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2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题及答案(A卷)


武汉大学数学与统计学院 2009—2010 第一学期《高等数学 A1》期末考试试题
一、 (42 分)试解下列各题: 1、计算 lim[(2 ? x )e ? x ] .
x ?? 1 x

2、求解微分方程 y ⅱ 2y + 3y = 0 的通解。

? 4、计算 ?
3、计算

1 ?1

x 2 (1 ? 1 ? x 2 sin x )d x .

?? 0

e ? x dx .

?x ? t cos u d u ?1 u ? ? 5、求曲线 ? 自 t ? 1 至 t ? 一段弧的长度。 t sin u 2 ?y ? ? du 1 u ? 1 6、设 y ? 2 ,求 y ( n ) . x ? 3x ? 2
二、 分)已知 u ? g(e ) ,其中 y ? f (x ) 由方程 (8
xy

?

y 0

et dt ?
2

?

x2 0

cos t d t 确定,求 d u .
dx

三、 分)设 x 1 ? 1 , x n + 1 ? 1 ? (8

xn 1 ? xn

(n ? 1, 2, ?) ,试证明数列 {x n } 收敛,并求 lim x n .
n ??

x3 ? 4 四、 (15 分)已知函数 y ? ,求: x2
1、函数 f (x) 的单调增加、单调减少区间,极大、极小值; 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。 五、 (12 分)已知函数 y ? y (x ) 满足微分方程 y ?? ? y ? ? 2(1 ? x ) ,且 x 轴为曲线 y ? y (x ) 在原 点相切,在曲线 y ? y (x ) ( x ? 0 )上某 B 点处作一切线,使之与曲线、 x 轴所围平面图形的 面积为
1 ,试求: (1)曲线 y ? y (x ) 的方程; (2)切点 B 的坐标; (3)由上述所围图形绕 x 轴 12

旋转一周所得立体的体积。 六、 (10 分)设 f (x ) 在 [0,1]上连续,在 (0,1) 内可导,且 f (0) ? f (1) ? 0, f ( ) ? 1 ,证明: (1)存在? ? ( ,1) ,使 f (? ) ? ? ; (2)对任意实数 ? ,必存在 ? ? (0, ?) ,使 f ?(? ) ? ?[f (? ) ? ? ] ? 1 .

1 2

1 2

lim f ( x) ? 2, lim f ???( x) ? 0 , lim f ?( x) ? 0 , 七、5 分) ( 设函数 f ( x ) 满足下列两个等式: 求证:
x ?? x ?? x ??

lim f ??( x) ? 0 .
x ??

1

武汉大学数学与统计学院 2009—2010 第一学期《高等数学 A1》期末考试试题参考答案
一、 (42 分)试解下列各题:
1 2 [( ? 1)e x ? 1] t ?1 / x 1 (2t ? 1)e t ? 1 2 ? lim ? lim(2t ? 3)e t ? 3 1、解:原极限= lim x [( ? 1)e x ? 1] ? lim x t ?0 t ?0 x ?? x ?? 1 t x x

2、解:齐次方程 y ⅱ 2y + 3y = 0 的特征方程为 l 2 - 2l + 3 = 0 ,它有复数根 l = 1

2i ,故原

方程的通解为: y = e x (C 1 cos 2x + C 2 sin 2x ) 3、解:原式= 2? x dx ?
1 2 0

2 3
??

?? 4、解: ?0 e ? x dx ? 2?0 te ?tdt ? 2?0 td(?e ?t ) ? 2[?te ?t ]0 ? 2?0 e ?tdt ? 2

??

x ?t

??

??

5、解: s ? ?12 [x '(t )]2 ? [y '(t )]2dt ? ?1 6、解: y ?
1 1 ? x ?1 x ?2

?

?/ 2

(

cos t 2 sin t 2 ) ?( ) dt ? t t
(n ?

?

?/2

1

1 ? dt ? ln t 2
n( ?

n y (n ) ? ( ?1 ) n ! [ ( 1? ?x

) 1 )?

?x2 ( ?

)1 )

]
2 dy ? 2x cos x 2e ?y dx

二、 分)解: (8 故有

2 du dy = g?(e xy )e xy (y ? x ) ,方程两边微分得: e y dy ? 2x cos x 2dx dx dx

2 du = e xy g?(e xy )(y ? 2x 2 cos x 2e ?y ) dx

三、 分)解: x n ? 0 , x 2 ? x 1 ? (8

1 ? 0 ,因此 x 2 ? x1 2

设 xn ? xn ?1 ,则 x n ?1 ? x n ? 1 ?

xn x n ?1 x n ? x n ?1 ? (1 ? ) ? ?0 1 ? xn 1 ? x n ?1 (1 ? x n )(1 ? x n ?1)

? x n 单调增加,且 x n ? 1 ?
设 lim x n ? a ,则: a ? 1 ?
n ??

x n ?1 1 ?2? ? 2 ,故 lim x n 存在 n ?? 1 ? x n ?1 1 ? x n ?1
a 1?a

解得 a ?

1? 5 1? 5 .因为 a 非负, ∴ lim x n ? n ?? 2 2
8 令 y ? ? 0 ? 驻点 x ? 2 ,不可导点 x ? 0 x3

四、 (15 分)解:定义域为 ( ??, 0) ? (0, ??)

y? ? 1 ?

24 ?0 x4 1) 故单调增加区间为: ( ??, 0),(2, ??) ,单调减少区间为: (0, 2) 极小值为: f (2) ? 3 ,无极大值。 y '' ?
2)下凸区间为: ( ??, 0),(0, ??) ,无拐点,由 lim
x3 ? 4 ? ? 故 x ? 0 为函数图形的铅直渐近线。 , x ?0 x2 f (x ) x3 ? 4 x3 ? 4 又 lim ? lim ?1 lim[f (x ) ? x ] ? lim[ 2 ? x ] ? 0 x ?? x x ?? x ?? x ?? x3 x 故 y ? x 为函数图形的斜渐近线。

五、 (12 分)解: (1)由观察法知曲线方程为: y ? x 2 或解微分方程: 特征方程为 r 2 ? r ? 0 ? r1 ? 0, r2 ? 1 , 故对应齐次方程的通解为 y ? c1 ? c2e x , 由于 r1 ? 0 , 所以微分方程的特解设为 y * ? x (ax ? b), y *?? ? 2a, y *? ? 2ax ? b ,从而有: 2a ? (2ax ? b) ? 2 ? 2x ? a ? 1, b ? 0 , 故 y ? c1 ? c2e x ? x 2 为微分方程的通解,又 y ? ? c2e x ? 2x ,由题设知 y (0) ? 0, y ?(0) ? 0 ? c1 ? 0, c2 ? 0 ,所以微 2

分方程满足初值条件的解为 y ? x 2 ,即曲线方程为: y ? x 2 (2)设切点 B 的坐标为 (a, a 2 ) ,则过点 B 的切线斜率为 y ?
? 2a ,于是切线方程为 y ? a 2 ? 2a(x ? a ) ,和 x 轴

x ?a

a 交点为 ( , 0) ,由 A ? 2
1 0

a 2 ?a a 1 ?0 x dx ? 2 2 ? 12 ? 12 ,得 a=1,因此切点坐标为(1,1)。
a 2
1 1 1 0 12

(3)V ? ? ? y 2dx ? ? ?1 (2x ? 1)2dx ? ? ? x 4dx ? ? ? (2x ? 1)2dx ? ? 30
2

六、 (10 分)证明: (1)令 F (x ) ? f (x ) ? x ,则 F (x ) ? C [0,1], F (1) ? ?1 ? 0, F (1/ 2) ? 1/ 2 ? 0 故 ?? ? (1/ 2,1) ,使得 F (? ) ? f (? ) ? ? ? 0 ,即 f (? ) ? ? (2)设 G (x ) ? e ? ?x F (x ) ? e ? ?x ( f (x ) ? x ) ,则 G (x ) ? C [0,? ],G (x ) ? D(0,? ) , G (0) ? 0,G (? ) ? e ? ??F (?) ? 0 由罗尔定理: ?? ? (0,? ), 使G ?(? ) ? 0 ,即 e ? ?? ?f ?(? ) ? ?[f (? ) ? ? ] ? 1? ? 0 即
f ?(? ) ? ?[f (? ) ? ? ] ? 1

七、 份)证:应用泰勒公式,我们有: (5 1 1 (1) f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ?( x) ? f ??( x) ? f ???( x ? ? ( x)) 0 ? ? ( x) ? 1 2 6 1 1 (2) f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ?( x) ? f ??( x) ? f ???( x ? ? ( x)) 0 ? ? ( x) ? 1 2 6 (1) ? (2) 分别得: f ??( x) ? f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 1 f ???( x ? ? ( x)) ? 1 f ???( x ? ? ( x)) 6 6 1 1 2 f ?( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f ???( x ? ? ( x)) ? f ???( x ? ? ( x)) 6 6 2 2 当 x ? ? ? x ? ? ( x) ? ?, x ? ? ( x) ? ? ,所以有: lim f ??( x) ? 2 ? 4 ? 2 ? 6 ? 0 ? 6 ? 0 ? 0 , x ?? 1 1 1 lim f ?( x) ? (2 ? 2 ? ? 0 ? ? 0) ? 0 。 x ?? 2 6 6

(3) (4)

3



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