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高一数学暑假预习必讲义:(九)函数的基本性质----单调性和最值(2)

讲义九: 函数的基本性质----单调性和最值(2) (一) 、基本概念及知识体系: 教学要求:更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法,理解函数的最大(小) 值及其几何意义. 教学重点:熟练求函数的最大(小)值。 教学难点:理解函数的最大(小)值,能利用单调性求函数的最大(小)值。 教学过程: 一、复习准备: 1.指出函数 f(x)=ax +bx+c (a>0)的单调区间及单调性,并进行证明。 2. f(x)=ax +bx+c 的最小值的情况是怎样的? 3.知识回顾:增函数、减函数的定义。 二、讲授新课: 1.教学函数最大(小)值的概念: ① 指出下列函数图象的最高点或最低 点,→ 能体现函数值有什么特征? f ( x) ? ?2 x ? 3 , f ( x) ? ?2 x ? 3 x ? [ ?1, 2] ; f ( x) ? x2 ? 2x ? 1 , f ( x) ? x2 ? 2x ? 1 x ?[?2,2] ② 定义最大值:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都 有 f(x)≤M; 存在 x0∈I, 使得 f(x0) = M. 那么, 称 M 是函数 y=f(x)的最大值 (Maximum Value) ③ 探讨:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Valu e)的定义. → 一些什么方法可以求最大(小)值?(配方法、图象法、单调法) → 试举例说明方 法. 2.教学例题: ① 出示 ★例题 1: 一枚炮弹发射, 炮弹距地面高度 h (米) 与时间 t (秒) 的变化规律是 h ? 130t ? 5t 2 , 那么什么时刻距离达到最高?射高是多少? (学生讨论方法 → 师生共练:配方、分析结果 → 探究:经过多少秒落地?) ② 练习:一段竹篱笆长 20 米,围成一面靠墙的矩形菜地,如何设计使菜地面积最大? (引导:审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值; →小结:数学建模)③ 出示 2 2 ★例 2:求函数 y ? 分析:函数 y ? 3 在区间[3,6]上的最大值和最小值. x?2 3 , x ?[3,6] 的图象 → 方法:单调性求最大值和最小值. x?2 → 板演 → 小结步骤:先按定义证明单调性,再应用单调性得到最大(小)值. 3? x → 变式练习: y ? , x ?[3,6] x?2 3 3 ④ 探究: y ? 的图象与 y ? 的关系? x?2 x ⑤ 练习:求函数 y ? 2 x ? x ? 1 的最小值. (解法一:单调法; 解法二:换元法) 3. 看书 P34 例题 → 口答 P36 练习 →小结:最大(小)值定义 ;三种求法. 三、巩固练习: 1. 求下列函数的最大值和最小值: 5 3 (1) y ? 3 ? 2x ? x2 , x ?[? , ] ; (2) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 2 2 2.一个星 级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经 房价(元) 住房率(%) 理得到一些定价和住房率的数据如右: 160 55 欲使每天的的营业额最高,应如 何定价? 140 65 (分析变化规律→建立函数模型→求解最大值) 120 75 3. 课堂作业:书 P43 A 组 5 题;B 组 1、2 题. 100 85 四、备选用思考题: 【题 1】 、二次函数?(x)=ax +bx (a,b 为常数且 a≠0)满足?(-x+5)=?(x-3)且方程?(x) =x 有等根;①求?(x)的解析式;②是否存在实数 m、n(m <n)使?(x)定义域为[m,n], 值域为[3 m,3n],若存在,求出 m、n 之值,若不存在,说明理由 2 1 2 解、①?(x)=- x +x 2 1 1 1 ②由于?(x)的值域是?(x)≤ ,则 3n≤ ,即 n≤ ,所以有?(m) 2 2 6 =3m 且?(n)=3n ∴存在实数 m=-4,n=0 使?(x)定义域为[-4,0],值域为[-12,0] ★例 2:某产品单价是 120 元,可销售 80 万件。市场调查后发现规律 为降价 x 元后可多销售 2x 万件,写出销售金额 y(万元)与 x 的函数 关系 式,并求当降价多少个元时,销售金额最大?最大是多少 分析:此题的数量关系是怎样的?函数呢?如何求函数的最大值?? 小结:利用函数的单调性(主要是二次函数)解决有关最大值和最大值问题。 ★题 3:①、求函数 y=x+ 2 x ? 1 的值域。 ②、判断函数 y= x?2 cx ? d 单调区间并证明。 (定义法、图象法; 推广: 的单调性) x ?1 ax ? b ③、讨论 y= 1 ? x 2 在[-1,1]上的单调 性。 (思路:先计算差,再讨论符号情况。 ) ★ 【例题 4】某村计划建造一个室内面积为 800m 的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、 右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道, 沿前侧内墙保留 3m 宽的空地。 当矩形温室的 边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少? ★ 【例题 5】 、 (06〃 重庆〃 T21〃 12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足?(f(x)-x +x)=f(x)-x +x. (Ⅰ) 若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (Ⅱ) 设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0, 求函数 f(x)的解析表达式. 2 2 2 ▲解: (Ⅰ) 因为对任意 x∈R, 有 f(f(x)- x + x)=f(x)- x +x, 所以 f(f(2)- 2 +2)=f(2)2 2 +2. 2 2 2 2 又由 f(2)=3, 得 f(3-2 +2)-3-2 +2, 即 f(1)=1.; 若 f(0)=a, 则 f(a-0 +0)=a-0 +0, 即 f(a)=a. 2 2 (Ⅱ)因为对任意 xεR,有 f(f(x))- x +x)=f(x)- x +x

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