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2018-2019学年人教A版高中数学选修2-1复习课件:2.2.2(共32张PPT)_图文

2.2.2 椭 圆的简单

学习目标

思维脉络

1.掌握椭圆的范围、对称性、中 心、顶点、轴、离心率等几何性 椭圆的简单几何性质

质.

范围

2.能够利用椭圆的标准方程画 出椭圆的图形.

对称性 →应用 顶点

3.掌握根据椭圆的几何性质解 离心率

决有关问题的方法.

1.椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程 范围

x2 a2

+

y2 b2

=1(a>b>0)

-a≤x≤a,-b≤y≤b

y2 a2

+

x2 b2

=1(a>b>0)

-b≤x≤b,-a≤y≤a

焦点的位置
顶点
轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

A1(-a,0),A2(a,0)

A1(0,-a),A2(0,a)

B1(0,-b),B2(0,b)

B1(-b,0),B2(b,0)

长轴长=|A1A2|,短轴长=|B1B2|

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

2c

对称轴:坐标轴,对称中心:原点(0,0) e=ac(0<e<1)

名师点拨 1.椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的

取值范围,在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用,也

可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等.

2.利用方程研究曲线对称性的方法如下:

(1)若把曲线方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称;

(2)若把曲线方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称;

(3)若同时把曲线方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于

原点对称.

3.因为离心率 e= =

2-2 2

=

1-



2
,所以离心率反映了

椭圆的扁圆程度,离心率越大,椭圆越扁;离心率越小,椭圆越接近

于圆.

【做一做 1】 椭圆 x2+4y2=1 的离心率等于( )

A.

3 2

B.34

C.

2 2

D.23

解析:椭圆方程化为

x2+

2
1

=1,于是

a=1,b=12,c=

23,故离心率

4

e= = 23.

答案:A

【做一做 2】若点 P(m,n)是椭圆42 + 32=1 上任意一点,则 m 的取

值范围是

,n 的取值范围是

.

解析:椭圆焦点在 x 轴上,且 a=2,b= 3, 所以-2≤m≤2,- 3≤n≤ 3.

答案:[-2,2] [- 3, 3]

【做一做 3】

已知椭圆2
9

+

162=1,则其顶点坐标分别



,焦点坐标为

,长轴长等于

,

短轴长等于

,焦距等于

.

解析:椭圆焦点在 y 轴上,且 a2=16,b2=9,所以 c= 7,从而四 个顶点坐标分别为(0,4),(0,-4),(3,0),(-3,0),两个焦点坐标为 (0, 7),(0,- 7),长轴长 2a=8,短轴长 2b=6,焦距 2c=2 7.
答案:(0,4),(0,-4),(3,0),(-3,0) (0, 7),(0,- 7) 8 6 2 7

思考辨析

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打

“×”.

(1)椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率等都与椭圆焦点

所在的坐标轴有关. ( )

(2)椭圆的焦点一定在长轴上. ( )

(3)椭圆22 + 22=1(a>b>0)中的参数不能刻画椭圆的扁平程

度,而能刻画椭圆的扁平程度. (

)

(4)椭圆42

+

32=1

比椭圆2
16

+

152=1

更扁一些.

(

)

答案:(1)× (2) (3)× (4)

探究一

探究二

探究三 思维辨析

根据椭圆的标准方程研究其几何性质
【例 1】 已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= 23,求椭 圆的长轴长、短轴长、焦点坐标.
思路分析根据离心率的值,求出方程中参数m的值,得到椭圆的标 准方程,再研究其他的各个性质.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

解椭圆方程可化为2


+

2


=1(m>0).

+3

因为 m>0,所以必有 m>+3,椭圆焦点一定在 x 轴上,

所以 a= ,b= +3,c2=2++23.

又 e= 23,则34 = (2++23),故 m=1,

从而 a=1,b=12,c= 23. 因此椭圆的长轴长 2a=2,短轴长 2b=1,焦点坐标

F1

-

3 2

,0

,F2

3 2

,0

.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

反思感悟 确定椭圆几何性质的步骤如下: (1)化标准,把椭圆方程化成标准形式; (2)定位置,根据标准方程中x2,y2对应分母的大小来确定焦点位置; (3)求参数,写出a,b的值,并求出c的值; (4)写性质,按要求写出椭圆的简单几何性质.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

变式训练 1 已知点

3 4

,

1 2

在椭圆 y2+(m+3)x2=m(m>0)上,求

椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率.

解因为点

3 4

,

1 2

在椭圆 y2+(m+3)x2=m(m>0)上,

所以

1 2

2
+(m+3)·

3 4

2
=m,解得 m=1,

这时椭圆方程化为

y2+

2
1

=1.

4

椭圆焦点在 y 轴上,a2=1,b2=14,所以 c2=34,

于是长轴长 2a=2,短轴长 2b=1,顶点坐标为

(0,1),(0,-1),

1 2

,0

,

-

1 2

,0

,焦点坐标为

0,

3 2

,

0,-

3 2

,离心率

e= 23.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

根据椭圆的几何性质求其标准方程
【例2】 根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1)椭圆过点(3,0),离心率 e= 36;
(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距 为8.
思路分析(1)焦点位置不确定,应分类讨论;(2)结合图形求出a,b,c 的值代入即可.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

解(1)若焦点在 x 轴上,则 a=3,

∵e= = 36,∴c= 6. ∴b2=a2-c2=9-6=3.
∴椭圆的标准方程为92 + 32=1.
若焦点在 y 轴上,则 b=3,

∵e= =

1-

2 2

=

1-

9 2

=

36,解得 a2=27.

∴椭圆的标准方程为2
27

+

92=1.综上可知,椭圆的标准方程为

2 9

+

32=1

或2
27

+

92=1.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

(2)设椭圆的标准方程为22 + 22=1(a>b>0). 如图所示,△A1FA2 为等腰直角三角形,

OF 为斜边 A1A2 的中线(高),

且|OF|=c,|A1A2|=2b,

∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32.

故所求椭圆的标准方程为2
32

+

162=1.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

反思感悟 1.已知椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系 数法,解题步骤为:
(1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆标准方程的形式; (2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c; (3)写出标准方程. 2.在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴, 从而确定方程的形式,若不能确定焦点所在坐标轴,则应进行讨论. 一般地,已知椭圆的焦点坐标时,可以确定焦点位置,而已知离心率、 长轴长、短轴长、焦距时,则不能确定焦点位置.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

变式训练2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且经过点A(2,0),求

椭圆的标准方程.
解若椭圆的焦点在 x 轴上,设椭圆的标准方程为22 + 22=1(a>b>0).因为椭圆过点 A(2,0),所以 a=2.
因为 2a=2×2b,所以 b=1.所以方程为42+y2=1. 若椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为22 + 22=1(a>b>0),
因为椭圆过点 A(2,0),所以 b=2.因为 2a=2×2b,所以 a=4.

所以方程为2
16

+

42=1.

综上所述,椭圆的标准方程为42+y2=1

或2
16

+

42=1.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

椭圆的离心率问题

【例3】 (1)已知椭圆的焦距不小于短轴长,求椭圆的离心率的取 值范围.
(2)椭圆22 + 22=1(a>b>0)的半焦距为 c,若直线 y=2x 与椭圆一个
交点的横坐标恰为c,求椭圆的离心率.
思路分析(1)依题意先建立c与b的不等式,再转化为a,c的不等式, 即可求得离心率的取值范围;(2)根据题意,建立参数a,b,c的方程求 解,注意椭圆定义的灵活运用.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

解(1)依题意可得 2c≥2b,即 c≥b,

所以 c2≥b2,从而 c2≥a2-c2,

即 2c2≥a2,e2=22 ≥ 12,所以 e≥ 22.

又因为 0<e<1,所以椭圆离心率的取值范围是

2 2

,1

.

(2)如图所示,设直线 y=2x 与椭圆的一个交点为 P,

则点 P 横坐标为 c,连接 PF1,PF2,则|PF1|=2c. 因为△PF1F2 为直角三角形,|F1F2|=2c,

所以|PF2|=2 2c. 根据椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a,

即 2c+2 2c=2a,

所以(

2+1)c=a,故 e= =

1 2+1

=

2-1.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

反思感悟 求椭圆的离心率问题是一类重要的题型,注意以

下几点: (1)若已知 a,c 的值或关系,则可直接利用 e=求解;

(2)若已知 a,b 的值或关系,则可利用 e= =

1-



2
求解;

(3)若已知 a,b,c 的关系,则可转化为 a,c 的方程或不等式,进而

得到关于 e 的方程或不等式进行求解.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

变式训练 3 若直线 l:x-2y+2=0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶 点 B,则椭圆离心率为( )

A.15

B.25

C.

5 5

D.2 5 5

解析:依题意有 c=2,b=1,所以 a= 5,故 e=255.
答案:D

探究一

探究二

探究三 思维辨析

解决椭圆问题时忽视分类讨论致误

【典例】

若椭圆 2
+8

+

92=1

的离心率

e=12,求

k

的值.

易错分析只是按照椭圆的焦点在x轴上求出k值而漏解.

解(1)若焦点在 x 轴上,即 k+8>9 时,a2=k+8,b2=9,e2=22 =

2-2 2

=

-1 +8

=

14,解得

k=4.

(2)若焦点在 y 轴上,即 0<k+8<9 时,a2=9,b2=k+8,

e2=22

=

2-2 2

=

1- 9

=

14,解得

k=-54.

综上所述,k=4 或 k=-54.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

纠错心得本题易错于默认椭圆焦点在x轴上,从而导致漏解.事实 上,当已知椭圆的离心率时,椭圆的焦点位置是不确定的,焦点可以 在x轴上,也可以在y轴上,因此在求解时应分类讨论.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

跟踪训练已知椭圆的中心在原点,对称轴是坐标轴,离心率

e= 23,且过点 P(2,3),求此椭圆的标准方程.

解当椭圆焦点在 x 轴上时,

设椭圆的标准方程为22 + 22=1(a>b>0),



=

3 2

,

由题意知

4 2

+

9 2

=

1,

解得 b2=10,a2=40.

2 = 2 + 2,

故椭圆的标准方程为2
40

+

102=1.

探究一

探究二

探究三 思维辨析

当焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为22 + 22=1(a>b>0),



=

3 2

,

由题意,得

9 2

+

4 2

=

1,解得

b2=245,a2=25.

2 = 2-2,

故椭圆的标准方程为2
25

+

4252=1.

综上可知,所求椭圆的标准方程为402

+

102=1

或2
25

+

4252=1.

12345
1.椭圆 6x2+y2=6 的长轴的端点坐标是( ) A.(-1,0),(1,0) B.(0,-1),(0,1) C.(- 6,0),( 6,0) D.(0,- 6),(0, 6) 解析:椭圆方程可化为 x2+62=1,焦点在 y 轴上,长轴端点的坐标
为(0,± 6).
答案:D

12345

2.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(- 3,0),且长轴长是短轴长的

2 倍,则该椭圆的标准方程是( )

A.42+y2=1 C.32+y2=1

B.x2+42=1 D.x2+32=1

解析:∵一个焦点为(- 3,0),∴焦点在 x 轴上且 c= 3.

∵长轴长是短轴长的 2 倍,∴2a=2·2b,即 a=2b,

∴(2b)2-b2=3.∴b2=1,a2=4,
故标准方程为42+y2=1.
答案:A

12345

3.椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为10,两个焦点与短轴的两个 顶点构成的菱形的面积为5,则椭圆的离心率为( )

A.

2 2

B.

3 2

C.12

D.

6 3

解析:依题意有 2ab=10,2bc=5,所以 e= = 12.

答案:C

12345

4.与椭圆42

+

32=1

有相同的离心率且长轴长与2
8

+

32=1

的长轴

长相等的椭圆的标准方程为

.

解析:椭圆2
4

+

32=1

的离心率为

e=12,椭圆82

+

32=1

的长轴长为

4 2.

所以



=

1 2

.

解得 a=2 2,c= 2,故 b2=a2-c2=6.

2 = 4 2,

又因为所求椭圆焦点既可在 x 轴上,也可在 y 轴上,故方程为

2 8

+

62=1

或2
8

+

62=1.

答案:2
8

+

62=1

或2
8

+

62=1

12345

5.已知椭圆 x2+my2=1 的离心率为 23,求 m 的值及椭圆的长轴长.

解椭圆方程化为

x2+

2
1

=1,则应有

m>0



m≠1.



当 0<1<1,即 m>1 时,焦点在 x 轴上,a=1,b= 1,c= 1- 1.

因为离心率为 23,所以

1-1 1

=

23,解得 m=4,这时长轴长为

2a=2.

当1>1,即 0<m<1 时,焦点在 y 轴上,b=1,a=

1,c=

1

-1,

12345

因为离心率为 23,所以

1-1 =
1

23,解得 m=14,



这时长轴长为 2a=4.

综上可知,m 的值为 4 或14,当 m=4 时,长轴长为 2,当 m=14时,

长轴长为 4.


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