1=log 2 x,y2=- x-2. 2 易知函数y1=log 2 x在(0,+?)上是单调增函数, 1 y2=- x-2在(0,+?)上是单调减函数. 2 由于它们的图象只有一个交点, 1 所以函数f ? x ?=log 2 x+ x ? 2的零点只有1个. 2

1.已知函数f ? x ? ? x ? ax ? b的两个零点是2和3,
2

则函数g ? x ? ? bx ? ax ? 1的零点是 解析:
2

1 1 ? 和? .   2 3
2

由题意可得,f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 3? ? x ? 5x ? 6, 所以a ? 5,b ? ?6, 由g ? x ? ? ?6x 2 ? 5x ? 1 ? 0, 1 1 得x ? ? 或x ? ? 2 3

2. 已知关于 x 的方程 ax + 2a + 1 = 0 在 ( - 1,1)上有一个实数根,则实数a的取值范 1 (-1,- )   围是_____________ 3 2 3.函数f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 的零点所在的区 x 1 间是(n,n ? 1),则正整数n ?

2 解析:设x0是函数f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 的零 x 点,而f ?1? ? 0,f ? 2 ? ? 0,所以x0 所在的区 间是 ?1, 2 ?,所以n ? 1.


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