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:《任意角的概念和三角函数》课件_图文

1.1.1 任意角的概念

1、角的概念
初中是如何定义角的? 从一个点出发引出的两条射线构成的几 何图形. 角也可以看成是由一条射线绕着它的端

点旋转而成的。 初中学过的角的范围是:0? 至 360? 。

2.角的概念的推广
⑴“旋转”形成角 如图:一条射线由原来的 位置OA,绕着它的端点O按逆 时针方向旋转到另一位置OB, 就形成角α. 旋转开始时的射线OA叫做 角α的始边,旋转终止的射线 OB叫做角α的终边,射线的端 点O叫做角α的顶点.

B

O

A

⑵.“正角”与“负角”、“零角” 我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角 叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫 做负角,如图,以OA为始边的角α=210°, β=-150°,γ=660°,
2100
6600

-1500

特别地,当一条射线没有作任何旋转时,
我们也认为这时形成了一个角,并把这个角

叫做零角即零度角(0? ).此时零角的始边与
终边重合。 角的记法:角α或可以简记成∠α,或简

记为: α. 如∠α=-1500
, α=00, α=6600 等等……

⑶角的概念扩展的意义: 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; 如:?=210?, ?= ?150?, ?=660?. ② 角可以任意大; 实例:体操动作:旋转2周(360?×2=720?) 3周(360?×3=1080?) ③ 还有零角, 一条射线,没有旋转.

角的概念推广以后,它包括任意大小的正

角、负角和零角.
要注意,正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量,它的正负规定源于实际的需要,就 好象与正数、负数的规定一样,零角无正负,

就好象数零无正负一样.

用旋转来描述角,需要注意三个要素:
旋转中心、旋转方向和旋转量 (1)旋转中心:作为角的顶点. (2)旋转方向:旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种,这是一对意义相反的量,根 据以往的经验,我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示,那么许多问题就可以解 决了;

(3)旋转量:
当旋转超过一周时,旋转量即超过360? , 角度的绝对值可大于360? .于是就会出现 720? , - 540? 等角度.

3.象限角
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点,角的始边重合 于x轴的非负半轴,这样一来,角的终边落在第 几象限,我们就说这个角是第几象限的角。 (角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何 一个象限此时这种角称为:轴线角) 例如:30?、390?、?330?是第一象限角, 300?、 ?60?是第四象限角, 585?、1300?是第三象限角, 135 ? 、?2000?是第二象限角等

4.终边相同的角
⑴ 观察:390?,?330?角,它们的终边都与 30?角的终边相同. ⑵探究:终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)

个周角的和:
390?=30?+360?(k=1), ?330?=30??360? (k=-1)

30?=30?+0×360? (k=0), 1470?=30?+4×360?(k=4)
?1770?=30??5×360? (k=-5)

⑶ 结论: 所有与?终边相同的角连同?在内可以构 成一个集合:{β| β=α+k· 360? , k∈Z} 即:任何一个与角?终边相同的角,都可 以表示成角?与整数个周角的和。

所有与?终边相同的角连同?在内可 以构成一个集合: ⑷注意以下四点: {β| β=α+k·360? , k∈Z} ① k∈Z, 即:任何一个与角?终边相同的角,都 可以表示成角?与整数个周角的和。 K > 0,表示逆时针旋转, K < 0,表示顺时针旋转. ② ?是任意角;

③ k· 360? 与?之间是“+”号,如k· 360? -30? ,应 看成(-30? )+ k· 360? ; ④ 终边相同的角不一定相等,但相等的角,终 边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们 相差360? 的整数倍.

即:[00,3600)

例1. 在0? ~360? 范围内,找出与下列各角终边
相同的角,并判断它是哪个象限的角.

(1) -120? ;(2) 640? ;(3) -950? 12′.
解:⑴∵-120? =240? +(-1)×360? , ∴ -120? 的角与 240? 的角终边相同, 它是第三象限角. ⑵ ∵640? =280? +1 × 360? , ∴ 640? 的角与 280? 的角终边相同, 它是第四象限角.

例1. 在0? ~360? 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它是哪个象限的角.

(3) -950?12′.

⑶ 解:∵-950?12’=129?48’ +(-3)×360? , ∴- 950?12’的角与 129?48’的角终边相同, 它是第二象限角.

例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S,
并把S中在-360? ~720? 间的角写出来:

(1) 60? ;(2) -21? ;(3) 363? 14′.
解:(1) S={β| β=60? +k· 360? ,k∈Z }, S中在-360? ~720? 间的角是 0×360? +60? =60? ; -1×360? +60? =-300? ; 1×360? +60? =420? .

(2) S={β| β= -21?+k· 360? , k∈ Z } S中在-360? ~720? 间的角是 0×360? -21? =-21? ;
例2. 写出与下列各角终边相同的角 的集合S,并把S中在-360? ~720? 间的角写出来: (1) 60? ;(2) -21? ;(3) 363?14′.

1×360? -21? =339? ;
2×360? -21? =699? .

(3) S={β| β= 363?14’ +k· 360? , k∈ Z } S中在-360? ~720? 间的角是 0×360?+363?14’=363?14’; -1×360?+363?14’=3?14’; -2×360?+363?14’=-356?46’.

例3写出终边分别落在四个象限的角的集合.

? 终边落在坐 标轴上的情 形

+K · 360° 90 ° y

180°+K·360° o

+ K · 360 ° 0 ° x 或360°+ K · 360°

270° +K·360°

? 第一象限的角表示为 {?|k?360?<?< 90? + k?360?,k?Z}; ? 第二象限的角表示为 {?| 90? + k?360?<?<180? +k?360?,k?Z}; ? 第三象限的角表示为 {?| 180? + k?360?<?< 270? + k?360?,k?Z} ? 第四象限的角表示为 {?| 270? + k?360?<?< 360? + k?360?,k?Z}

例4、写出终边落在y轴上的角的集合.
+K · 360° y 90°

180°+K·360° o

+ K · 360 ° 0 ° x

270° +K·360°

? 例4解:终边落在y轴非负半轴和非正半轴上的角的集合分
别记为为S1,S2

? S1={β| β=90?+K?360?,K∈Z}
S2={β| β=270?+K?360?,K∈Z} ={β| β=90? +180? +K360? ,K∈Z} ={β| β=90? +(2K+1)?180? ,K∈Z} 即:S2={β| β=90? + 180? 的奇数倍} 同理S1={β| β=90? + 180?的偶数倍} 终边落在y轴上的角的集合为S=S1∪S2 S ={β| β=90?+K? 180? ,K∈Z}

课堂练习
1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是 否都是锐角?小于90? 的角是锐角吗?区间 (0? ,90? )内的角是锐角吗? 答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定 是锐角;小于90? 的角可能是零角或负角,故 它不一定是锐角;区间(0? ,90? )内的角是锐

角.

2、若90? <β<α<135? ,则α-β的范围是 __________,α+β的范围是___________;

3、若β的终边与60? 角的终边相同,那么在 ? [0? ,360? )范围内,终边与角 的终边相同的
3

角为______________;

4.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边
落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并

指出它们是哪个象限的角?
(1)420? ,(2) -75? ,(3)855? ,(4) -510? . 答:(1)第一象限角; (2)第四象限角,

(3)第二象限角,
(4)第三象限角.

? 1、角度制的定义

1 ? 规定周角的 为1度的角这种用度做单位来度量角的制 360
度叫角度制。





l

R

2、弧长公式及扇形面积公式

n π R l= ——— 180

2 n π R S= ——— 360

1、弧度制
? 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。

设弧AB的长为l, l 若l=r,则∠AOB= =1 弧度

B l=r
1弧度

r

O

r

A

若l=2r,

若l=2 π r,
l =2 弧度 l r 则∠AOB= =2π弧度 r
l=2r
l=2 π r
2π弧度

则∠AOB=

B
2弧度

O r

A

O

r

A(B)

若圆心角∠AOB表示一个负角,且它 所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度 数的绝对值是 l = 3,

r

l = -3弧度 即∠AOB=- r
O
B

r

A

-3弧度
l=3r

由弧度的定义可知:

定 义 的 合 理 性

圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。

B
B O

l=R
A

l=r 1弧度 A r R

1弧度

的与 一半 个径 比长 值无 关

一般地,我们规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度数的绝 对值:

︱ α︱ =

l r

其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。

2、弧度与角度的换算
若l=2 π r,
l 则∠AOB= = 2π弧度 r
l=2 π r

O

r

A(B)

此角为周角 即为360°

360°= 2π 弧度 180°= π 弧度

由180°= 1° = 180

π 弧度 还可得

π —— 弧度 ≈ 0.01745弧度 π

180 1弧度 =(——)°≈ 57.30°= 57°18′

3、圆的弧长公式及扇形面积公式 由︱α︱=
l

l r


r
O
α

=︱α ︱r 1 S =— l r 2 1 =— ︱ α ︱ r2 2

l

8cm, 面积为 4cm , 例 已知扇形的周长为
2

求该扇形的圆心角的弧 度数.
R, 弧长为 L, 则由 解 : 设扇形半径为 L 2R ? L ? 8
1 LR ? 4 2

?

R

解得 R ? 2 L ? 4 故该扇形的圆心角 ?的弧度数为
L 4 ?2 ?? ? R 2

4、用弧度来度量角,实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系:
正角 正实数 对应角的 弧度数

零角
负角


负实数

角的集合

实数集R

练习 如图 ,已知角的终边区域 , 求出角的范围 .
y

0 (1) y

45

0

x?

?? | 2?? ? ?

?
4

? ? ? 2?? ?

?
2

? (? ? ?)? ?

0 (2)

45

0

x

? ? ? ?? | ?? ? ? ? ? ?? ? 4 2 ?

? (? ? ?)? ?

练习 已知

则:

A ? B ? ?? | ?6 ? ? ? ??, 或0 ? ? ? ??

A ? ?? | 2?? ? ? ? (2k ? 1) ? ( ? ? ?)? B ? ?? | ?6 ? ? ? 6?

解 : 如图
? 2? ? 6

??

0

?

6 2?

当? ? ?2,?3,?时, 或当? ? 1,2,?时, 已 超 出 ( ?6,6)的范围 .

小结:
1、量角的制度:角度制与弧度制 弧度制除了使角与实数有一一对应关系外, 为以后学习三角函数打下基础。
2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 3、弧长公式:

l ? ? ?r

1 1 2 扇形面积公式: S ? lr ? r ? 2 2 ? ? (其中 为圆心角 所对的弧长, 为圆心角的弧度数 ) l

写出满足下列条件的角的集合(用弧度制):

1、 终边与X轴正半轴重合;
2、 终边与X轴负半轴重合; 3、 终边与X轴重合;

?? | ? ? 2?? (? ? ? )? ?? | ? ? 2?? ? ? (? ? ? )?

? ? ?? | 2? ? ? ? ? 2? ? ? 2 7、第一象限内的角; ? ? ? ? | 2?? ? ? ? ? 2?? ? ? 8、第二象限内的角; ? 2 ? 3? ? ?? | 2?? ? ? ? ? ? 2?? ? 2 9、第三象限内的角; ? 3? ? ? | 2 ?? ? ? ? ? 2?? ? 2? 10、第四象限内的角; ? 2 ?

(? ? ? )? ? ? ? ? | ? ? 2 ?? ? ( ? ? ? ) ? ? 4、 终边与Y轴正半轴重合; 2 ? ? 3? ? ? ? | ? ? 2 ?? ? ( ? ? ? ) ? ? 5、 终边与Y轴负半轴重合; 2 ? ? ? ? ? (? ? ? )? ? ? | ? ? ?? ? 6、 终边与Y轴重合; 2 ? ?

?? | ? ? ? ? ?

? (? ? ? )? ? ? (? ? ? )? ? ? (? ? ? )? ?
? (? ? ? )? ?

任意角的三角函数(1)

温故而知新
在直角三角形中锐角A的三角函数定义
B

BC a ? sin A ? AB c b AC cos A ? ? AB c BC a tan A ? ? AC b

斜边c

对 边 a
C

A

邻边b

单击图标 .操作几何画板 , 思考几个问题引出定义 .

三角函数的定义:a的终边 如图:设 是一个 任意角,它的终边 与单位圆交于点 P(x,y),那么:

y

?

P(x,y)
1

P(x,y)

a

O
M

A(1,.0)

x

(1)y叫做? 的正弦,记作sin ?,即 sin ? ? y (2)x叫做? 的余弦,记作cos?,即 cos? ? x y y (3) 叫做? 的正切,记作tan ?,即 tan ? ? x x

定义:

其中r ?

x ? y ? x2 ? y 2 ? 0

2

2

y y ①比值 叫做? 的正弦,记作sin ? ,即 sin ? ? . r r

x x ②比值 叫做? 的余弦,记作cos?,即cos ? ? . r r

y ③比值 叫做 ? 的正切,记作tan ? ,即 tan ? ? x

y . x

我们把正弦、余弦,正切都看成是以角为自变量, 以比值为函数值的函数,以上三种函数统称三角函数.

三角函数是以实数为自变量的函数

实数 角 (其弧度数等于这个实数) 三角函数值 (实数)

几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?
0

?1
0
不存在

3? 2

2?

1
0

tanα

3 2 3 3

0

?1
0

0 1
0

1

3 不存在

例2 :已知角?的终边上有一点P ( ?3, ?4), 求 sin ? ,cos ? , tan ?的值. 解 :?点( P ? 3,-4)是角?终边上一点
? OP ? r ? (?3) ? (?4) ? 5
2 2

y 4 所以,sin ? ? ? ? r 5 x 3 cos ? ? ? ? r 5 y 4 tan ? ? ? x 3

练习3 :已知角?的终边上有一点 P ( ?12, 5), 求 sin ? ,cos ? , tan ?的值.

练习4 :已知角?的终边上有一点 P ( ?12a,5a )(a ? 0), 求 sin ? ,cos ? , tan ?的值.

解题分析:解决与三角函数的值有关的问题,定义是最

基本的方法,此题关键是确定 x的值.
例3:设α为第四象限角,其终边上的一个点是 P(x, ?), 5

cosα=

2 x 4 ,求sinα和tanα.

解:∵α为第四象限角,∴x>0,且r=√x2+5 则cosα ?
2 ? x 解得x=√3 2 4 x ?5 15 10 故sinα= ? tanα= ? 3 4 x

∴r=√8

【解题回顾】容易出错的地方是得到x2=3后,不考虑P点所 在的象限,分 x取值的正负两种情况去讨论,一般地,在解 此类问题时,可以优先注意角α所在的象限,对最终结果作 一个合理性的预测

小结:
任意角的三角函数
sinα cosα tanα
y tan ? ? x
? ? ? ?? ? ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y x 定义 sin ? ? cos ? ? r r
定义域

R

R

你记住了吗?

几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?
0

?1
0
不存在

3? 2

2?

1
0

tanα

3 2 3 3

0

?1
0

0 1
0

1

3 不存在


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