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2016新课标名师导学新高考第一轮总复习(文科数学)第74讲极坐标系与简单曲线的极坐标方程


第十一章 坐标系与参数方程 第 74 讲 极坐标系 与简单曲线的极坐标方程 【学习目标】 1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图 形的变化情况. 2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解 在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区 别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形 ( 如过极点的直 线、过极点或圆心在极点的圆)的方程. 【基础检测】 1.极坐标方程 ρ=sin θ +2cos θ 能表示的曲线 x2+y2-2x-y= 0. 的直角坐标方程为______________ __ 2.在极坐标系中,圆 ρ=-2sin θ 的圆心的极坐 标是( B ) ? ? π? π? A.?1,2 ? B.?1,-2 ? C.(1,0) D.(1,π) ? ? ? ? 【解析】 圆的方程可化为 ρ2 =- 2ρsin θ ,由 ? ?x=ρcos θ, ? 得 x2+y2=-2y,即 x2+(y+1)2=1,圆 ? ?y=ρsin θ, ? π? ? 心(0,-1),化为极坐标为?1,- ? ?. 2 ? ? 3.在平面直角坐标系 xOy 中,方程 x2+y2=1 所 ? ?x′=2x 椭圆 对应的圆经过伸缩变换? 后的图形是____ __, ? ?y′=y x2 2 +y = 1 4 其方程为____________ . ? ? ?x= x ′= 2 x ? 2 ,代入 【解析】由? 得? ? ?y′=y ? x′ x′2 +y′2=1, 4 ?y= y′ x2+y2=1,得 x2 2 故应填椭圆 +y =1. 4 4.在极坐标系中,直线 3 . =4 截得的弦长为4 ______ ? ρsin? ?θ ? π? ? + ?=2 被圆 ρ 4? 【解析】直线 ? π? ? ρsin?θ+ ? =2 4? ? ? 可化为 x+y-2 2 =0,圆 ρ=4 可化为 x2+y2=16,由圆中的弦长公式 ?2 2? ? ?2 2 2 2 得 2 r -d =2 4 -? ? =4 3. 2 ? ? 【知识要点】 1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在 y ??uy ( u ? 0) 变换 φ:_______________ 的作用下,点 P(x,y)对应到 点 P′(x′ , y′) , 称 φ 为 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 _______________ 坐标伸缩变化 ,简称伸缩变换. ? x ?? ? x ( ? ? 0) 2.极坐标系与点的极坐标 在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 Ox, 同时确定一个长度单位和计算角度的正方向 (通常取逆 时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系.其 中,点 O 称为极点,射线 Ox 称为极轴. 设 M 是平面上任一点, ρ 表示 OM 的长度, θ 表示 以射线 Ox 为始边,射线 OM 为终边所成的角.那么, 有序数对____________ (ρ,θ) 称为点 M 的极坐标.显然,每 一个有序实数对(ρ,θ)决定一个点的位置.其中,ρ 称 为点 M 的_________ 极径 ,θ 称为点 M 的_________ 极角 . 由极径的意义可知 ρ≥0,当极角 θ 的取值范围是 [0, 2π)时, 平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ, θ)(ρ≠0) 建立一一对应的关系, 我们约定, 极点的极坐标是极径 ρ=0,极角 θ 可取任意角. 3.坐标之间的互

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