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广东省宝安第一外国语学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题


2015~2016 学年度第一学期期中考试

高二年级数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选 项 中,选出符合题目要求的一项。
1. 设 a<b<0,下列不等式一定成立的是( ) A. a <ab<b
2 2 2

B. b <ab<a
2

2

2

C. a <b <ab

2

2

D. ab<b <a )

2

2

2.若 f(x)=3x -x+1,g(x)=2x +x-1,则 f(x)与 g(x)的大小关系为( A.f(x)>g(x) C.f(x)<g(x)
2 2

B.f(x)=g(x) D.随 x 值变化而变化 )

3.在下面选项中,是 x -y <0 表示的平面区域是(

4.不等式 x -ax-12a <0(其中 a<0)的解集为( A.(-3a,4a) B.(4a,-3a) )

2

2

) C.(-3,4) D.(2a,6a)

5.若正实数 a,b 满足 a+b=1,则( 1 1 A. + 有最大值 4

a b

1 B.ab 有最小值 4 D.a +b 有最小值
2 2

C. a+ b有最大值 2
2

2 2 ) D.a≤5

6.命题“ ? x∈[1,2],x -a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( A.a≥4 B.a≥5 C.a≤4

7.如图所示的程序框图表示求算式“ 2 ? 3 ? 5 ? 9 ?17 ” 之值,则判断框 内可以填入( A. k ? 10 ? C. k ? 22 ? ) B. k ? 16 ? D. k ? 34 ?

8. 从分别写上数字 1,2,3??9 的 9 张卡片中,任意取出两张,观察上

面的数字,则两数积是完全平方数的概率为( A.

)

1 9

B.

2 9

C.

1 3

D.

5 9


9. 有 5 件产品, 其中 3 件正品, 2 件次品, 从中任取 2 件, 则互斥而不对立的两个事件是 ( A.至少有 1 件次品与至多有 1 件正品 C.至少有 1 件次品与至少有 1 件正品 B.至少有 1 件次品与都是正品 D.恰有 1 件次品与恰有 2 件正品

10.有一农场种植一种水稻在同一块稻田中连续 8 年的年平均产量如下:(单位:kg) 450 430 460 440 450 440 470 460 ) B. 80 ) C. 1000( 4) )
2

则其方差为( A. 120

C. 15

D. 150

11.在下列各数中,最大的数是( A. 85(9) B. 210(6)

D. 11111 ( 2)

12.下列四个命题中正确命题的个数是(

(1)命题 p : ?x ? R, 使得x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ; (2) m ? 3 是直线 (m ? 3) x ? m y ? 2 ? 0 与直线 m x ? 6 y ? 5 ? 0 互相垂直的充要条件; (3)已知回归直线的斜率的值为 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线方程为

? =1.23x+0.08 y
(4)若实数 x, y ?? ?1, 1? ,则满足 x ? y ? 1 的概率为
2 2

? . 4
D.4

A.1

B.2

C.3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 )
13.228 与 1995 的最大公约数是 。 一年级 女生 男生 373 377 二年级 三年级

14.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表。已知 在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的可能性是 0.19。现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在 三年级抽取的学生人数为 。

x
370

y
z

15. 在下列所示电路图中,闭合开关 A 是灯泡 B 亮的什么条件: (1)如图①所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的______条件; (2)如图②所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的______条件; (3)如图③所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的______条件; (4)如图④所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的______条件 16.已知 x>0,y>0,

2 1 + =2,则 2 x ? y 的最小值为 x y ?1



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 )
17. (本小题满分 10 分) 3 3 2 2 已知集合 A= {y|y=x - x+1,x∈[ ,2]},B={x|x+m ≥1) ; 2 4 命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,并且命题 p 是命题 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 18.(满分 12 分) 如图是总体的一个样本频率分布直方图,且在[15,18)内频数为 8.求: (1)求样本容量; (2)若在[12,15)内的小矩形面积 为 0.06,求在[12,15)内的频数; (3)求样本在[18,33)内的频率.

19. (本小题满分 12 分) 已函数 f(x)=|x+1|+|x-3|. (1)作出函数 y=f(x)的图象; (2)若对任意 x∈R,f(x)≥a -3a 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

20. (本小题满分 12 分)设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .
2 2

1 , 2, 3 四个数中任取的一个数, b 是从 0, 1 , 2 三个数中任取的一个数,求上 (1)若 a 是从 0,
述方程有实根的概率.

3] 任取的一个数, b 是从区间 [0, 2] 任取的一个数,求上述方程有实 (2)若 a 是从区间 [0,

根的概率. 21.(满分 12 分) 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系。 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据最小二乘法求出线性回归方程 y ? bx ? a 的回归系数 a , b ;
?

b?

?x y
i ?1 n i

n

i 2

? nx ? y ? nx
2

?x
i ?1

, a ? y ? bx

i

(3)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少?

22.(本题满分 12 分) 已知关于 x 的方程(m+1)x +2(2m+1)x+1-3m=0 的两根为 x1、x2,若 x1<1<x2<3,求 实数 m 的取值范围.
2

高二数学(理)期中考试参考答案
一、选择题 1 B 13.57 16. 3 2 A 14. 16 3 D 4 B 5 C 6 B 7 C 8 A 9 D 10 D 11 B 12 A

15. 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要

三、解答题 3 3 7 17.解:化简集合 A,由 y=x2- x+1=(x- )2+ , 2 4 16 3 7 7 7 ∵x∈[ ,2],∴ymin= ,ymax=2.∴y∈[ ,2],∴A={y| ≤y≤2}. 4 16 16 16 化简集合 B,由 x+m2≥1,∴x≥1-m2,B={x|x≥1-m2}. 7 3 3 ∵命题 p 是命题 q 的充分条件,∴A ? B.∴1-m2≤ ,∴m≥ 或 m≤- . 16 4 4 3 3 ∴实数 m 的取值范围是(-∞,- ]∪[ ,+∞) . 4 4 18.(1) n ? 50 ; (2)频数是 3; (3)0.78 19.解: (1)①当 x≤-1 时,f(x)=-x-1-x+3=-2x+2; ②当-1<x<3 时,f(x)=x+1+3-x=4; ③当 x≥3 时,f(x)=x+1+x-3=2x-2. -2x+2,x≤-1 ? ? ∴f(x)=?4,-1<x<3 ? ?2x-2,x≥3 ∴y=f(x)的图象如图所示. (2)由(1)知 f(x)的最小值为 4,由题意可知 a2-3a≤4, 即 a2-3a-4≤0,即(a-4) (a+1)≤0,解得-1≤a≤4. 故实数 a 的取值范围为[-1,4].

20 解:设事件 A 为“方程 a ? 2ax ? b ? 0 有实根” .
2 2

当 a ? 0 ,b ? 0 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的充要条件为 a ≥ b . (Ⅰ)基本事件共 12 个: (0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (31) (3 2) .其中第一个数表示 a 的取
2 2

值,第二个数表示 b 的取值.事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为

P( A) ?

9 3 ? . 12 4

0≤b≤2 . (Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为 ( a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,

?

?

0 ≤ b ≤ 2,a ≥ b . 构成事件 A 的区域为 (a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,

?

?

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 所以所求的概率为 ? ? . 3? 2 3
21、 (1)略; (2) y ? 1.23x ? 0.08 ; (3) 12 .38 万元 22. 设 f(x)=(m+1)x2+2(2m+1)x+1-3m,显然 m+1≠0. (1)当 m+1>0 时,可画简图: m+1>0 ? ? ?m<-2 ? f ? 1 ? <0 则? ,即? 8 ? ?f?3?>0 ? ?m>-9 m>-1 ,不等式组无解. (2)当 m+1<0 时,可画简图: m+1<0 ? ? ?m>-2 ? 则?f?1?>0 ,即? 8 ? ?f?3?<0 ? ?m<-9 m<-1 .
?

得-2<m<-1. 由(1)、(2)知 m 的取值范围是(-2,-1).



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