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【三维设计】人教版高中数学选修1-1练习:2.1.1 椭圆及其标准方程(含答案解析)

课时跟踪检测(六) 2 2 椭圆及其标准方程 层级一 学业水平达标 x y 1. 设 P 是椭圆 + =1 上的点, 若 F1, F2 是椭圆的两个焦点, 则|PF1|+|PF2|等于( 25 16 A.4 C.8 D.10 B.5 ) 解析:选 D 根据椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a=2× 5=10,故选 D. x2 2.已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆 3 的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( A.2 3 C.4 3 B.6 D.12 ) 解析:选 C 由于△ ABC 的周长与焦点有关,设另一焦点为 F,利用椭圆的定义,|BA| +|BF|=2 3,|CA|+|CF|=2 3,便可求得△ ABC 的周长为 4 3. 3.命题甲:动点 P 到两定点 A,B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数);命题乙:P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( A.充分不必要条件 C.充分且必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选 B 利用椭圆定义.若 P 点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),∴甲 是乙的必要条件. 反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出 P 点轨迹是椭圆的. 这是因为:仅当 2a>|AB|时,P 点轨迹才是椭圆;而当 2a=|AB|时,P 点轨迹是线段 AB; 当 2a<|AB|时,P 点无轨迹,∴甲不是乙的充分条件. 综上,甲是乙的必要不充分条件. x2 y2 4.如果方程 2 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是( a a+6 A.a>3 C.a>3 或 a<-2 解析:选 D -2. 5.已知 P 为椭圆 C 上一点,F1,F2 为椭圆的焦点,且|F1F2|=2 3,若|PF1|与|PF2|的等 差中项为|F1F2|,则椭圆 C 的标准方程为( x2 y2 A. + =1 12 9 ) 2 ) B.a<-2 D.a>3 或-6<a<-2 ?a2-a-6>0, ?a<-2或a>3, ? ? 由 a >a+6>0 得? 所以? 所以 a>3 或-6<a< ?a+6>0, ? ? ?a>-6, x2 y2 x2 y2 B. + =1 或 + =1 12 9 9 12 x2 y2 C. + =1 9 12 x2 y2 x2 y2 D. + =1 或 + =1 48 45 45 48 解析:选 B 由已知 2c=|F1F2|=2 3,∴c= 3. ∵2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4 3, ∴a=2 3.∴b2=a2-c2=9. x2 y2 x2 y2 故椭圆 C 的标准方程是 + =1 或 + =1. 12 9 9 12 x2 y2 6.椭圆 + =1 的焦距是 2,则 m 的值是________. m 4 解析:当椭圆的焦点在 x 轴上时,a2=m,b2=4,c2=m-4,又 2c=2,∴c=1. ∴m-4=1,m=5. 当椭圆的焦点在 y 轴上时,a2=4,b2=m, ∴c2=4-m=1, ∴m=3. 答案:3 或 5 7 .已知椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0) 为其右焦点,则椭圆 C 的标准方程为 ________________. x2 y2 解析: 法一: 依题意, 可设椭圆 C 的方程为 2 + 2=1(a>b>0), 且可知左焦点为 F′(-2,0). a b ? ? ?c=2, ?c=2, 从而有? 解得? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ?a=4. ? ? 又 a2=b2+c2,所以 b2=12, x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 16 12 4 9 ? ?a2+b2=1, x2 y2 法二:依题意,可设椭圆 C 的方程为 2 + 2=1(a>b>0),则? a b ?a2-b2=4, ? x2 y2 或 b2=-3(舍去),从而 a2=16.所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 16 12 x2 y2 答案: + =1 16 12 8.椭圆的两焦点为 F1(-4,0),F2(4,0),点 P 在椭圆上,若△PF1F2 的面积最大为 12, 则椭圆方程为__________. 解析:如图,当 P 在 y 轴上时△PF1F2 的面积最大, 解得 b2=12 1 ∴ × 8b=12,∴b=3. 2 又∵c=4,∴a2=b2+c2=25. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 25 9 x2 y2 答案: + =1 25 9 x2 y2 3 9.设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点.设椭圆 C 上一点? 3, ? a b 2 ? ? 到两焦点 F1,F2 的距离和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标. ? 3?2 2 ?2? ? 3 ? 3 解:由点? 3, ?在椭圆上,得 + 2 =1, 2 a b 2 ? ? x2 y2 又 2a=4,所以椭圆 C 的方程为 + =1,焦点坐标分别为(-1,0),(1,0). 4 3 10.已知椭圆 C 与椭圆 x2+37y2=37 的焦点 F1,F2 相同,且椭圆 C 过点? (1)求椭圆 C 的标准方程; π (2)若 P∈C,且∠F1PF2= ,求△F1PF2 的面积. 3 x2 解:(1)因为椭圆 +y2=1 的焦点坐标为(-6,0),(6,0). 37 x2 y2 所以设椭圆 C 的标准方程为 2 + 2 =1(a2>36). a a -36 将点? 去), x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 100 64 (2)因为 P 为椭圆 C 上任一点, 所以|PF1|+|PF2|=2a=20. 由(1)知 c=6, 在△PF1F2 中,|F1F2|=2c=12, 所以由余弦定理得: |F1F2|2=|PF1|

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