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【数学】2011高考二轮复习数学学案(3)立体几何

立体几何初步
【学法导航】 稳定中有所创新,由知识立意转为能力立意 (1) 考查重点及难点稳定:高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的 平行与垂直的性质与判定,以及求线面角、 二面角等知识都是重点考查的内容, 其中线线角、 线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡,始终以中等偏难为主。实行新课程 的高考, 命题者在求稳的同时注重创新高考创新, 主要体现在命题的立意和思路上注重对学 生能力的考查 (2)空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解答题的考查形式仍要注重在一 个具体立体几何模型中考查线面的关系 (3)使用, “向量”仍将会成为高考命题的热点,一般选择题、填空题重在考查向量的概 念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中,建立空间直角坐标系,以向量为工具, 利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题,比用传 统立体几何的方法简便快捷,空间向量的数量积及坐标运算仍是 2010 年高考命题的重点 (4)支持新课改,在重叠部分做文章,在知识交汇点处命题 【典例精析】 1, 空间几何体及三视图 例 1.用一些棱长为 1cm 的小正方体码放成一个几何体,图 1 为其俯视图,图 2 为其主视图 3 则这个几何体的体积最大是 7 cm .

图 1(俯视图)

图 2(主视图) ▲ .

例 2.一个多面体的直观图及三视图如图所示, 则多面体 A ? CDEF 的体积为

8 3

例 4.右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图, 这些相同的小正方体共有▲ 例 5.如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm),

个. 5

则此几何体的表面积是 20 ? 4 2

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cm2 。
2 1 2 主视图 主视图 2
俯视图

左视图

左视图

俯视图

例 6.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则四面 体 ABCD 的外接球的体积为

125 ? 6

例 7.一个几何体的三视图中,正视图和侧视图都是矩形, 俯视图是等腰直角三角形 (如图) ,根据图中标注的长度, 可以计算出该几何体的表面积是 2.平行与垂直 例 8.已知: 正方体 ABCD-A1B1C1D1 , E 为棱 CC1 AA1 =2 , 的中点. ⑴求证: B1D1 ? AE ; ⑵求证: AC // 平面 B1DE ;⑶求三棱锥 B1 ? ADE 的体积 证明:连结 BD ,则 BD // B1D1 , ∵ ABCD 是正方形,∴ 12+4 2 .

AC ? BD . ∵ CE ? 面 ABCD ,∴ CE ? BD . 又 AC ? CE ? C ,∴ BD ? 面 ACE .
∵ AE ? 面 ACE ,∴ BD ? AE , ∴ B1D1 ? AE . ⑵证明:作 BB1 的中点 F,连结 AF、CF、EF . ∵ E、F 是 CC1、BB1 的中点,∴ CE

B1F , ∴四边形 B1FCE 是平行四边形,∴ CF// B1 E . ∵ E , F 是 CC1、BB1 的中点,∴ EF //BC ,
又 BC // AD ,∴ EF // AD . ∴四边形 ADEF 是平行四边形,? AF // ED , ∵ AF ? CF ? C , B1E ? ED ? E , ∴平面 ACF // 面 B1DE .

第 2 页 共 19 页

又 AC ? 平面 ACF ,∴ AC // 面 B1DE 例 9. 多 面 体 ABCDE 中 , AB ? BC ? AC ? AE ? 1 , CD ? 2 , AE ? 面ABC ,

AE // CD 。
(1)求证: AE // 面BCD ; A (2)求证: 面BED ? 面BCD 证明: (1)∵ AE // CD B C

E D

AE ? 面BCD
∴ AE // 面BCD

(2)令 BC 中点为 N , BD 中点为 M ,连结 MN 、 EN ∵ MN 是 ?BCD 的中位线 ∴ MN // CD 又∵ AE // CD ∴ AE // MN ∴ MN ? 面ABC ∴ MN ? AN ∵ ?ABC 为正 ? ∴ AN ? BC ∴ AN ? 面BCD 又∵ AE ? MN ? 1 , AE // MN ∴四边形 ANME 为平行四边形 ∴ EN ? 面BCD ∴ 面BED ? 面BCD B

E A M N C D

例 10.如图四边形 ABCD 是菱形, PA ? 平面 ABCD , Q 为 PA 的中点. 求证: ⑴ PC ∥平面 QBD ; ⑵ 平面 QBD ? 平面 PAC . P Q A O B C D

AC ? BD=0 ,连 OQ 解:证:设 ⑴ ∵ ABCD 为菱形, ∴ O 为 AC 中点,又 Q 为 PA 中点。 ∴ OQ ∥ PC
又 PC ? 平面QBD ,

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OQ ? 平面QBD ∴ PC ∥ 平面QBD
⑵ ∵ ABCD 为菱形, ∴ BD ? AC ,

又∵ PA ? 平面ABCD , BD ? 平面ABCD ∴ PA ? BD 又

PA ? AC ? D

∴ BD ? 平面PAC 又 BD ? 平面QBD

∴ 平面QBD ? 平面PAC 3.距离与角

例 11 . 已知 ?ABC 和?DBC 所在 的 平面互 相垂 直, 且A B=B C= BD,
?CBA ? ?DBC ? 1200 ,求:
A

⑴.直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小; ⑵.直线 AD 与直线 BC 所成角的大小; ⑶.二面角 A-BD-C 的余弦值. ⑴如图,在平面 ABC 内,过 A 作 AH⊥BC,垂足为 H,
则 AH⊥平面 DBC,∴∠ADH 即为直线 AD 与平面 BCD 所成的角

H D

R

B

C

由题设知△AHB≌△AHD,则 DH⊥BH,AH=DH,∴∠ADH=45° ⑵∵BC⊥DH,且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影, ∴BC⊥AD,故 AD 与 BC 所成的角为 90° ⑶过 H 作 HR⊥BD,垂足为 R,连结 AR,则由三垂线定理知,AR⊥BD,故∠ARH 为二面角 A—BD—C 的平面角的补角 在△HDB 中,HR= 设 BC=a,则由题设知, AH=DH=
3 a a, BH ? , 2 2

3 AH a,∴tanARH= =2 4 HR

故二面角 A—BD—C 的余弦值的大小为 ?

5 5

【点评】:本题着眼于让学生掌握通性通法。几何法在书写上体现: “作出来、证 出来、指出来、算出来、答出来”五步。斜线和平面所成的角是一个直角三角形 所成的锐角, 它的三条边分别是平面的垂线段、 斜线段及斜线段在平面内的射影。 因此求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直 角三角形求解; 向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量, 设 ? 为直线 l 与 l 平面 ? ? 所成的角, ? 为直线 的方向向量 与平面 的法向量 之间的夹角,则 v n ? ? n 有 ? ? ? ? 或 ? ? ? ? (如图) v v 2 2
ω θ α
α l l ? ? ? 或 l // ? 。 特别地 ? ? 0 时, ? ? , l ? ? ; ? ? 时, ? ? 0 , l ? n 2 2 ⑴用两面垂直的性质作垂线,找垂足的位置作出线面角,⑵利用三垂线定理证, θ ω

⑶利用对称性定义法作二面角 【变式与拓展】如图,BCD 是等腰直角三角形,斜边 CD 的长等于点 P 到 BC 的距 离,D 是 P 在平面 BCD 上的射影. B ⑴.求 PB 与平面 BCD 所成角;

C
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D P

⑵.求 BP 与平面 PCD 所成的角. 【解法】 ⑴. PD⊥平面 BCD,∴BD 是 PB 在平面 BCD 内的射影, ∴∠PBD 为 PB 与平面 BCD 所成角,BD⊥BC, 由三垂线定理得 BC⊥BD,∴BP=CD,设 BC=a, 则 BD=a,BP=CD= 2 a∴在 Rt△BPD 中, cos∠DBP=
2 ∴∠DBP=45°, 即 PB 与平面 BCD 所成角为 45°. 2 2 a, BP= 2 a,∴∠ 2

⑵.过 B 作 BE⊥CD 于 E,连结 PE,PD⊥平面 BCD 得 PD⊥BE,∴BE⊥平面 PCD, ∴∠BPE 为 BP 与平面 PCD 所成的角,在 Rt△BEP 中,BE= BPE=30° 即 BP 与平面 PCD 所成角为 30°

例 12.在四棱锥 P-ABCD 中,已知 ABCD 为矩形,PA ⊥平面 ABCD,设 PA=AB=a, P BC=2a,求二面角 B-PC-D 的大小

A B C 解析 1.定义法 过 D 作 DE ⊥PC 于 E,过 E 作 EF ⊥PC 于 F,连接 FD,由二面 角的平面角的定义可知 ?DEF 是所求二面角 B-PC-D 的平面角。求解二面角 B-PC-D 的大小只需解△DEF 即可 P P E P
Q M N

D

G A D A B

F D

A B




D B

C

C

C

【解法一】过 D 作 DE ⊥PC 于 E,过 E 作 EF ⊥PC 于 F,连接 FD ,由二面角的平 解析二 解析三 解析一 面角的定义可知 ?DEF 是所求二面角 B-PC-D 的平面角 在四棱锥 P-ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD 且 ABCD 为矩形,∵AD⊥DC∴PD⊥DC PD ? DC 30a CD 2 6a ? ? ∵PA=a,AD=BC=2a,∴PD= 5a ,PC= 6a ,DE= ,CE= PC 6 CP 6 PB EF EC ? PB 3 ? EF ? ? a, 同理在 Rt△PBC 中, BC EC BC 6

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1 5 在 Rt△EFC 中,FC= a , 在 Rt△DFC 中,DF= a, 2 2 EF 2 ? ED2 ? DF 2 10 在△DEF 中由余弦定理 cos ?DEF = ?? 2 EF ? ED 5 10 所求二面角 B-PC-D 的余弦值为 ? 5 解析 2.垂面法 易证面 PAB⊥面 PBC, 过 A 作 AM ⊥BP 于 M, 显然 AM ⊥面 PBC, 从而有 AM ⊥PC,同法可得 AN ⊥PC,再由 AM 与 AN 相交与 A 得 PC ⊥面 AMN。设 面 AMN 交 PC 于 Q,则 ?MQN 为二面角 B-PC-D 的平面角;再利用三面角公式可解

【解法二】略 解析 3.利用三垂线求解 把四棱锥 P-ABCD 补成如图的直三棱柱 PAB-EDC,显 然二面角 E-PC-D 与二面角 D-PC-B 互补,转化为求二面角 E-PC-D。 易证面 PEDA ⊥PDC,过 E 作 EF ⊥ PD 于 F,显然 PF ⊥面 PDC,在面 PCE 内,过 E 作 EG ⊥PC 于 G,连接 GF,由三垂线得 GF⊥ PC 即 ?EGF 为二面角 E-PC-D 的 平面角,只需解△EFG 即可 P 解析 4.在面 PDC 内,分别过 D、B 作 DE ⊥PC 于 E, BF ⊥PC 于 F,连接 EF 即可。 利用平面知识求 BF、EF、DE 的长度, 再利用空间余弦定理求出 ? 即可 B
解析四



A


D C

【点评】.用几何法求二面角的方法比较多,常见的有: (1)定义法, 在棱上的点分别作棱的垂线,如解析1 (2)三垂线求解 ,在棱上的点分别作棱的垂线,如解析2 (3)垂面法, 在棱上的点分别作棱的垂线,如解析3 用几何法将二面角转化为其平面角, 要掌握以下三种基本做法: ①直接利用定义, 图(1).②利用三垂线定理及其逆定理,图 (2).最常用。③作棱的垂面,图(3).
A O M N ? ? P ? O A P ? A ? O

B

B ? 4.空间几何中的向量方法

例 13. 如下图,直棱柱 ABC—A1B1 C1 的底面△ABC 中,CA=CB=1 ,∠BCA=90°,棱 (1) (2) (3) AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点. (1)求 BN 的长; A1 C1 B1 (2)求异面直线 BA 与 1CB1 的余弦值; (3)求证:A1B⊥C1M. 【解法】 :∵AC⊥BC,CC1⊥面 ABC, A C ∴可以建立如图所示的坐标系
B

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z C1 A1
N M

B1

C A

B

y

x

(1)依题意得 B(0, 1,0) ,N(1,0,1) , ∴| BN |= (1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 = 3 . (2)A1(1,0,2) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0) ,B1(0,1,2) , ∴ BA1 =(1,-1,2),CB1 =(0, 1,2) ,BA1 〃CB1 =3,| BA1 |= 6 ,| CB1 |= 5 . ∴cos〈 BA1 , CB1 〉=
BA1 ? CB1 | BA1 | | CB1 |

=

30 . 10 30 10

所以,异面直线 BA 与 1CB1 的余弦值为
1 2 1 2

(3)证明:C1(0,0,2) ,M( , ,2) ,

A1 B =(-1,1,-2), C1 M =( 1 , 1 ,0) ,∴ A1 B 〃 C1 M =0,∴A B⊥C M.
2 2
1 1

【点评】 底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件, 可以用两点间的距离公式, 数量积的夹角公式,用坐标法求点点距、向量夹角。特别注意异面直线角的范围 ? (0, ],而向量角的范围为[0,π] 2 【变式与拓展】在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC= 13 ,

SB= 29 .
(1)求证:SC⊥BC; (2)求 SC 与 AB 所成角的余弦值.

S

A C

B

【解法一】 :如下图,取 A 为原点,AB、AS 分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系, 则有 AC=2,BC= 13 ,SB= 29 ,得 B(0, 17 ,0) 、S(0,0,2 3 ) 、C(2
4 17 13 , 17

,0) , SC =(2

13 13 4 13 , ,-2 3 ) , CB =(-2 , ,0). 17 17 17 17

第 7 页 共 19 页

z S

A x C

B

y

(1)∵ SC 〃 CB =0,∴SC⊥BC. (2)设 SC 与 AB 所成的角为α,∵ AB =(0, 17 ,0) ,SC 〃 AB =4,| SC ||
AB |=4 17 ,∴cosα=
17 ,即为所求. 17

【解法二】 : (1)∵SA⊥面 ABC,AC⊥BC,AC 是斜线 SC 在平面 ABC 内的射影, ∴SC⊥BC.
(2)如下图,过点 C 作 CD∥AB,过点 A 作 AD∥BC 交 CD 于点 D,连结 SD、SC,则∠SCD 为异面直线 SC 与 AB 所成的角 . ∵四边形 ABCD 是平行四边形, CD= 17 , SA=2 3 ,

SD= SA2 ? AD 2 = 12 ? 13 =5,∴在△SDC 中,由余弦定理得 cos∠SCD=

17 ,即为所求. 17

例 14.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD, PD ? DC ,E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA ∥ 平面 EDB ; (2)证明 PB ? 平面 EFD; (3)求二面角 C - PB - D 的大小.

【解法】 :如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点.设 DC ? a.
z

⑴证明:连结 AC,AC 交 BD 于 G.连结 EG. a a 依题意得 A(a, 0, 0), P (0, 0, a ), E (0, , ) 2 2 ? 底面 ABCD 是正方形, ? G 是此正方形的中心, a a ??? ? ??? ? 故点 G 的坐标为 ( , , 0) 且 PA ? (a, 0, ?a), EG ? ( a , 0, ? a ). 2 2 2 2
x

P

F

E

D G A B

C

y

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??? ? ??? ? ? PA ? 2EG . 这表明 PA∥EG . 而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,? PA∥ 平面 EDB。 ???? ??? ? a a ⑵证明:依题意得 B(a, a,0), PB ? (a, a, ?a) 。又 DE ? (0, , ), 2 2

故 PB ? DE ? 0 ?

??? ? ??? ? (3)解:设点 F 的坐标为 ( x0 , y0 , z0 ), PF ? ? PB, 则 ( x0 , y0 , z0 ? a) ? ?(a, a, ?a) ? a a 1 1 从而 x0 ? ?a, y0 ? ?a, z0 ? (1 ? ? )a. 所以 ??? FE ? (? x0 , ? y0 , ? z0 ) ? (?? a, ( ? ? )a, (? ? ) a).
2 2 2 2

? PB ? DE , 由已知 EF ? PB ,且 EF ? DE ? E, 所以 PB ? 平面 EFD.

a2 a2 ? ?0 2 2

1 由条件 EF ? PB 知, PE ? PB ? 0 即 ?? a 2 ? ( 1 ? ? )a 2 ? (? ? 1 )a 2 ? 0, 解得 ? ? 3 2 2 ??? ? ??? ? a a a a a 2 a a a 2 a ? 点 F 的坐标为 ( , , ), 且 FE ? (? , , ? ), FD ? (? , ? , ? ).
3 6 6 3 3 3 2 2 a a 2a PB ? FD ? ? ? ? ? 0 ,即 PB ? FD , 3 3 3
2
2 2 2 2

3

3

3

故 ?EFD 是二面角 C ? PB ? D 的平面角. ∵ PE ? FD ? a ? a ? a ? a 且
9 18 9 6

a a a 6 a 2 a 2 4a 2 6 PE ? ? ? ? a, FD ? ? ? ? a 9 36 36 6 9 9 9 3
??? ? ??? ? FE.FD ? ??? ? ? ? cos EFD ? ??? | FE || FD | a2 6 6 6 a. a 6 3
? 1 ? .??EFD ? , 3 2

2

2

2

? 所以,二面角 C—PC—D 的大小为 . 3 【点评】 考查空间向量数量积及其坐标表示,运用向量数量积判断向量的共线与 垂直,用向量证明线线、线面、面面的垂直与平行关系。 【变式与拓展】如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD, E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:EF⊥CD; (3)若?PDA=45?,求 EF 与平面 ABCD 所成的角. 证明:如图,建立空间直角坐标系 A-xyz, 设 AB=2a,BC=2b,PA=2c,则:A(0, 0, 0), B(2a, 0, 0),C(2a, 2b, 0),D(0, 2b, 0), P(0, 0, 2c)∵ E 为 AB 的中点,F 为 PC 的中点 ∴ E (a, 0, 0),F (a, b, c)
(1)∵ EF =(0, b, c), AP =(0, 0, 2c), AD =(0, 2b, 0) 1 → → ∴ EF = ( AP + AD ) ∴ EF 与 AP 、 AD 共面 2 又∵ E ? 平面 PAD ∴ EF∥平面 PAD. → (2)∵ CD =(-2a, 0, 0 )
x
B

z
P

A E

F D y C

第 9 页 共 19 页

→ → ∴ CD 〃 EF =(-2a, 0, 0)〃(0, b, c)=0 (3)若?PDA=45?,则有 2b=2c,即 b=c,∴ → →

∴ CD⊥EF.

AP =(0, 0, 2b)

EF =(0, b, b), 2b2 2 → → ∴ cos ? EF , AP ?= = 2 2b〃 2b

→ → ∴ ? EF , AP ?= 45? → → ∵ AP ⊥平面 AC,∴ AP 是平面 AC 的法向量 → → ∴ EF 与平面 AC 所成的角为:90?-? EF , AP ?= 45?. 例 15.如图,在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AB ? 2 , AA1 ? 5, E 、 F 分 别为 D1 D 、 B1 B 上的点,且 DE ? B1 F ? 1. (Ⅰ)求证: BE ? 平面 ACF ; (Ⅱ)求点 E 到平面 ACF 的距离. 解:(Ⅰ)以 D 为原点,以 DA 、 DC 、 D1 D 的正向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,则
A1
D1
B1

C1

F
E
D

C
B
图9

A

D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), D1 (0,0,5), E(0,0,1), F (2,2,4).
于是 AC ? (?2,2,0), AF ? (0,2,4), BE ? (?2,?2,1).

? BE ? AC ? 0, BE ? AF ? 0,? BE ? AC, BE ? AF, 且 AC ? AF ? A,
? BE ? 平面 ACF
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, BE 为平面 ACF 的一个法向量,

? 向量 AE 在 BE 上的射影长即为 E 到平面 ACF 的距离,设为 d ,于是
d ?| AE | ? | cos ? AE, BE ?|?| AE | ?
5 故点 E 到平面 ACF 的距离为 . 3

| AE ? BE | | AE | ? | BE |

?

| (?2,0,1) ? (?2,?2,1) |
2 2 2

5 ? , 3 (?2) ? (?2) ? 1

例 16.如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD, AB= 3,

BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC, 并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离.

P E

第 10 页 共 19 页 A

D B

C

解:方法一、 (1)设 AC∩BD=O,连 OE,则 OE//PB, ∴∠EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角.
1 7 在△AOE 中,AO=1,OE= PB ? , 2 2

AE ?

1 5 PD ? , 2 2

7 5 ? 4 4 ?3 7. ∴ cos EOA ? 14 7 2? ?1 2 1?
即 AC 与 PB 所成角的余弦值为
3 7 . 14

(2)在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F,则 ?ADF ? 连 PF,则在 Rt△ADF 中 DF ?

?
6

.

AD 2 3 3 ? , AF ? AD tan ADF ? . cos ADF 3 3

设 N 为 PF 的中点,连 NE,则 NE//DF, ∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面 PAC,从而 NE⊥面 PAC. ∴N 点到 AB 的距离 ?
1 1 3 AP ? 1 ,N 点到 AP 的距离 ? AF ? . 2 2 6

方法二、 (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A(0,0,0) 、 B( 3 ,0,0) 、C( 3 ,1,0) 、D(0,1,0) 、 1 P(0,0,2) 、E(0, ,1) , 2 从而 AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2). 设 AC与PB 的夹角为θ ,则

cos ? ?

| AC ? PB | | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

∴AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 . 14

1 (Ⅱ) 由于 N 点在侧面 PAB 内, 故可设 N 点坐标为 (x, O, z) , 则 NE ? (? x, ,1 ? z ) , 2 由 NE⊥面 PAC 可得,

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? ? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0.

1 ? (? x, ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? z ? 1 ? 0, ? ? ? 2 即? 化简得? 1 1 ? 3 x ? ? 0. ?(? x, ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ? 2 ? ? 2 ?

? 3 ?x ? ∴? 6 ?z ? 1 ?

即 N 点的坐标为 (
【专题综合】

3 3 . ,0,1) ,从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1, 6 6

一、线面位置关系判断:根据公理定理判断线与线、线与面、面与面的位置关系。 1. (安徽 3) .已知 m, n 是两条不同直线,? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是省 ( B ) A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n D. 若m ‖? , m‖ ? , 则?‖ ?

二、求求空间角与距离:在各图形中求异面直线角、线面角、二面角以各种距离的大小(或 三角函数值) ,注意使用一些特殊的结论进行简便的计算。 2.(福建 6)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角 的正弦值为( D ) A.

2 2 3

B.

2 3

C.

2 4

D.

1 3

三、求立体几何图形的表面积和体积: (1)球的体积与表面积; (2)棱柱(棱 锥)的表面积与体积,注意用分割法,或注意等积变形,寻找不同的底面与高。 3. (福建 15 )若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积 是 .9 ?

四、 与函数等知识相结合: 将立体几何问题函数化, 用函数来分析解决立体几何中的求值 (最 值)问题。 4. (北京 8)如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 BD1 上,过点 P 作垂直于

P ? x , MN ? y , 平面 BB1D1D 的直线, 与正方体表面相交于 M ,N . 设B 则函数 y ? f ( x)
的图象大致是( B )

第 12 页 共 19 页

D1 A1 D A M B1 P N B

C1

y

y

y

y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

五、比较几何体中量的大小:比较立体几何图形中角、或边的大小 5.(陕西 10) 如图, ? ? ?,? ? ? ? l,A ??,B ? ?,A,B 到 l 的距离分别是 a 和 b ,

AB 与 ?,? 所成的角分别是 ? 和 ? , AB 在 ?,? 内的射影分别是 m 和 n ,若 a ? b ,则
( D ) B. ? ? ?,m ? n D. ? ? ?,m ? n A l a

A. ? ? ?,m ? n C. ? ? ?,m ? n

?
b B ?

【专题突破】 一、选择题 1.设有两条直线 a、b 和两个平面 ? 、 ? ,则下列命题中错误的是 ( A.若 a // ? ,且 a // b ,则 b ? ? 或 b // ? C.若 ? // ? ,且 a ? ? , b ? ? ,则 a // b 2.如图所示的直观图,其平面图形的面积为 A 3 B 6 C
3 2



B.若 a // b ,且 a ? ? , b ? ? ,则 ? // ? D.若 a ? b ,且 a // ? ,则 b ? ? ( ) 2 450 3

D

3 2 2

3.在下列命题中: ①若 a 、 b 共线,则 a 、 b 所在的直线平行; ②若 a 、 b 所在的直线是异 面直线,则 a 、 b 一定不共面; ③若 a 、 b 、 c 三向量两两共面,则 a 、 b 、 c 三向量一定也共面; ④已知三向量 a 、 b 、 c ,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示 p ? xa ? yb ? zc . 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

4.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体 积是( ) A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

第 13 页 共 19 页

C. 2000cm

3

D. 4000cm

3

5、如图 9,正四棱锥 P—ABCD 的侧面 PAB 为正三角形,E 为 PC 中点,则异面直线 BE 和 PA 所成角的余弦值为 ( ) .

A.

B.

C.

D.

6.已知二面角α -AB-β 为 30 ? ,P 是平面α 内的一点,P 到β 的距离为 1.则 P 在β 内的 射影到 AB 的距离为 A. ( B. 3 ) . C.

3 2

3 4

D.

1 2

二、 填空题

⒎体积为

的等边圆柱内有一内切球, 球内接正方体的棱长为

.

8.如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 1 .若二面角 C ? AB ? C1 的 大小为 60 ,则点 C 到平面 ABC 1 的距离为
?

.

9.如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等,D 是 A1C1 的 中点,则直线 AD 与平面

B1DC 所成角的正弦值为

.

10.已知点 O 在二面角 ? ? AB ? ? 的棱上,点 P 在 ? 内,且 ?POB ? 45? 。若对于 ? 内异 于 O 的任意一点 Q,都有 ?POQ ? 45? ,则二面角 ? ? AB ? ? 的大小是 。

三、解答题 M 分别在 AE 和 BD 上,AN = DM . N、 11. 已知: 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 不共面,
E N B G M C

第 14 页 共 19 页

F

求证: MN // 平面 BCE .

变式:如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1;

12.如图,三棱锥 P—ABC 中, PC ? 平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC, 是 PB 上一点,且 CD ? 平面 PAB. (I) 求证:AB ? 平面 PCB; (II) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小; (III)求二面角 C-PA-B 的大小的余弦值.

D
P

D B C A

13.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视 图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形. (Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼?试证明你的结论; (Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点为 E, 求平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面 角的余弦值.

正视图

侧视图

俯视图

参考答案 一、选择题 1.D 2.B 3.A 4.B 5.A 6.B 二、填空题 7. 1 8.

3 4

9.

4 5

10. 90

0

第 15 页 共 19 页

三、解答题 11. 证明: (方法一) 连结 AM 并延长交 BC 于 G

E B G M A D C

AN DM AM = = NE MB MG 所以 MN // EG ????????6’ 又 MN ? 平面 BCE EG ? 平面 BCE 故 MN // 平面 BCE ??????12’
则 (方法二)过 N 做直线 NH//EB 交直线 AB 于 H 连结 MH 因为

F

N

E B H A M C

BH EN BM = = HA NA MD

F

N

所以 HM//AD//BC?????????6’ 于是 平面 MHN//平面 CBE MN ? 平面 MHN 所以 MN // 平面 BCE ???????12’ 变式: (I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4AB=5, ∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, ∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴ DE//AC1, ∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1,∴ AC1//平面 CDB1; 12.解法一: (I) ∵PC ? 平面 ABC,

D

AB ? 平面 ABC,∴PC ? AB.

P

∵CD ? 平面 PAB, AB ? 平面 PAB,∴CD ? AB. 又 PC ? CD ? C ,∴AB ? 平面 PCB. (II) 过点 A 作 AF//BC,且 AF=BC,连结 PF,CF. 则 ? PAF 为异面直线 PA 与 BC 所成的角. 由(Ⅰ)可得 AB⊥BC, ∴CF ? AF. 由三垂线定理,得 PF ? AF. 则 AF=CF= 2 ,PF= PC2 ? CF 在 Rt?PFA 中, tan∠PAF=
2

D

E B

C

A

? 6,

F

? PF 6 = 3 , ∴异面直线 PA 与 BC 所成的角为 . ? 3 AF 2

(III)取 AP 的中点 E,连结 CE、DE. ∵PC=AC=2, ∴CE ? PA,CE= 2 .

第 16 页 共 19 页

∵CD ? 平面 PAB, 由三垂线定理的逆定理,得 DE ? PA. ∴ ?CED 为二面角 C-PA-B 的平面角. 由(I) AB ? 平面 PCB,又∵AB=BC,可求得 BC= 2 . 在 Rt?PCB 中,PB= PC2 ? BC2 ?

6 , CD ?
4 3

PC? BC 2 ? 2 2 . ? ? PB 6 3

在 Rt?CDE 中, cos ?CED =

DE ? CE
3 3

2? 2

?

3 . 3

∴二面角 C-PA-B 大小的余弦值为

P

z

解法二: (I)同解法一. (II) 由(I) AB ? 平面 PCB,∵PC=AC=2, 又∵AB=BC,可求得 BC= 2 . 以 B 为原点,如图建立坐标系.
C x D

B

A y

则A(0, 2 ,0) ,B(0,0,0) ,C( 2 ,0,0) ,P( 2 ,0,2) .

AP ? ( 2,? 2,2) , BC ? ( 2,0,0) .
则 AP ? BC ?

2 ? 2 +0+0=2. cos ? AP, BC ??

AP ? BC AP ? BC

=

2 2 2? 2

=

1 . 2

∴异面直线 AP 与 BC 所成的角为

? . 3

(III)设平面 PAB 的法向量为 m = (x,y,z). AB ? (0,? 2,0) , AP ? ( 2,? 2,2) , 则?

? ?AB ? m ? 0, ? ?AP ? m ? 0.
? y ? 0, ?x ? ? 2z

即?

? ?? 2 y ? 0, ? ? 2x ? 2 y ? 2z ? 0.

解得 ?

令 z = -1, 得 m = ( 2 ,0,-1).

设平面 PAC 的法向量为 n =( x , y , z ). PC ? (0,0,-2 ) , AC ? ( 2,? 2,0) ,
' ' '

? ?PC ? n ? 0, 则? ? ?AC ? n ? 0.

' ? ?? 2z ? 0, 即? ' ' ? ? 2x ? 2 y ? 0.

第 17 页 共 19 页

解得 ?

' ? ?z ? 0, ?x ' ? y ' ?

令 x =1, 得 n = (1,1,0).

'

cos ? m, n ??

m?n mn

=

2 3? 2

?

3 . 3

∴二面角 C-PA-B 大小的余弦值为

3 . 3

C1

13.解: (Ⅰ)该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面 ABCD 是边长为 6 的 正方形,高为 CC1=6,故所求体积是

C D C1 D1 C D 图2 z C1 D1 E G C H x D 图3 A A1 A A1 图1 A

1 V ? ? 6 2 ? 6 ? 72 3
(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍, 故用 3 个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为 6 的正方体, 其拼法如图 2 所示. 证明:∵面 ABCD、面 ABB1A1、面 AA1D1D 为全等的 正方形,于是

B

B1

VC1 ? ABCD ? VC1 ? ABB1A1 ? VC1 ? AA1D1D

故所拼图形成立.

B

(Ⅲ)方法一:设 B1E,BC 的延长线交于点 G, 连结 GA,在底面 ABC 内作 BH⊥AG,垂足为 H, 连结 HB1,则 B1H⊥AG,故∠B1HB 为平面 AB1E 与 平面 ABC 所成二面角或其补角的平面角. 在 Rt△ABG 中, AG ? 180 ,则

B1

BH ?

6 ? 12 180

?

12 5

, B1 H ?

BH 2 ? BB1 ?

2

18 5



B

y

cos?B1 HB ?

2 HB 2 ? ,故平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 ? . 3 HB1 3

方法二:以 C 为原点,CD、CB、CC1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立直角坐标系(如图 3) ,∵正方体棱长为 6,则 E(0,0,3) ,B1(0,6,6) ,A(6,6,0). 设向量 n=(x,y,z) ,满足 n⊥ EB1 ,n⊥ AB1 ,

?x ? z ?6 y ? 3z ? 0 ? 于是 ? ,解得 ? 1 . y ? ? z ?? 6 x ? 6 z ? 0 ? 2 ?
取 z=2,得 n=(2,-1,2). 又 BB1 ?(0,0,6) ,cos ? n, BB1 ??

n ? BB1 | n || BB1 |

?

12 2 ? 18 3

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故平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 ?

2 . 3

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