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【高考数学】2018-2019学年数学高考二轮复习专题二第3讲平面向量案-文科

第 3 讲 平面向量 高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算,多以熟知的平面图形为背景, 难度中低档;2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积,多考查角、模等问题,难 度中低档;3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合,以解答题 形式出现. 真 题 感 悟 1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则( A.a⊥b C.a∥b 2 ) B.|a|=|b| D.|a|>|b| 2 2 2 解析 由|a+b|=|a-b|两边平方,得 a +2a·b+b =a -2a·b+b ,即 a·b=0,故 a⊥b. 答案 A 2.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量 a=(-1, 2), b=(m, 1).若向量 a+b 与 a 垂直, 则 m=________. 解析 由题意得 a+b=(m-1,3), 因为 a+b 与 a 垂直,所以(a+b)·a=0,所以-(m-1)+2×3=0,解得 m=7. 答案 7 → → → → → 3.(2017·天津卷)在△ABC 中, ∠A=60°, AB=3, AC=2, 若BD=2DC, AE=λ AC-AB (λ ∈R), → → 且AD·AE=-4,则 λ 的值为________. 解析 = → → 1→ 2 → → → ?1→ 2→ ? → → AB·AC=3×2×cos 60°=3,AD= AB+ AC,则AD·AE=? AB+ AC ?·(λ AC-AB) → 3 3 ?3 3 ? λ -2→ → 1→2 2λ →2 λ -2 1 2λ 11 3 2 2 AB·AC- AB + AC = ×3- ×3 + ×2 = λ -5=-4,解得 λ = . 3 3 3 3 3 3 3 11 3 11 答案 4.(2017·江苏卷)已知向量 a=(cos x,sin x),b=(3,- 3),x∈[0,π ]. (1)若 a∥b,求 x 的值; (2)记 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值. 解 (1)∵a∥b,∴3sin x=- 3cos x, ? π? ∴3sin x+ 3cos x=0,即 sin?x+ ?=0. 6? ? -1- π π 7 ∵0≤x≤π ,∴ ≤x+ ≤ π , 6 6 6 π 5π ∴x+ =π ,∴x= . 6 6 ? π? (2)f(x)=a·b=3cos x- 3sin x=-2 3sin?x- ?. 3? ? π ? π 2π ? ∵x∈[0,π ],∴x- ∈?- , ?, 3 ? 3 ? 3 ∴- 3 ? π? ≤sin?x- ?≤1, 3? 2 ? ∴-2 3≤f(x)≤3, 当 x- 当 x- π π =- ,即 x=0 时,f(x)取得最大值 3; 3 3 π π 5π = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-2 3. 3 2 6 考 点 整 合 1.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理:向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ ,使 b=λ a. (2)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任 一向量 a,有且只有一对实数 λ 1,λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2,其中 e1,e2 是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a∥b?a=λ b?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 3.平面向量的三个性质 (1)若 a=(x,y),则|a|= a·a= x +y . → 2 2 (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则|A B |= (x2-x1) +(y2-y1) . (3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角, 2 2 a·b x1x2+y1y2 则 cos θ = = 2 . 2 |a||b| x1+y2 x2 1 2+y2 4.平面向量的三个锦囊 → → → (1)向量共线的充要条件: O 为平面上一点, 则 A, B, P 三点共线的充要条件是OP=λ 1OA+λ 2OB (其中 λ 1+λ 2=1). → → → → (2)三角形中线向量公式:若 P 为△OAB 的边 AB 的中点,则向量OP与向量OA,OB的关系是OP= -2- 1 → → (OA+OB). 2 → → → ?xA+xB+xC,yA+yB+yC?. (3)三角形重心坐标的求法:G 为△ABC 的重心?GA+GB+GC=0?G? ? 3 3 ? ? 热点一 平面向量的有关运算 【例 1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b| =|a| +|b| ,则 m =________. 1 2 → → → (2)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB, BE= BC.若DE=λ 1AB+λ 2AC (λ 1, 2 3 λ 2 为实数),则 λ 1+λ 2 的值为________. 解析 (1)由|a+b| =|a| +|b| ,得 a⊥b, 所以 a·b=m×1+1×2=0,得 m=-2. → → → 1→ 2→ (2)DE=DB+BE= AB+ BC 2 3 1→ 2 → → 1→ 2→ = AB+ (AC-AB)=- AB+ AC, 2 3 6 3 → → → ∵DE=λ 1AB+λ 2AC, 1 2 ∴λ 1=- ,λ 2= , 6 3 1 因此 λ 1+λ 2= . 2 答案 (1)-2 探究提高 (2) 1 2 2 2 2 2 2 2 对于平面向量的线性运算,首先要选择一组基底,同时注意共线向量定理的灵活 运用.其次运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系. → → 【训练 1】 (2017·衡阳二模)如图, 正方

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