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2017届高考数学一轮总复习第四章三角函数平面向量与复数第17讲任意角的三角函数同角公式与诱导公式课件文_图文

第四章

三角函数、平面向量与复数

1.三角函数

2.平面向量

3.复数

第17讲 任意角的三角函数、 同角公式与诱导公式

【学习目标】 1.了解任意角的概念,弧度制的概念,能进行弧度与 角度的互化. 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 3.掌握同角三角函数的基本公式. 4.掌握正弦、余弦的诱导公式.

【基础检测】 1.若 cos θ >0,且 sin 2θ <0,则角 θ 的终边所在的象 限是( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】由cos θ>0,可得θ的终边所在象限为一或 四,由sin 2θ<0,可得sin θ<0,θ的终边所在象限为三 或四,∴角θ的终边所在的象限为第四象限.

2.如果一扇形的弧长为 2π cm,半径等于 2 cm, 则扇形所对圆心角为( B ) π 3π A.2π B.π C. D. 2 2 2π 【解析】由 l=αr 得,α= =π,故扇形所 2 对的圆心角为π.

? π? 1 ? ? 3.若 cos α = , 且 α 是第四象限角, 则 cos?α+ ? 5 2? ? 2 6 = 5 . 1 【解析】 ∵cos α= 且 α 是第四象限角, ∴sin α 5 ? π? 2 6 2 6 ? ? =- ,根据诱导公式 cos?α+ ?=-sin α= . 5 5 2 ? ?

4.已知角 α(0≤α<2π )的终边过点 11π ? 2π 2π ? ? ? 6 P?sin , 则 α = . ,cos ? 3 3 ? ?
2π 1 cos - 3 2 3 【解析】∵tan α= = =- , 3 2π 3 sin 2 3 2π 2π 且 sin >0,cos <0,∴α在第四象限. 3 3 11π 又 α∈[0,2π),∴α= . 6

【知识要点】 1.角的概念 (1)正角、负角和零角 按逆时针方向旋转而成的角叫做正角;按顺时针 方向旋转而成的角叫做负角;当一条射线没有作任何 旋转时所成的角叫做零角. (2)象限角 角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴正半 轴重合,角的终边落在第几象限,就把这个角称作第 几象限角. 角的终边落在坐标轴上,称为轴线角,这个角不 属于任何象限.

(3)终边相同的角 所有与 α 角终边相同的角, 连同 α 角在内(而且只有 这样的角),可以用式子 k· 360°+α,k∈Z 或 2kπ +α, k∈Z 表示. 2.弧度制 (1)概念:把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫 做 1 弧度的角,它的单位符号是 rad,记作弧度. (2) 扇形的弧长与面积公式:半径为 r ,中心角为 1 1 α(rad)的扇形的弧长为 l=|α|r;面积为 S= lr= |α |r2. 2 2 (3)角度制与弧度制的关系 π rad= 180° ; π 1°= 弧度; 180 ?180? ? 1 弧度=? ? π ?°≈57.30°=57°18′. ? ?

3.任意角的三角函数 (1)三角函数的定义 设 P(x,y)是角 α 终边上任一点,且|PO|=r(r>0), y y x 则有 sin α = r ; cos α = r ; tan α = x . 它 们都是以 角 为自变量,以 比值 为因变量的函数. (2)三角函数在各象限内的符号口诀是: 一全、二 正弦、三切、四余弦 .

(3)三角函数线 三角函数线是三角函数的一种几何 表示,即用如图所示的有向线段 MP, OM,AT 分别表示角 α 的正弦、余弦、 正切即正弦线、余弦线、正切线.要 注意的是当 α 在第二、三象限时, α 角的终边与过 A 的切线不相交,因而正切线中的 T 是 其终边的反向延长线与过 A 的切线交点.

(4)三角函数的定义域,值域 y=sin α, y=cos α的定义域是R , 值域是 [-1,1] .
? ? ? ? π ?α ∈R|α≠kπ + ,k∈Z? ? ? 2 ? ?, 的定义域是__________________________

y=tan α R . 值域是____

4.同角三角函数的基本关系 ( 1) 平方关系:

sin α+cos α=1.

2

2

(2)商数关系:

sin? tan? = cos?



5.诱导公式 (1)2kπ+α(k∈Z),-α,π±α,2π-α 的三角函数等 于α的 同名 三角函数值,前面加上一个把α看成 锐 角 时原函数所在象限的符号. π 3π (2) ±α, ±α的三角函数值等于α的 互余 函数值, 2 2 前面加上一个把α看成锐角时原函数所在象限的符 号.记忆方法为: 奇变偶不变,符号看象限 ? ? π ?注:奇、偶指 的奇数倍或偶数倍?. 2 ? ? .

(3)化任意角的三角函数为锐角三角函数,其一般步骤 是“去负——脱周——化锐” , 也可简记为:负化正,大化小,化到锐角再查表. (4)sin(2kπ+α)= sin ? , cos(2kπ+α)= cosα , (k∈Z) sin(π-α)= sin ? , cos(π-α)= -cosα , sin(π+α)= -sinα, cos(π+α)= -cosα , sin(2π-α)= -sinα , cos(2π-α)= cosα , sin(-α)=-sinα , cos(-α)= cosα ,

?π ? ? ? sin? -α?= ?2 ? ?π ? ? ? sin? +α?= ?2 ? ?3π ? ? ? sin? -α?= ? 2 ? ?3π ? ? sin ? +α? = ? ? 2 ? ?3π ? ? cos ? +α? ?= ? 2 ?

cosα cosα

-cosα

?π ? ? ? , cos? -α?= ?2 ? ?π ? ? ? , cos? +α?= ?2 ? ?3π ? ? ? , cos? -α?= ? 2 ?

sinα



-sinα, -sinα,

-cosα,
sinα


6.si n α+cosα,si n αcos α,si nα-cosα 三者之间的联系
2 ( si nα+cosα) =1+2si nαcosα, 2 ( si nα-cosα) = 1-2sin αcosα 2 2 ( si nα+cosα) +( si nα-cosα) =2, 2 2 ( si nα+cosα) -( si n α-cosα) = 2sin 2α .



一、利用三角函数线解题 例1(1)在(0,2π )内使 sin x>cos x 成立的 x 的取值 ?π 5π ? ? ? , ?4 ? 4 ? ? . 范围是 (2)已知 sin α >sin β ,那么下列命题成立的是( D A.若 α、β 是第一象限的角,则 cos α >cos β B.若 α、β 是第二象限的角,则 tan α >tan β C.若 α、β 是第三象限的角,则 cos α >cos β D.若 α、β 是第四象限的角,则 tan α >tan β

)

【解析】(1)由三角函数定义结合三角函数线知, 在(0,2π)内,使 sin x>cos x 成立的 x 的取值范围为 ?π 5π? ? ? ? 4 , 4 ?. ? ? (2)画出单位圆及角 α,β 的正弦线,余弦线、正切 线.

由图①知,sin α=MP>NQ=sin β,cos α= OM<ON=cos β, 排除 A; 由图②知, sin α=NQ>MP =sin β,tan α=AT2<AT1=tan β,排除 B;由图 ③知,sin α=MP>NQ=sin β,cos α=OM<ON= cos β, 排除 C; 由图④知, sin α=MP>NQ=sin β, tan α=AT1>AT2=tan β,故选 D.

二、利用诱导公式化简求值 例 2 已知 α 是第三象限角,且 f(α)=
? 3π ? tan(π-α)cos(2π-α)sin?-α+ 2 ? ? ? ? ?

cos(-α-π )tan(-π-α) (1)化简 f(α); ? 3π ? ? ? 1 (2)若 cos?α- ?=5,求 f(α)的值; 2 ? ? (3)若 α=-1 860°,求 f(α)的值.

.

【解析】(1)f(α)=

= cos(-α-π)tan(-π-α) -tan αcos α(-cos α) =cos α. -cos α(-tan α) ? 3π? 1 1 ? ? 1 (2)∵cos?α- = ,∴-sin α= ,∴sin α=- , ? 5 5 2 ? 5 ? 2 6 又 α 是第三象限角,∴cos α=- ,∴f(α)=cos α 5 2 6 =- . 5

? 3π? ? ? tan(π-α)cos(2π-α)sin?-α+ 2 ? ? ?

(3)∵α=-1 860°=-360° ?5-60° , ∴cos α=cos(-1 860° )=cos(-60° )=cos 60° = 1 . 2 1 ∴f(α)= . 2
【点评】应用诱导公式时,注意符号的确定原则 是视 α 为锐角, 符号是定形前的三角函数的象限符号.

三、利用同角三角函数公式化简、求值 例 3 已知 tan α =7,求值: sin α +cos α (1) ; 2sin α -cos α (2)sin2α +sin α cos α +3cos2α .
【解析】(1)已知 tan α=7,所以 cos α≠0,所以 sin α cos α + cos α cos α sin α+cos α tan α+1 = = = 2sin α-cos α sin α cos α 2tan α-1 2 - cos α cos α 7+ 1 8 = . 2?7-1 13

(2)sin2 α + sin α cos α + 3cos2 α = sin2α+sin αcos α+3cos2α sin2α+cos2α sin2α sin αcos α 3cos2α + + cos2α cos2α cos2α = sin2α cos2α + 2 2 cos α cos α tan2α+tan α+3 72+7+3 59 = 2 = . 2 50 tan α+1 7 +1

【点评】形如 asin α+bcos α和 asin2α+ bsin αcos α+ccos2α的式子分别称为关于 sin α, cos α的一次齐次式和二次齐次式, 对涉及它们的三 角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.

四、运用“sin α±cos α”与“sin αcos α” 的关系求值 1 2 例 4 已知 sin θ 和 cos θ 是方程 x - mx+ =0 m 的两个根,求实数 θ 和 m 的值.
?sin θ+cos θ= m,??① ? 【解析】? 1 sin θ·cos θ= ,??② ? m ? 由①平方得 2sin θ·cos θ=m-1.??③ 1 m- 1 由②,③得 = . m 2

即 m2-m-2=0. 解得 m=-1 或 m=2. 因为 m>0,所以应取 m=2. 4 2 当 m=2 时,Δ=( m) - =0,因此,m=2 符 m 合条件. 将 m=2 代入①得,sin θ+cos θ= 2, ? π? ? 变形得 2sin?θ+ ? ?= 2, 4 ? ? ? π? ? 即 sin?θ+ ? ?=1. 4 ? ? π π π 由此得 , θ+ = 2k π+ , 即 θ = 2k π+ 4 2 4 (k∈Z).

因此, 所求的满足条件的 m 和 θ 的值分别是 m= π 2,θ=2kπ+ (k∈Z). 4 1 或由 sin θ+cos θ= 2,sin θ·cos θ= 得 2 sin θ-cos θ=0, π 2 ∴sin θ=cos θ= ,∴θ=2kπ+ (k∈Z). 2 4

〔备选题〕 例 5 是否存在角 α, β, α β ∈ (0 , π ) , 使等式 sin(3 π - α) =

? π π? ? ? ∈?- , ?, 2 2? ? ?π ? ? 2cos ? -β? ?, ?2 ?

3cos(-α)=- 2cos(π +β)同时成立?若存在, 求出 α,β 的值;若不存在,请说明理由.

【解析】假设存在角 α,β满足条件,则 ? ?sin α= 2sin β,??①
? ? ?

3cos α= 2cos β,??② 由①2+②2 得 sin2α+3cos2α=2, ? π π? 1 2 ? ? 2 ∴cos α= ,又 α∈?- , ?,∴cos α= , 2 2 2 2? ?

π π 即 α= 或- . 4 4 π π 3 当 α= 时 , cos β= , 又 β∈(0, π), ∴β= ; 4 2 6 π 3 当 α=- 时,cos β= , 4 2 π ∴β= ,此时①式不成立,舍去. 6 π π ∴存在 α= ,β= 满足条件. 4 6

【点评】(1)当角的象限不确定时,要分类讨论. (2)已知三角函数值求角时,要注意角的范围.

1.化简过程中,利用同角三角函数的关系可将不 同名的三角函数化成同名三角函数. 2.运用诱导公式 ,可将任意角的求值问题转化成 锐角的求值问题. 3.注意“1”的作用,如 1=sin2θ +cos2θ 等. 4.化简三角函数式时,要注意观察式子的特征 , 如关于 sin θ ,cos θ 的齐次式可转化为 tan θ 的式 子. 5.解题时要充分挖掘题目条件中隐含的条件 ,尽 可能缩小角的范围.

(2015 广东)已知 tan α =2. ? π? ? (1)求 tan?α+ ? ?的值; 4 ? ? sin 2α (2)求 2 的值. sin α +sin α cos α -cos 2α -1
π tan α+tan ? ? 4 π ? ? 【 解 析 】 (1)tan ?α+ ? = = 4 π ? ? 1-tan αtan 4 2+ 1 =-3. 1-2?1

sin 2α (2) 2 sin α+sin αcos α-cos 2α-1 2sin αcos α = 2 sin α+sin αcos α-2cos2α 2tan α 2? 2 = 2 = =1. tan α+tan α-2 4+2-2

1.cos(-2 010°)=( B ) 3 3 A. B.- 2 2 1 1 C. D.- 2 2

【 解 析 】 cos( - 2 010 ° ) = cos 2 010 ° = cos(5?360°+210°)=cos 210°=cos(180°+30°) 3 =-cos 30°=- . 2

2. 1-2sin 2cos 2等于( A ) A.sin 2-cos 2 B.cos 2-sin 2 C.±(sin 2-cos 2) D.sin 2+cos 2
【解析】∵sin 2>0,cos 2<0, ∴ 1-2sin 2cos 2= (sin 2-cos 2)2=sin 2- cos 2.

3.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2, 则 这个圆心角所对的弧长是( B ) 2 A.2 B. sin 1 C.2sin 1 D.sin 2
【解析】∵弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 1 1 1 2 2,∴sin 1= ,即 r= ,∴l=|α|r=2· = . r sin 1 sin 1 sin 1

4.已知点 P(sin α -cos α ,tan α )在第一象限, 则在[0,2π ]内,α 的取值范围是( B ) ?π ? 5π ? 3 ? ? ? ? ? A.? , π ?∪?π , 4 ? ? 4 ? ?2 ? ?π ? π? 5π ? ? ? ? ? B.? , ?∪?π , 2? ? 4 ? ?4 ? ?π ? 3 ? 3 ? ? ? ?5π ? C.? , π ?∪? , π ? 4 ? ? 4 2 ? ?2 ?π ? π? 3 ? ? ? D.? , ?∪?4π ,π ? 2? ? ? ?4
【解析】点 P 在第一象限,故其纵坐标 tan α>0, 因此 α 是第一、三象限角,而 A、C、D 的取值范围中 皆含有第二象限角,故排除 A、C、D.

1+ 3 - 2 =

3π 5.已知 tan α = 3,π <α < ,则 cos α +sin α 2 .

【解析】解法一:由已知得:α 是第三象限角, 1 3 ∴cos α=- ,sin α=- , 2 2 1+ 3 ∴cos α+sin α=- . 2

6.若角 α 的终边上有一点 P(-4,a),且 sin α ?cos α = 3 ,则 a 的值为 4

4 -4 3或- 3 3

.

【解析】 根据三角函数的定义, sin α=

a cos α 2, 16+a

-4 -4a 3 = ,所以解得:a 2= 2,所以根据已知条件, 4 16+a 16+a 4 =-4 3或- 3. 3

3π 解法二:∵tan α= 3,π<α< , 2 4π ∴α= . 3 3 1 ∴sin α=- ,cos α=- , 2 2 1+ 3 ∴cos α+sin α=- . 2

7.已知函数 f(x)= sin(π-x)cos(2π-x)tan(-x+π ) . tan(π+x)sin(-π-x) (1)化简 f(x)的表达式; ? 7π ? ? ? 1 (2)若 α 是第三象限角,且 cos?α- 求 f(α)的值. ?=5, 2 ? ?
sin x·cos x·(-tan x) 【解析】(1)f(x)= tan x·[-sin(π+x)] sin x·cos x =- =-cos x. sin x ? ?7π ? 7π? 1 ? ? ? ? (2)∵cos?α- = cos =- sin α= , ? ? 2 -α? 5 2 ? ? ? ? 1 ∴sin α=- ,又 α 是第三象限角. 5 2 6 ∴cos α=- 1-sin2α=- . 5 2 6 ∴f(α)=-cos α= . 5

1 8.已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 ?3π ? ?π ? ? ? ? (1)求 sin? -A?· cos? +A? ?的值; ? 2 ? ?2 ? (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形. 1 【解析】(1)∵sin A+cos A= ,① 5 1 1 2 ∴(sin A+cos A) = ,即 1+2sin Acos A= , 25 25 12 ∴sin Acos A=- . 25 ?3π ? ?π ? ? ? ∴sin? -A?cos?2+A?=(-cos A)(-sin A) ? ? ? 2 ? 12 =sin Acos A=- . 25

12 (2)∵sin Acos A=- <0 且 0<A<π, 25 ∴A 为钝角,故△ABC 为钝角三角形.


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