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高中数学 同步培优作业 解析 (含答案)10.5直线与平面垂直

高中数学 总复习:同步培优作业解析 同步培优作业解析 10.5 直线与平面垂直 【知识网络】 1、直线与平面垂直的性质与判定; 2、点到平面的距离,直线到平面的距离; 3、直线与平面的所成角及直线在平面内的射影。 最新版 新课标人教版 高中数学 作业培优解析 含答案 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 10.5 直线与平面垂直 【知识网络】 1、直线与平面垂直的性质与判定; 2、点到平面的距离,直线到平面的距离; 3、直线与平面的所成角及直线在平面内的射影。 【典型例题】 例 1: (1)平面 ? 过△ABC 的重心,B、C 在 ? 的同侧,A 在 ? 的另一侧,若 A、B、 C 到平面 ? 的距离分别为 a、b、c,则 a、b、c 间的关系为 ( ) (A)2a=b+c; (B)a=b+c; (C)2a=3(b+c); (D)3a=2(b+c). 答案:B 解析:B、C 中点到平面 ? 的距离为 (2) 已知正△ABC 的边长为 b?c a b?c ,∴ ? 2 2 2 即a ? b?c 4 3 ,则到三个顶点的距离都为 1 的平面有 ( ) 3 (A)1 个; (B)3 个; (C)5 个; (D)7 个. 答案:C 解析:三点在同一侧的有 2 个,过两边的中点且垂直第三边上的中线的平面有 3 个,共 5 个。 (3)设 a,b,c 表示三条直线,? , ? 表示两个平面,则下列命题中逆命题不成立的是 ( A、 c ? ? ,若 c ? ? ,则 ? // ? C、b ? ? ,若 b ? ? ,则 ? ? ? B、 b ? ? , c ? ? ,若 c // ? ,则 b // c D、b ? ? ,c 是 ? 在 ? 内的射影,若 b ? c ,则 b ? ? ) 答案:C 解析:C 的逆命题是 b ? ? ,若 ? ? ? ,则 b ? a 显然不成立。 (4) 已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面, 若 PC ? BD , 平行则四边形 ABCD 一 定是 . 答案: 菱形 解析:显然 AC ? BD ,即平行四边形 ABCD 一定是菱形 (5)P 是△ABC 所在平面外一点,O 是 P 点在平面 ? 上的射影.若 P 到△ABC 三边 的距离相等,则 O 是△ABC 的 心;若 P 到△ABC 三个顶点的距离相等,则 O 是 △ABC 的 心;若 PA、PB、PC 两两互相垂直,则 O 是△ABC 的 心. 答案:内心、外心、垂心;解析:由内心、外心、垂心的性质可知。 例 2: 已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 ,SA ? 面 ABC ,AD ? SC , 求证:AD ? 面 SBC . S ? D 答案:证明:? ?ACB ? 90 又 SA ? 面 ABC ? ? BC ? AC ? BC ? 面 SAC ? SA ? BC A C B ? BC ? AD , 又 SC ? AD, SC ? BC ? C , ? AD ? 面 SBC 例 3.如图,已知 CD 是异面直线 CA、DB 的公垂线,CA?? 于 A,DB?? 于 B,?∩?=EF. 求证:CD∥EF. D B1 B F δ ? C A1 A ? E ? 答案:证明:设 CD、CA 确定平面 ?,?∩?=AA1.∵CA?? 于 A,∴CA?AA1.又∵CA?CD, CA、CD、AA1 都在平面 ? 内,∴CD∥AA1.设 CD、DB 确定平面 δ,δ∩?=BB1.同理有 CD∥BB1, ∴BB1∥CD∥AA1.AA1 ? α ,BB1 ? α ,∴BB1∥?. ∵BB1 ? ?,?∩?=EF,∴EF∥CD. 例 4:如图,PA、PB、PC 两两垂直,PA=PB=PC, P G 是△PAB 的重心,E 是 BC 上的一点,且 BE= F 是 PB 上的一点,且 PF= 1 BC, 3 M A G D N F C 1 PB. 3 求证: (1)GF?平面 PBC; (2)FE?BC; (3)GE 是异面直线 PG 与 BC 的公垂线. 证明: (1)连结 BG 和 PG,并延长分别交 PA、AB 于 M B P E Q 1 和 D,在△PBM 中,∵PF= PB,G 是△PAB 的重心,∴ 3 1 MG= BM,∴GF∥PM.又 PA?PB,PA?PC,∴PA?平面 PBC, 3 则 GF?平面 PBC. (2)在 EC 上取一点 Q 使 CQ= M A G D N F C B E Q 1 1 BC,连结 FQ,又 PF= PB, 3 3 1 ∴FQ∥PC.∵PB=PC,∴FB=FQ.∵BE= BC,∴E 是 BQ 的中点,∴FE?BQ,即 FE?BC. 3 (3)连结 GE.∵GF?平面 PBC,∴易得 GE?BC.取 BF 中点 N,连结 EN,则 EN∥FQ∥PC.∵ PC?平面 PAB,∴EN?平面 PAB.又∵NG∥DB,∴NG?PD,易 EG?PD,∴GE 是异面直线 PG 与 BC 的公垂线. 【课内练习】 1. 如果平面 ? 外一条直线 l 与 ? 内的两条直线垂直, 那么 l 与 ? 的位置关系是 ( A.l⊥? B.l∥? C.l与?相交且不垂直 D.不能确定 ) 答案:D。 解析:因两条直线的位置不能确定。 2.若斜线和平面所成的角为 ?,此斜线与此平面内任一直线所成的角为 ?,则( ) A.?≤? B. ?=? C. ?≥? D. ? 与 ? 的大小关系不确定 答案:A.解析:直线与平面的所成角为斜线与平面任一直线所成角的最小角. 3. A, B, C 表示不同的点, a , l 表示不同的直线,? , ? 表示不同的平面,下列推理错误 的是 ( ) A. A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ?

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