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2018-2019学年人教A版高中数学选修2-1复习课件:2.4.1(共31张PPT)_图文

2.4 抛物 线

2.4.1 抛 物线及其

学习目标
1.理解并掌握抛物线的定 义. 2.理解并掌握抛物线的标 准方程. 3.掌握求抛物线标准方程 的方法. 4.会用抛物线的定义解决 简单的轨迹问题.

思维脉络
抛物线及其标准方程 定义及应用 标准方程及应用 求抛物线的标准方程

12
1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点 的轨迹叫做抛物线.这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物 线的准线. 特别提醒 抛物线的定义中涉及一个定点和一条定直线,且要求 这个定点不能在定直线上,否则轨迹就不再是一条抛物线,而是一 条直线(过定点且与定直线垂直的直线).

12

【做一做1】 若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相

等,则动点P的轨迹是( )

A.椭圆

B.抛物线 C.直线 D.双曲线

解析:由抛物线定义知,动点轨迹为抛物线.

答案:B

12

2.抛物线的标准方程

图形

标准方程

y2=2px(p>0)

焦点坐标 准线方程

p 2 ,0

x=-p2

y2=-2px(p>0)

p - 2 ,0

x=p2

12
图形

标准方程 x2=2py(p>0)

焦点坐标 准线方程

p 0, 2

y=-p
2

x2=-2py(p>0)

p 0,- 2

y=p2

12
名师点拨 要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对 应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有
一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为±2p;
若一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就 在x轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在x轴的负半轴 上(开口向左);若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正 的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在y 轴的负半轴上(开口向下).
特别提醒 抛物线标准方程中参数p的几何意义:抛物线的焦点到 准线的距离,所以p的值永远大于0,当抛物线标准方程中一次项的 系数为负值时,不要出现p<0的错误.

12

【做一做2】 (1)抛物线x2= 12y的开口向



,准线方程是

.

,焦点坐标

(2)若抛物线的准线方程是x=5,则其标准方程为

,焦点

坐标为

.

解析:(1)抛物线开口向上,且

2p=12,p=14

,

2

=

18,故焦点坐标为

0,

1 8

,准线方程为 y=-18.

(2)由已知得焦点坐标为(-5,0),2=5,p=10,2p=20,所以抛物线

标准方程为 y2=-20x.

答案:(1)上

0,

1 8

y=-18

(2)y2=-20x (-5,0)

12
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定 是抛物线. ( )
(2)抛物线实质上就是双曲线的一支. ( ) (3)若抛物线的方程为y2=-4x,则其中的焦参数p=-2. ( ) (4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴. ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×

探究一

探究二

探究三 思维辨析

根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程

【例1】 求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程:

(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0).

思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向, 求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.

解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半

轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为

x=3.

(2)方程 3x2-4y=0 可化为 x2=43y,抛物线开口向上,焦点在 y 轴

的正半轴上,2p=43,所以

p=23

,

2

=

13,因此焦点坐标为

0,

1 3

,准线方

程为 y=-13.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

(3)方程 x=32y2 可化为 y2=312x,抛物线开口向右,焦点在 x 轴的

正半轴上,2p=312,所以

p=614

,

2

=

1218,因此焦点坐标为

1 128

,0

,准

线方程为 x=-1218.

(4)当 a>0 时,抛物线开口向右,焦点在 x 轴的正半轴上,2p=a,

所以

p=2

,

2

=

4,因此焦点坐标为

4

,0

,准线方程为 x=-4.

当 a<0 时,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半轴上,2p=-a,

所以 p=-2 , 2=-4,因此焦点坐标为

4

,0

,准线方程为 x=-4.

综上可得,当 a≠0 时,抛物线的焦点坐标为

4

,0

,准线方程为

x=-4.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

反思感悟 已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时,一般先将 所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和 准线方程,要注意p>0,焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定,系 数为正,焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

变式训练 1(1)抛物线 x2+2y=0 的准线方程为 ( )

A.x=12

B.x=-12

C.y=12

(2)抛物线 y=-x2 的焦点坐标为(

D.y=-12 )

A.

1 4

,0

B.

-

1 4

,0

C.

0,

1 4

D.

0,-

1 4

解析:(1)方程化为 x2=-2y,焦点在 y 轴的负半轴上,p=1,所以

准线方程是 y=12.

(2)方程化为 x2=-y,焦点在 y 轴负半轴上,2p=1,所以2 = 14,故

焦点坐标为

0,-

1 4

.

答案:(1)C (2)D

探究一

探究二

探究三 思维辨析

求抛物线的标准方程
【例2】根据下列条件求抛物线的标准方程. (1)经过点M(-8,4); (2)焦点在直线x+4y+6=0上;
(3)焦点到准线的距离等于双曲线92 ? 252=1 的实轴长.
思路分析先根据题意确定焦点的位置,从而确定标准方程的形式, 设出其标准方程,然后求出参数p的值,代入即得抛物线标准方程.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴

或x轴的负半轴上.

设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).

将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),

解得2p=16或2p=2,

故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.

(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),

0,-

3 2

,所以

抛物线的焦点坐标为(-6,0)或

0,-

3 2

.

当焦点为(-6,0)时,设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),2=6,2p=24,

则抛物线方程为 y2=-24x;

探究一

探究二

探究三 思维辨析

当焦点为

0,-

3 2

时,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),2 =

32,2p=6,则抛物线方程为 x2=-6y.

(3)双曲线92 ? 252=1 的实轴长 2a=2×3=6,因此焦点到准线的

距离等于 6,即 p=6,2p=12,故所求抛物线方程为 y2=12x 或 y2=-12x

或 x2=12y 或 x2=-12y.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

反思感悟 1.求抛物线标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓 “定型”,是指确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形 式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而 得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题: (1)注意开口方向与方程间的对应关系; (2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样 可以减少讨论情况的个数;
(3)注意 p 与2的几何意义.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

变式训练2(1)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-

2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( )

A.y=3x2或y=-3x2 B.y=3x2

C.y2=-9x或y=3x2 D.y=-3x2或y2=9x

(2)若抛物线的准线与y轴平行,且焦点到准线的距离为3,则抛物

线的标准方程为

.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

解析:(1)由已知得圆的圆心为(1,-3),即抛物线经过点(1,-3). 若抛物线焦点在 y 轴上,可设其方程为 x2=-2py(p>0),代入得 p=16, 所以 x2=-13y;若抛物线焦点在 x 轴上,则设其方程为 y2=2px(p>0), 代入得 p=92,所以 y2=9x,故选 D.
(2)因为抛物线的准线与 y 轴平行,所以焦点在 x 轴上,标准方
程的形式为 y2=±2px(p>0).又焦点到准线的距离为 3,即 p=3,所 以抛物线的标准方程为 y2=±6x.
答案:(1)D (2)y2=±6x

探究一

探究二

探究三 思维辨析

利用抛物线的定义解决轨迹问题

【例 3】 已知动点 M(x,y)满足 5 (-1)2 + 2=|3x-4y+2|,则

动点 M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线

C.直线

D.抛物线

解析:方程 5 (-1)2 + 2=|3x-4y+2|可化为 (-1)2 + 2 =

|3-45+2|, (-1)2 + 2表示点 M(x,y)到定点(1,0)的距离,|3-45+2|表 示 M(x,y)到定直线 3x-4y+2=0 的距离,因此动点 M(x,y)到定点(1,0) 的距离等于它到定直线 3x-4y+2=0 的距离,且定点(1,0)不在定直 线 3x-4y+2=0 上,故动点 M 的轨迹是以(1,0)为焦点,以 3x-4y+2=0 为准线的抛物线.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

答案:D 反思感悟 根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合 两点间的距离公式以及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当 变形,分析其几何意义,然后结合有关曲线的定义作出判定.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

变式训练3一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆

圆心M的轨迹方程是

.

解析:设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又

因为动圆和直线l:x=-2相切,所以圆心M到直线l:x=-2的距离d=R,即

圆心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等,故其轨迹是抛物线,

且A是焦点,l是准线,并且有

2

=2,所以p=4,故动圆圆心M的轨迹方

程是y2=8x.

答案:y2=8x

探究一

探究二

探究三 思维辨析

忽视抛物线标准方程的形式致误

【典例】 求抛物线x=-ay2(a≠0)的准线方程和焦点坐标.

易错分析易错一:直接将 x=-ay2(a≠0)作为标准方程来求解.

易错二:虽然将抛物线方程化为 y2=-1x,但是没有分 a>0 和

a<0 两种情况讨论.

解抛物线 x=-ay2(a≠0)的标准形式是 y2=-1x,当 a>0

时,p=21

,

2

=

41,所以焦点坐标为

-

1 4

,0

,准线方程为 x=41;当 a<0

时,p=-21 , 2=-41,故焦点坐标为

-

1 4

,0

,准线方程为 x=41.

综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为

-

1 4

,0

,准

线方程为 x=41.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若 不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想 方法的运用.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

跟踪训练设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求
抛物线的标准方程.
解由 y=mx2(m≠0)可化为 x2=1y,其准线方程为 y=-41. 由题意知-41=-2 或-41=4,解得 m=18或 m=-116. 则所求抛物线的标准方程为 y=18x2 或 y=-116x2,即 x2=8y 或 x2=-16y.

12345
1.在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是 “点P的轨迹为抛物线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当定点恰好在定直线上时,点P的轨迹不是抛物线,而是一条 直线,但当点P的轨迹为抛物线时,抛物线上的点到某定点的距离等 于其到某条定直线的距离,故是必要不充分条件. 答案:B

12345

2.对抛物线 x2=4y,下列描述正确的是( )

A.开口向上,焦点为(0,1)

B.开口向上,焦点为

0,

1 16

C.开口向右,焦点为(1,0)

D.开口向右,焦点为

1 16

,0

解析:抛物线x2=4y开口向上,焦点为(0,1),故选A.

答案:A

12345
3.若点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P(x,y) 的轨迹方程为( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 解析:依题意得点P(x,y)到点F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距 离相等,并且点F(0,2)不在直线y+2=0上,所以点P的轨迹是抛物线, 并且F是焦点,y+2=0是准线,于是抛物线方程为x2=8y. 答案:C

12345

4.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,

且过点P(2,4),则该抛物线的方程是

.

解析:由题意可设抛物线方程为y2=2ax.因为点P(2,4)在抛物线上,

所以42=4a,故a=4,即所求抛物线的方程为y2=8x.

答案:y2=8x

12345
5.若抛物线顶点在原点,对称轴是 x 轴,点 P(-5,2√5)到焦点的距离 是 6,求抛物线的标准方程.
解设焦点为 F(a,0),依题意有|PF|= ( + 5)2 + 20=6,即
a2+10a+9=0,解得 a=-1 或 a=-9. 当焦点为 F(-1,0)时,p=2,抛物线开口方向向左,其方程为
y2=-4x; 当焦点为 F(-9,0)时,p=18,抛物线开口方向向左,其方程为
y2=-36x.


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