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间接证明课时作业 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-2

高中数学 第 2 章 推理与证明 2.2.2 间接证明自主练习 苏教版选 修 2-2 我夯基 我达标 1.设 a、b 是异面直线,在 a 上任取两点 A1、A2,在 b 上任取两点 B1、B2,试证:A1B1 与 A2B2 也是异面直线. 思路解析:证明异面直线常用反证法. 证明:假设 A1B1 与 A2B2 不是异面直线, 则 A1B1 与 A2B2 确定一个平面 α . ∴A1、B1、A2、B2∈α . ∴A1A2 ? α ,B1B2 ? α , 即 a ? α ,b ? α . ∴a、b 共面于 α ,与 a、b 是异面直线矛盾. ∴假设不成立.∴A1B1 与 A2B2 也是一异面直线. 2.设 a、b、c 都是正数,则三个数 a ? A.都大于 2 C.至少有一个不小于 2 思路解析: (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? 1 1 1 ,b ? ,c ? ( b c a ) B.至少有一个大于 2 D.至少有一个不大于 2 1 b 1 c 1 1 1 1 ) ? (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ≥2+2+2=6, 当且仅当 a a b c a=b=c=1 时取“=”. 答案:C 3.求证:一个三角形中至少有一个内角不小于 60°. 思路分析:“至少”问题可用反证法,根据三角形的内角之和为 180°解答. 证明:假设△ABC 的三个内角 A、B、C 都小于 60°,即∠A<60°,∠B<60°,∠C<60°, 相加得∠A+∠B+∠C<180°. 这与三角形内角和定理矛盾,∴∠A、∠B、∠C 都小于 60°的假定不能成立. ∴一个三角形中,至少有一个内角不小于 60°. 4.如图 2-2-3 所示,在△ABC 中,AB>AC,AD 为 BC 边上的高线,AM 是 BC 边上的中线,求 证:点 M 不在线段 CD 上. 图 2-2-3 思路分析:点 M 不在线段 CD 上不易证出,可假设 M 在线段 CD 上,用反证法证明. 证明:假设 M 在线段 CD 上,则 BD<BM=CM<CD, 2 2 2 2 2 2 且 AB =BD +AD ,AC =AD +CD . 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴AB =BD +AD <BM +AD <CD +AD =AC , 2 2 即 AB <AC ,AB<AC. 这与 AB>AC 矛盾, ∴点 M 不在线段 CD 上. 5.求证:若 a≥b>0,n 为正整数,且 n≥2,则 n a ≥ n b . 思路分析:开方不易运算,可转为乘方运算. 证明:假设 n a ? n b ,则 (n a ) n ? (n b ) n , 即 a<b.这与 a≥b>0 矛盾, ∴ n a ≥ n b 成立. 6.设正实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,则 a、b、c 中至少有一个数不小于______________. 思路解析:假设 a、b、c 中至少有一个数不小于 x 的反命题成立. 假设 a、b、c 都小于 x,即 a<x,b<x,c<x, ∴a+b+c<3x. ∵a+b+c=1,∴3x>1. 1 1 ,若取 x= 就会产生矛盾. 3 3 1 答案: 3 ∴x> 我综合 我发展 7.下列命题错误的是( ) A.三角形中至少有一个内角不小于 60° B.四面体的三组对棱都是异面直线 C.闭区间[a、b]上的单调函数 f(x),至多有一个零点 D.设 a、b∈Z,若 a+b 是奇数,则 a、b 中至少有一个是奇数 思路解析:逐一用反证法判断. 答案:D 8.平面上有四个点,没有三点共线,证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形. 思路分析:命题的结论是以否定形式给出,宜采用反证法. 证明:假设以每三个点为顶点的四个三角形都是锐角三角形.记这四个点为 A、B、C、D,考 虑点 D 在△ABC 之内或之外两种情况: (1)如果点 D 在△ABC 之内,由假设围绕点 D 的三个角都是锐角,其和小于 270°,这与一个 周角等于 360°矛盾. (2)如果点 D 在△ABC 外, ∵∠A、∠B、∠C、∠D 都小于 90°与四边形 ABCD 的内角和为 360°相矛盾. 综上,假设不成立, ∴原结论成立. 2 9.已知 f(x)=x +px+q. (1)求证:f(1)+f(3)-2f(2)=2; s(2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 1 . 2 思路分析:本题可用反证法,借助第(1)问的结论得到矛盾. 证明:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2. (2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 12 不成立. 则假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于 1 . 2 则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)| < 2. |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2. 与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2 相矛盾,故假设不成立. ∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 而 1 . 2

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