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2016


2016-2017 学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.6 指数函 数、幂函数、对数函数增长的比较高效测评 北师大版必修 1
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.f(x)=x ,g(x)=2 ,h(x)=log2x,当 x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进 行比较,下列选项中正确的是( A.f(x)>g(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) ) B.g(x)>f(x)>h(x) D.f(x)>h(x)>g(x)
2

x

解析: 画出函数的图像,当 x∈(4,+∞)时,指数函数的图像位于二次函数图像的 上方,二次函数的图像位于对数函数图像的上方,故 g(x)>f(x)>h(x). 答案: B 2.设 x∈(0,1)时,y=x (p∈Z)的图像在直线 y=x 的上方,则 p 的取值范围是( A.p≥0 C.p<1 且 p≠0 B.0<p<1 D.p>1
p

)

-p ?1? p 解析: 当 p<0 时,f(x)=x =? ? ,在(0,1)上单调递减,

?x?

∴y>f(1)=1 在直线 y=x 上面,故只有 C 正确. 答案: C 3. 某种细菌经 60 分钟培养, 可繁殖为原来的 2 倍, 且知该细菌的繁殖规律为 y=10e , 其中 k 为常数,t 表示时间(单位:小时),y 表示细菌个数,10 个细菌经过 7 小时培养,细 菌能达到的个数为( A.640 C.2 560 ) B.1 280 D.5 120
k k kt

解析: 由题意可知,当 t=0 时,y=10,当 t=1 时,y=10e =20,可得 e =2.故 10 个细菌经过 7 小时培养,能达到的细菌个数为 10e =10×(e ) =1 280. 答案: B 4.某山区加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长 10.4%,若原来绿色植 被的面积为 1,那么,经过 x 年,绿色植被面积可增长为原来的 y 倍,则函数 y=f(x)的大 致图像为( )
7k

k 7

1

解析: y=1.104 ,指数增长型函数. 答案: D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.近几年由于北京房价的上涨,引起了二手房市场交易的火爆.房子没有什么变化, 但价格却上涨了,小张在 2004 年以 15 万元的价格购得一所新房子,假设这 10 年来价格年 增长率不变,那么到 2014 年,这所房子的价格 y(万元)与价格年增长率 x 之间的函数关系 式是____________. 解析: 1 年后,y=15(1+x); 2 年后,y=15(1+x) ; 3 年后,y=15(1+x) ,?,10 年后,y=15(1+x) . 答案: y=15(1+x)
10 3 10 2

x

6.已知元素“碳 14”每经过 5 730 年,其质量就变成原来的一半.现有一文物,测得 其中“碳 14”的残存量为原来的 41%,此文物距现在约有________年.(注:精确到百位数, lg 2=0.301 0,lg 4.1=0.613)

?1? 解析: 设距现在为 x 年, 则有? ?5 730=41%, 两边取对数, 利用计算器可得 x≈7 400. ?2?
答案: 7 400 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若初时含杂质 2%, 1 每过滤一次可使杂质含量减少 ,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知:lg 2 3 =0.301 0,lg 3=0.477 1) 2 ?2?n 1 ·? ? ≤ , 100 ?3? 1 000

x

解析: 依题意,得

n 1 ?2? 即? ? ≤ . ?3? 20
则 n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),

2

1+lg 2 故 n≥ ≈7.4,考虑到 n∈N,即至少要过滤 8 次才能达到市场要求. lg 3-lg 2 8.某公司拟投资 100 万元,有两种投资方案可供选择:一种是年利率为 10%,按单利 计算,5 年后收回本金和利息;另一种是年利率为 9%,按每年复利一次计算,5 年后收回本 金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资 5 年可多得利息多少元?(结果精确 到 0.01 万元) 解析: 本金 100 万元, 年利率为 10%, 按单利计算, 5 年后的本息和是 100×(1+10%×5) =150(万元). 本金 100 万元,年利率为 9%,按每年复利一次计算,5 年后的本息和是 100×(1+9%) ≈153.86(万元). 由此可见, 按年利率为 9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为 10%单利计算的 更有利,5 年后多得利息 3.86 万元. ? 尖子生题库 ?☆☆☆ 1 9.(10 分)现有某种细胞 100 个,其中占总数 的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞 2 分裂为 2 个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过 10 个?(参考 数据:lg 3=0.477,lg 2=0.301) 解析: 现有细胞 100 个,先考虑经过 1,2,3,4 个小时后的细胞总数; 1 1 3 1 h 后,细胞总数为 ×100+ ×100×2= ×100; 2 2 2 2 h 后,细胞总数为 1 3 1 3 9 × ×100+ × ×100×2= ×100; 2 2 2 2 4 3 h 后,细胞总数为 1 9 1 9 27 × ×100+ × ×100×2= ×100; 2 4 2 4 8 4 h 后,细胞总数为 1 27 1 27 81 × ×100+ × ×100×2= ×100. 2 8 2 8 16 可见,细胞总数 y 与时间 x(h)之间的函数关系为
10 5

x ?3? y=100×? ? ,x∈N+. 2

? ?

3

x x ?3? ?3? 10 8 由 100×? ? >10 ,得? ? >10 , ?2? ?2?
两边同时取以 10 为底的对数, 3 得 xlg >8, 2 8 ∴x> . lg 3-lg 2 ∵ 8 8 = ≈45.45, lg 3-lg 2 0.477-0.301

∴x>45.45. 故经过 46 h,细胞总数超过 10 个.
10

4


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