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向量的数乘运算_图文

问题情景

一物体作匀速直线运动,一秒 ? 钟的位移对应向量a, 那么在同 方向上3秒的位移对应的向量 ? 用3a表示,试画出该向量。
? 思考: 思考:一个向量的相反向量相加以后 相同向量相加以后 ,其和的长度与方 ,其和 3a 是何种运算的结果?
向有什么变化? 的长度与方向有什么变化?
? a
?? ? 3 3 a a

1.向量的数乘的定义 一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记 作λa,它的长度和方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa与a方向相同; 当λ<0时,λa与a方向相反; 当a=0时 λa=0 ;当λ=0时,λa=0. 实数λ与向量a相乘,叫做向量的数乘. 注:向量的数乘及向量的加法,减法 统称为向量的线性运算.

根据向量数乘的定义,可以验证向量 数乘满足下面的运算律. (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa;

结合律
分配律

实数对向量分配
(3)λ(a+b)=λa+λb. 分配律

向量对实数分配

思考:向量数乘与实数乘法有哪些异
同点?

相同点:这两种运算都满足结合律和
分配律.

不同点:实数乘法的结果(积)是一个
实数,而向量数乘的结果是 一个向量;

如何验证λ(a+b)=λa+λb?
? ? l a+ b

(

)

? a

? b

? lb

? la

运用

例1. 已知向量a和向量b,求作向量 -2.5a和向量2a-3b. B ? ? ? b ? 2.5 a 3b ?

a

作法 如图所示, 向量-2.5a的长度是a的长度的2.5倍, 方向与a相反. 以O为起点,分别作OA=2a,OB=3b,连BA, 则BA=OA-OB=2a-3b.



? ? ? 2a 2a ? 3b


运用

? ? ? ? (1)3 a - b - 2 a + 2b ? ? ? ? ? ? (2)2 2a + 6b - 3c - 3 - 3a + 4b - 2c

例2. 计算

( (
(

) (
)

) ) (

)

? 1? ? 骣 1 轾? ? 骣 1 琪 3a + 2b - 琪 a + b 2 a+ (3) 犏 琪 琪 琪 琪 桫 桫 2犏 2 2 臌

3? b 8

运用

例2. 计算

? ? ? ? (1)3 a - b - 2 a + 2b

(

) (

)
)

? ? ? ? 解: 3 a - b - 2 a + 2b

(

) (

? ? ? ? ? 3a ? 3b ? 2a ? 4b ? ? ? a ? 7b

运用

例2. 计算

( ) ( ) ? ? ? ? ? ? 解: 2(2a + 6b - 3c)- 3(- 3a + 4b - 2c)
? ? ? ? ? ? ? 4a ? 12b ? 6c ? 9a ? 12b ? 6c ? ? 13a

? ? ? ? ? ? (2)2 2a + 6b - 3c - 3 - 3a + 4b - 2c

运用

例2.计算
? 骣 ? 1? ? 3? 骣 1 轾? 1 琪 3a + 2b - 琪 a + b 2 a+ b (3) 犏 琪 琪 琪 琪 桫 桫 2犏 2 2 8 臌

(

)

? 骣 ? 1? ? 3? 骣 1 轾? 1 琪 琪 犏 3 a + 2 b a + b 2 a + b 琪 琪 解: 琪 琪 桫 桫 2犏 2 2 8 臌

(

)

3? ? 1? 1? ? 3? ? a ?b ? a ? b ?a? b 2 2 4 4 ? ?0

运用

例3.如图,平行四边形ABCD中,对角线 AC与BD O,P??? 为平面内任意一点 , ??? ?交于 ??? ? ? ??? ? ??? ? PA + PB + PC + PD = 4 PO 求证: Q
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? D PA ? PB ? PC ? PD ? 4 PO O ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? PA ? PO ? PB ? PO ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?A ? PC ? PO ? PD ? PO ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? P ? OA ? OB ? OC ? OD ? 0 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 PA ? PB ? PC ? PD ? 4 PO

证明:

C B

? ?

? ? ? ?

? ?

例4.在正六边形ABCDEF中,已知 AB=a,AF=b,求AC,AD,AE,EG(其中G D E 在AD 上且 AG=3GD). ? ???? ???? ??? G 解: AC ? AF ? FC F O ? C ? ? ? b ? 2 a b ???? ??? ? ??? ? ?

.

.

? CD AD ? AC a ???? ??? ? ??? ? ? ? ? 2a ? 2b EG ? EA ? AG ??? ? 3 ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? AE ? AD ??DE ? EA ? AD 4 ? ? 1 ? ? a ? 2b ? (a ? b ) 2
A B

小结

1.向量的数乘的定义;λa一个向量 并如下规定: (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa与a方向相同; 当λ<0时,λa与a方向相反; 当a=0时 λa=0 ;当λ=0时,λa=0.

2.向量的数乘的运算律.

探索1

已知非零向量a(如图) a 试作出:a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a)
根据向量加法的法则可得

a
O A

a
B

a
C

? 3a
P

-a
N M

-a
O

-a

? ?3a

思考:相同向量相加以后,和的长度与方
向有什么变化?


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