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2013年启恩中学高一数学测试题


启恩中学高一数学复习题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的. 1.方程组
y ?2 {x ? y ?0 的解构成的集合是 x?

( C. (1,1) D. {1} (



A. {(1,1)} 2. cos120 的值是 A. ?
?

B. {1,1}



3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2
( )

3. 函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上 是减函数,则 f(1)等于 A.-7 B.1 C.17
4. 已知直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0, l2 : ax ? 4 y ? 1 ? 0 , 若 l1 // l2 , 则 a 的值为 ( A. 8 5. 函数 y ? sin 2 x 是 A . 最小正周期为 2? 的偶函数 C. 最小正周期为 ? 的偶函数 B. 最小正周期为 2? 的奇函数 D. 最小正周期为 ? 的奇函数 ( D. 3a ? a ? 1
2

D.25


B. 2

C.

?

1 2

D. ?2

6.已知 a ? log3 2 ,那么 log3 8 ? 2 log3 6 用 a 表示为 A.a ? 2
2 2



B. 5a ? 2
2 2

C. 3a ? (a ? a) 2

7. 圆 x ? y ? 1 和圆 x ? y ? 6 y ? 5 ? 0 的位置关系是( A .外切 B.内切 C.外离

). D.内含 4 ) 4 正视图 4
3

8. 已知某几何体的三视图如图 1 所示, 其中俯视图 是腰长为 2 的等腰梯形, 则该几何体的体积为 ( A. 4 3 C. 12 3 B. D.

4

8 3
24 3

侧视图

9. 已知向量 a ? ?1, n ? , b ? ? n, 1? , 其中 n ? ?1 , 则下列 结论中正确的是 ( )

俯视图 图1

A. C.

? a ? b? // ? a ? b?
? a ? b? ? ? a ? b?

B. D.

? a ? b? // b ? a ? b? ? b
B. x1 f ? x2 ? ? x2 f ? x1 ? D. x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ?

10. 已知函数 f ? x ? ?

2 x ? x 2 ? 1 , 则对任意实数 x1 、2 ,且 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 都有 x

A. x1 f ? x2 ? ? x2 f ? x1 ? C. x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 11. 函数 y ? ln ? 2x ?1? 的定义域是 ; ;

12. 在空间直角坐标系 Oxyz 中, 点 ?1, ? 2, 3? 关于原点 O 的对称点的坐标为 13. 函数 y ? A sin(?x ? ? ) (A>0,0< ? < ? )在一个周期内的 图象如右图,此函数的解析式为___________________;
2 14. 若曲线 y ? 1 ? x 与直线 y ? x ? b 有两个交点,则 b 的

取值范围是_______________;

?3x , x ? 2, ? 15. 已 知 函 数 f ? x ? ? ? 则 f ?1? ? ? f ? x ? 1? , x ? 2 ?
= f ? 2 ? l o 3g ?2 ;
2



16.若函数 f ? x ? ? ? a ? 2? x ? ? a ?1? x ? 3 是偶函数,则函数 f ? x ? 的单调 递减区间为 ;

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

3 1 sin x ? cos x (x∈R). 2 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期;

(Ⅱ)求函数 f ? x ? 的最大值和最小值.

18.(本小题满分 14 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形, PA ? 平面 ABCD , 点 F 为

PC 的中点.
(Ⅰ)求证: PA // 平面 BDF ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDF .
P

F

A D

B

C

19. (本小题满分 14 分) 通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描 述问题所用的时间。讲座开始时,学生兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣 保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明,用 f(x)表示学生掌 握和接受概念的能力,x 表示提出概念和讲授概念的时间(单位:分) ,可有以下的关系式:

?? 0.1x 2 ? 2.6 x ? 43, (0 ? x ? 10) ? f ( x) ? ?59, (10 ? x ? 16) ?? 3x ? 107, (16 ? x ? 30). ?
(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (2)一个数学难题,需要 55(或以上)的接受能力,上课开始 30 分钟内, 求能达到该接受 能力要求的时间共有多少分钟? ( 3 ) 如 果 每 隔 5 分 钟 测 量 一 次 学 生 的 接 受 能 力 , 再 计 算 平 均 值

M=

f (5) ? f (10) ? ? ? f (30) ,它能高于 45 吗? 6

20. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 的圆心坐标为 ?1, 2 ? , 直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与圆 C 相交于 M 、 N 两点,

MN ? 2 .
(1)求圆 C 的方程; (2)若 t ? 1 , 过点 A ? t ,0 ? 作圆 C 的切线, 切点为 B ,记 d1 ? AB , 点 A 到直线 l 的 距离为 d2 , 求 d 2

d1 ? 1

的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知

1 2 ? a ? 1 , 若 函 数 f ? x? ? ax ? 2 x在 ?1, 3? 上 的 最 大 值 为 M ? a ? , 最 小 值 为 3

N ? a? , 令 g ? a? ? M ? a? ? N ? a? .
(1)求 g ? a ? 的表达式; (2)若关于 a 的方程 g ? a ? ? t ? 0 有解, 求实数 t 的取值范围.

数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案

1 A

2 B

3 D

4 A

5 D

6 A

7 A

8 C

9 C

10 A

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 11. ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?
[1, 2 )

12.

? ?1, 2, ?3?
6

13. y ? 2 sin( 2 x ?

2? ) 3

14.

15. 1

16. [0, +∞)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 17.解:(Ⅰ) f ? x ? ?

? ? ? 3 1 sin x ? cos x ? sin x cos ? cos x sin ? sin( x ? ) . 6 6 6 2 2

? 函数 f ? x ? 的最小正周期为 2 ? .
(Ⅱ)当 sin( x ? 当 sin( x ?

?

?

6

) ? 1 时,函数 f ? x ? 的最大值为 1. ) ? ?1 时,函数 f ? x ? 的最小值为 ?1 .
? O 是 AC 的中点.

6

18. (Ⅰ)证明: 连结 AC , BD 与 AC 交于点 O ,连结 OF .

? ABCD 是菱形,

? 点 F 为 PC 的中点, ? OF // PA .
? OF ? 平面 BDF , PA ? 平面 BDF ,

? PA // 平面 BDF . (Ⅱ)证明: ? PA ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,
? PA ? AC .

? OF // PA,?OF ? AC .

? ABCD 是菱形, ? OF ? BD ? O ,
? AC ? 平面 PAC ,

? AC ? BD . ? AC ? 平面 BDF . ? 平面 PAC ? 平面 BDF .

19.解: (1)0<x≤10 时,有 f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9 故当 0<x≤10 时,时,f(x)递增,最大值为 f(10)=-0.1×(-3)2+59.9=59;

显然,当 16<x≤30 时,f(x)递减,f(x)<-3×16+107=59. 因此,开讲后 10 分钟,学生达到最强的接受能力(值为 59) , 并维持 6 分钟; (2) 依题意, 当 0<x≤10 时,令 f(x)≥55,则(x-13)2≤49, ∴6≤x≤10; 当 10<x≤16 时,f(x)=59 符合要求; 当 16<x≤30 时,令 f(x)≥55,则 x≤17

1 3 1 1 -6=11 (分钟); 3 3

因此,学生达到(或超过)55 的接受能力的时间为 17

(3) f(5)=53.5, f(10)=59, f(15)=59, f(20)=47,f(25)=32, f(30)=17 所以 M=

53.5 ? 59 ? 59 ? 47 ? 32 ? 17 ≈44.6<45. 6

故知平均值不能高于 45. 20.(1)解: 设圆 C 的半径为 r ,圆 C 的圆心 ?1, 2 ? 到直线 l 的距离 d ? ∵ MN ? 2 , ∴ 2 r2 ? d 2 ? 2. ∴ 2 r ?
2

1 ? 2 ?1 12 ? 12

? 2.

? 2?

2

?2.

解得 r ? 3 . ∴ 所求的圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 3 .
2 2

(2) 解:∵圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 3 的圆心 C ?1, 2 ? ,半径 r ?
2 2

3,

∴ d1 ? AB ?

AC ? r 2 ?
2

? t ? 1? ? ? 0 ? 2 ?
2

2

?

? 3?
.

2

?

? t ? 1?

2

?1 .

又点 A ? t ,0 ? 到直线 l 的距离 d2 ?

t ? 0 ?1 12 ? 12

?

t ?1 2

d ?1 ∴ 1 ? d2

? t ? 1?

2

?1 ?1

t ?1 2

? 2?

? t ? 1?

2

?1 ?1
.

t ?1



? t ? 1?

2

? 1 ? m ,则 t ? 1 ? m 2 ? 1 ,

∵ t ? 1 ,∴ m ? 1 .



d1 ? 1 m ?1 2 m ?1 . ? 2? ? 2? 1? ? 2? m ?1 m ?1 d2 m2 ? 1
∴0 ?

∵ m ? 1, ∴ m ? 1 ? 2 . ∴0 ?

2 ? 1. m ?1

∴ 0 ? 1?

2 ? 1. m ?1

2? 1 ?

2 ? 2. m ?1
2



d1 ? 1 的取值范围是 0, 2 . d2

?

?

1? 1 ? 21. (1) 解: f ? x ? ? ax ? 2x ? a ? x ? ? ? . a? a ?
1 1 ? a ? 1 , ∴1 ? ? 3 . 3 a 1 1 1 ① 当 1 ? ? 2 ,即 ? a ? 1 时, 则 x ? 3 时, 函数 f ? x ? 取得最大值; x ? 时, 函数 a 2 a


2

1 ?1? f ? x ? 取得最小值. ∴ M ? a ? ? f ?3? ? 9a ? 6 , N ? a ? ? f ? ? ? ? . a ?a?
∴ g ? a ? ? M ? a ? ? N ? a ? ? 9a ? ② 当2 ?

1 ?6. a

1 1 1 1 ? 3 ,即 ? a ? 时, 则 x ? 1 时, 函数 f ? x ? 取得最大值; x ? 时, 函数 a 3 2 a

1 ?1? f ? x ? 取得最小值.∴ M ? a ? ? f ?1? ? a ? 2 , N ? a ? ? f ? ? ? ? . a ?a?
∴ g ? a? ? M ? a? ? N ? a? ? a ?

1 ?2. a

1 1 1 ? ?a ? a ? 2, 3 ? a ? 2 , ? 综上,得 g ? a ? ? ? ?9a ? 1 ? 6, 1 ? a ? 1. ? a 2 ?
(2)解:任取 a1 , a2 ? ? ,

?1 1 ? ? ,且 a1 ? a2 , ?3 2 ?

? ? ? ? 1 1 g ? a1 ? ? g ? a2 ? ? ? a1 ? ? 2 ? ? ? a2 ? ? 2 ? a1 a2 ? ? ? ?
?

? a1 ? a2 ?? a1a2 ?1? .
a1a2
∴ a1 ? a2 ? 0, a1a2 ? 0, a1a2 ?1 ? 0 .

∵ a1 , a2 ? ? ,

?1 1 ? ? ,且 a1 ? a2 , ?3 2 ?



? a1 ? a2 ?? a1a2 ? 1?
a1a2

? 0 ,即 g ? a1 ? ? g ? a2 ? ? 0 .
?1 1 ? ?1 ? ? 上单调递减. 任取 a3 , a4 ? ? ,1? ,且 a3 ? a4 , ?3 2 ? ?2 ?

∴ g ? a1 ? ? g ? a2 ? .∴函数 g ? a ? 在 ? ,

? ? ? ? 1 1 g ? a3 ? ? g ? a4 ? ? ? 9a3 ? ? 6 ? ? ? 9a4 ? ? 6 ? a3 a4 ? ? ? ?
?

? a3 ? a4 ?? 9a3 a4 ? 1? .
a3 a4
∴ a3 ? a4 ? 0, a3 a4 ? 0,9a3 a4 ? 1 ? 0 .

∵ a3 , a4 ? ? ,1? ,且 a3 ? a4 , ?2 ? ∴

?1 ?

? a3 ? a4 ?? 9a3 a4 ? 1?
a3 a4

? 0 ,即 g ? a3 ? ? g ? a4 ? ? 0 .
∴函数 g ? a ? 在 ? ,1? 上单调递增.

∴ g ? a3 ? ? g ? a4 ? .

?1 ? ?2 ?

当a ?

1 ?1? 1 时, g ? a ? 取得最小值,其值为 g ? ? ? , 2 ?2? 2

又g? ? ?

?1? ?3?

4 , g ?1? ? 4 . 3

∴函数 g ? a ? 的值域为 ? , 4 ? . ∵关于 a 的方程 g ? a ? ? t ? 0 有解等价于 t ? g ? a ? 有解 2 ∴实数 t 的取值范围为函数 g ? a ? 的值域. ∴实数 t 的取值范围为 ? , 4 ? . 2

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?


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