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高中数学 2.3.1 抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修1-1-1_图文

第2章 圆锥曲线与方程 抛物线模型 抛物线碟形天线 抛物线灯 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是 一条抛物线. 其顶点坐标是什么? 对称轴是什么? b 4ac ? b 2 (? , ) 2a 4a b x?? 2a 我们怎么画一条抛物线呢? 动画 抛物线的定义: 平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点。 l N M 定直线l叫做抛物线的准线。 K F 如何建立适当的 直角坐标系? 标准方程的推导 l N y M 1、建系 设F在直线l上的垂足为 K,以FK的中点为坐标 K o F x 原点,以KF为x轴,建 立直角坐标系。 2、设点 设|KF|=p(p>0), 那么焦点F的坐标为(p/2,0), p 准线l上的方程为 x ? ? 2 设M(x,y),点M到l的 距离为d, 3、列式 由抛物线的定义知 抛物线就是点的集合 P ? {M |   | MF |? d} p 2 p 2 即: ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2 l N y M K o F x 4、化简 y ? 2 px( p ? 0) 2 y ? 2 px( p ? 0) 2 此方程叫抛物线的标准方程。 说明 焦点F的坐标为(p/2,0), 其中p的几何意义是: 焦点到准线的距离。 p 准线l上的方程为 x ? ? 2 l N y M K o F x 一条抛物线, 由于它在坐标平面内的位置不同, 方程也不同, 所以抛物线的标准方程还有其它形式. l N K y M 标准方程 x 焦点坐标 准线方程 o F y2=2px (p>0) (p/2,0) x=-p/2 y o x 2=-2px y 标准 方程 (p>0) 焦点 (-p/2,0) 坐标 准线 x=p/2 方程 l N K y M 标准方程 x 焦点坐标 准线方程 o F y2=2px (p>0) y (p/2,0) x=-p/2 o x 标准 x2=2py 方程 (p>0) 焦点 (0,p/2) 坐标 准线 y=-p/2 方程 y o 标准方程 焦点坐标 准线方程 x y x2=2py (p>0) (0,p/2) y=-p/2 o x 2=-2py x 标准 方程 (p>0) 焦点 (0,-p/2) 坐标 准线 y=p/2 方程 图形 l y o F x 标准方程 焦点坐标准线方程 y2=2px (p>0) (p/2, 0) x=-p/2 yl F o y F x y2=-2px (-p/2, 0) x=p/2 (p>0) x2=2py (p>0) l o y x (0,p/2) y=-p/2 l o F x x2=-2py (0,-p/2) (p>0) y=p/2 我们以前学习的抛物线和现在学习的抛 物线的标准方程有什么联系? 二次函数y ? ax2 ? bx ? c的图象都是抛物线, 其中的一部分 y ? ax 是(或可化为)抛物线 2 的标准方程x 2 ? ?2 py。 标准方程中的 y 2 ? ?2 px是我们以前没学过的 抛物线,但它不是 x的二次函数。 例 1 (1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x, 求它的焦点坐标和准线方程; 解:因为p=3, 3 故焦点坐标为(- 2 ,0) 3 准线方程为x =- - . 2 (2)已知抛物线的方程是y = -6x2, 求它的焦点坐标和准线方程; 1 2 解:方程可化为: x ? ? y, 6 1 故焦点坐标为 (0,? ) , 24 1 准线方程为 y ? . 24 (3) 已知抛物线的焦点坐标是F (0,-2) 求它的标准方程。 解: 因焦点在y轴的负半轴上, p=4 故其标准方程为: x 2 = - 8y 根据下列条件, 练习1 写出抛物线的标准方程: (1)焦点是F(3,0); y2 =12x (2)准线方程 是 x = ; y2 =x (3)焦点到准线的距离是2。 y2 =4x 或 y2 = -4x x2 =4y 或 x2 = -4y 1 ? 4 已知抛物线的标准方程是 练习2 (1) y2 =12x、 (2) y=12x2 求它们的焦点坐标和准线方程; (1)p=6,焦点坐标是(3,0) 准线方程是x=-3. 1 1 y ,p ? (2)先化为标准方程 x ? , 24 12 2 1 1 焦点坐标是(0,48 ),准线方程是y=- . 48 求过点A(-3,2)的抛物线的 例 2 标准方程。 y 解:当抛物线的焦点在y轴 A 的正半轴上时,把A(-3,2) o 9 代入x2 =2py,得p= 4 x y A 当焦点在x轴的负半轴上时, o x 把A(-3,2) 代入y2 = -2px, 2 得p= 3 9 4 2 2 ∴抛物线的标准方程为 x = y或 y = ? x 2 3 练习3 已知抛物线经过点P(4,-2), 求抛物线的标准方程。 y ? x或x ? ?8 y 2 2 例3、一种卫星接收天线的轴截面如图所 示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面 为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点 处。已知接收天线的口径为4.8m,深度为 0.5m,求抛物线的标准方程和焦点坐标。 y A o Fx B 解:如图,建立直角坐标系, 设抛物线的标准方程是 y2=2px(p>0). 易知A (0.5,2.4),代入方程得 2.42=2p×0.5 p=5.76. 所以,所求抛物线为y2=11.52x, 焦点坐标为(2.88,0). y A Fx B o 例 4 解: 点M与点F(4,0)的距离比它 到直线l:x+5=0的距离小1, 求点M的轨迹方程. y M (x , y) 如图可知原条件等价

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