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四川省成都七中人教版高中数学选修4-4课件: 2.2圆锥曲线的参数方程2_图文

第二讲 参数方程 二.圆锥曲线的参数方程 2.双曲线的参数方程 ? 阅读教材P29-30 双曲线的参数方程 x2 y 2 探究:双曲线 2 ? 2 ? 1 a b 的参数方程 以原点O为圆心,a, b为 半径分别作同心圆C1 , C2 设A为圆C1上任意一点,作直线OA, a y A B' o B b ? ? ? M A' x 设以Ox为始边,OA为终边的角为? 过点A作圆C1的切线AA'与x轴交于点A' , 过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B' . 过点A' ,B'分别作y轴,x轴的平行线A' M,B' M交于点M. 双曲线的参数方程 设M ( x, y) 则A ( x,0), B (b, y). 点A在圆C1上 ? A(acos?,asin? ). ' ' y a A o B b B' ?M A' x ? 又OA ? AA , ?OA ? AA =0 ' ' AA' =(x-acos?,-asin?) a 2 解得:x ? ?a cos ? ( x ? a cos ? ) ? (a sin ? ) ? 0 1 消去参数得: cos ? 又 点B'在角?的终边上,记 cos ? ? sec x 2 ? y 2 ? x ? a sec ? ? 2 ?1 2 y 由三角函数定义有: tan ? ? . ? y ?a b tanb ? b ? x ? a sec ? ?点M的轨迹的参数方程是 ? (?为参数) ? y ? b tan ? 双曲线的参数方程 x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b ? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ? a y A o B B' ?M A' x ? b 说明:⑴ 这里参数 ? 叫做双曲线的离心角与直线OM 的倾斜角不同. 2 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 恒等式sec2 ? ? 1 ? tan 2 ? 相比较而得到,所以双曲 线的参数方程的实质是三角代换. x y ? 2 ?1 2 与三角 a b 3? 通常规定? ? [o, 2? )且? ? ,? ? 。 2 2 ? 双曲线的参数方程: x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b ? x ? a sec ? (?为参数) ?为离心角 ? ? y ? b tan ? y x - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b ? y ? a sec ? (?为参数) ? ? x ? b tan ? 2 2 x2 y2 例2、 如图,设M 为双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) a b 任意一点,O为原点,过点M 作双曲线两渐近线的 平行线,分别与两渐近线交于A,B两点。探求平 行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论? 解:不妨设M为双曲线右支上一点, 其坐标为(asec? ,btan?), b 双曲线的渐近线方程为:y ? ? x. a 则直线MA的方程为: b y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec ? ). a b 将y= x代入①,解得点A的横坐标为 a O y A M B x ① a xA = (sec? ? tan?). 2 a 解: 同理可得,点B的横坐标为xB = (sec? ? tan?). 2 b 设?AOx=? ,则tan? ? . 所以MAOB的面积为 a xA xB S MAOB =|OA||OB|sin2 ? ? = cos? ? cos? sin2? a 2(sec2? -tan2? ) = ? sin2? 2 4cos ? y A M O B a a b ab = ? tan ? ? ? ? . 2 2 a 2 2 2 x 由此可见,平行四边形MAOB的面积恒 为定值,与点M在双曲线上的位置无关。 探究 化下列参数方程为普通方程,并说明它们 表示什么曲线?由此你有什么想法? a 1 ? x ? ( t ? ) ? ? 2 t (t为参数,a>0,b>0) ? ? y ? b (t ? 1) ? 2 t ? a t ? ?t x ? (e ? e ) ? ? 2 (t为参数,a>0,b>0) ? ? y ? b (et ? e ? t ) ? ? 2 第二讲 参数方程 二.圆锥曲线的参数方程 3.抛物线的参数方程 抛物线的参数方程 设抛物线的普通方程为y2 ? 2 px......(1) 抛物线上任意点M (x,y) ?MOX ? ? y 由三角函数的定义可得 ? tan ? .............(2) y x 由(1), (2)解出x, y, 2p ? x? ? ? tan 2 ? 得到 ? ?y ? 2p ? tan ? ? o (? 为参数) ? M(x,y) x 这就是抛物线(1)(不包括顶点)的参数方程 抛物线的参数方程 如果令t ? 1 , t ? (??, 0) tan ? 2p ? x? ? ? tan 2 ? ? ?y ? 2p ? tan ? ? (0, ??), (? 为参数) ? x ? 2 pt 2 则有 ? (t为参数) ? y ? 2 pt 当t ? 0时,由此参数方程表示的点正好 就是抛物线的顶点(0, 0) y o ? M(x,y) x ? x ? 2 pt 2 ?当t ? ( ??, ??)时,参数方程 ? (t为参数) ? y ? 2 pt 就表示抛物线y 2 =2px。 参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的斜率的倒数。 由此得抛物线y ? 2 px (p ? 0)的参数方程为: 2 参数t的几何意义:抛物线 ? x ? 2 pt 2 (t为参数) 上除顶点外的任意一点与 ? ? y ? 2 pt 原点连线的斜率的倒数。 思考

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