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数列综合题

数列测试题 一、单选题 1.已知数列 2, ,  5 2 2,  11,    ? 则 2 5 是这个数列的( A. 第6 项 B. 第 7 项 C. 第 19 项 D. 第 11 项 2.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? 5 , a7 ? ?7 ,则 S10 的值为 A. 50 B. 20 C. ?70 D. ?25 3.在等比数列 ?an ? 中,若 a4 , a8 是方程 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 的两根,则 a6 的 值是 A. ? 3 4.已知数列 2016 项之和 A. B. C. D. B. )

9.设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, S12 ? 7 S4 ,则 A.
1 3

S8 ? ( S4



B.

1 1 或 3 2

C. 3

D. 3 或 ?2

10.已知数列 ?a n ? 是公差为 d 的等差数列,Sn 是其前 n 项和,且有 S9< S8=S7,则下列说法不正确的是 A. S9<S10 B. d<0 C. S7 与 S8 均为 Sn 的最大值 D. a8=0

2 2 * 11.若数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? an ? 2 an ?1 ? an ? n ? N ? ,则数列 ?an ? 的

3

C. ? 3

D. ?3 , ,则数列 的前

前 32 项和为( ) A. 64 B. 32 C. 16 12.等比数列 ,若

D. 128 ,则 ( )

是递增的等比数列,

A. 二、填空题 13 . 设

B.

C.

D.

5. 如图, 给出的 3 个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前 3 项, 则这个数列的一个通项公式是

是 公 差 为 正 数的 等 差 数 列 , 若 _________.





A. 2n+1

B. 3n

C.

D.

1 , 则 lga1 ? lga2 ? ... ? lga2017 ?( ) 10 A. 2015 B. ?2017 C. ?2015 D. ?2016 7.若{an}是等比数列,其公比是 q,且-a5,a4,a6 成等差数列,则 q 等 于( ) A. 1 或 2 B. 1 或-2 C. -1 或 2 D. -1 或-2

6. 在正项等比数列 ?an ? 中, a1009 ?

14.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八 里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意 为:“有一个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走 的路程为前一天的一半,走了 6 天才到达目的地.”则该人第一天走的 路程为__________里. 15 . 设 Sn 是 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 且 a1 ? ?1 , an?1 ? Sn Sn?1 , 则

Sn ? ________.
4x ? 1 ? ? 2 ? ? 1000 ? 16.若 f ? x ? ? x ,则 f ? ?f? ??? f ? ? ? ? =_________ 4 ?2 ? 1001 ? ? 1001 ? ? 1001 ?

8.等差数列 列 A.

的公差

,且 , , )

称等比数列,若

, 为数

的前 项和,则 的最大值为( B. C. D.

三、解答题

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17.等差数列 ?an ? 中, a7 ? 18, a20 ? 2a18 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (3)求出数列 ?an ? 前 n 项和 Sn 的最大值.

20.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? 3an ?1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?
n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an

18.已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a4 ? 20 , a3 ? a5 ? 40 . (I)求 ?an ? 的通项公式. (II)若 bn ? an ? 3n ? 1? n ? N * ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

21.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3 =9,S6=60. (I)求数列{an}的通项公式;
?1? (II)若数列{bn}满足 bn+1﹣bn= an (n∈N+)且 b1=3,求数列 ? ? 的前 n ? bn ?

项和 Tn.

19.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an} , {bn}的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和.

22.在数列 ?an ? 中, a1 ? 4 , nan?1 ? ? n ?1? an ? 2n ? n ?1? .
?a ? (1)求证:数列 ? n ? 为等差数列,并求出数列 ?an ? 通项公式 an ; ?n?
?1? (2)求数列 ? ? 的前 n 项和 Sn . ? an ?

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参考答案 1.B2.D3.B4.C5.D 6.B 【 解 析 】 因 为 正 项 等 比 数 列

a1 1 ? q8

?

? ?

?an ?







S8 1? q ? ? 1 ? q 4 ? 3 故选 C 4 S 4 a1 1 ? q

?

a1009 ?

1 ? 10?1 ,? a1? a2017 ? a2 · a2016 ? a3· a2015 ? ... ? 10
2 ?2

1? q

a1008· a1010 ? a1009 ? 10 ,?lga1 ? lga2 ? ... ? lga2017 ?

10.A【解析】根据 S8 ? S7 ? a8 ? S7 ,得到 a8 ? 0,

lg ? a1a2a3...a2017 ? ? lg ? ?? a1a2017 ?? a3a2015 ? ...? ? ? lg 10
7.C8.D 【解析】由题设

?

?2

?

2017 2

又由 S9 ? S8 ? a9<S8 ,得到 a9<0 ? a8,

? ?2017 ,故选 B.

得到等差数列为 d<0 的递减数列,则 S7 与 S8 均为 Sn 的最大值. 所以只有答案 A 是错误的.故选 A
2 2 * 11 . A 【 解 析 】 根 据 题 意 , 由 an ?1 ? an ? 2 an ?1 ? an ? n ? N ? , 得

,即

,解之得

(设去) ,所以 最大值 ,应选答案 D。9.C

,故当

时,



? an?1 ? an ?

2

? 0 ? an ?1 ? an , 因 a1 ? 2 , 得 an ? 2 , 则 数 列 ?an ? 前 32 项 和

S32 ? 2 ? 32 ? 64 ,故选 A.
12.D【解析】根据 知, ( ) ,两式相

【解 析】设等比数列 ?an ? 的公比为 q ∵ S12 ? 7 S4 ∴ q ? 1 ,且
a1 1 ? q12 1? q

?

? ? 7a ?1 ? q ? ,即1 ? q
4 1

减得:
? 7 1 ? q4

,当 ,所以

也适合

,所以等比数列的通项公

12

1? q

?

?



是以 1 为首项, 4 为公比的等比数列,所以前 n 项和为

令 t ? q4 , t ? 0 ,且 t ? 1 ∴ 1 ? t 3 ? 7 ?1? t ? ,即 t 2 ? t ? 6 ? 0 ∴ t ? 2 或 t ? ?3 (舍去) ,故选 D. 13.105 14.192【解析】设每天走的路程里数为 ?an ? 由题意知 ?an ? 是公比为
1 的等比数列 2

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∵ S6 ? 378

? ? 1 ?6 ? a1 ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ∴ S6 ? ? ? 378 1 1? 2
∴ a1 ? 192 故答案为 192
1 S ?S 1 1 ? 【解析】 15. ? an?1 ? Sn Sn?1 ,?an?1 ? Sn?1 ? Sn ? Sn Sn?1 , ? n?1 n ? ? ? 1, n Sn ?1Sn Sn Sn ?1

? 1 ? ? 1000 ? =500×[ f ? ?+ f ? ?] ? 1001 ? ? 1001 ?

=500.故答案为:500. 17. (1) an ? ?2n ? 32 ; (2) Sn ? ?n2 ? 31n ; (3)240 试题解析:由题可知: ( 1 ) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 首 项 为 a1 , 公 差 为 d , 则

{

a1 ? 6d ? 18 a7 ? 18 a ? 6d ? 18 a ? 30 , ?{ ?{ 1 ?{ 1 a1 ? 19d ? 2 ? a1 ? 17d ? a20 ? 2a18 a1 ? 15d ? 0 d ? ?2

?1? 1 1 1 1 即 ? ? ?1 ,又 a1 ? ?1 ,即 ? ? ?1,?数列 ? ? 是以首项和公差均为 ?1 Sn ?1 Sn S1 a1 ? Sn ?
1 1 1 的等差数列, ? ? ?1 ? 1? n ? 1? ? ?n,? Sn ? ? ,故答案为 ? . n Sn n

所以 an ? a1 ? ? n ?1? d ? ?2n ? 32 (2)由(1)可得: Sn ? na1 ?
n ? n ? 1? 2 d ? ?n 2 ? 31n

(3)由(2)可得: Sn ? ?n2 ? 31n

.16. 500 【解析】∵ f ? x ? ?

4x , 4x ? 2

??

b 31 ?? ? 15.5 , 2a 2 ? ? ?1?

4x 41? x ∴f(x)+f(1﹣x)= f ? x ? ? x + f ? x ? ? 1? x 4 ?2 4 ?2 4x 4 = x + 4 ? 2 4 ? 2 ? 4x

所以当 n ? 15或16 时,取得最大值 ? Sn ?max ? ?152 ? 31? 15 ? ?162 ? 31? 16 ? 240
3 1 18.(Ⅰ) an ? 2n ;(Ⅱ) Tn ? 2n ?1 ? n 2 ? n ? 2 . 2 2

(I)∵由 a2 ? a4 ? 20 得, ∴ a1q ?1 ? q 2 ? ? 20 ① ∵ a3 ? a5 ? 40 , ∴ a1q 2 ?1 ? q 2 ? ? 40 ②,

=

4x 2 ? x =1, x 4 ?2 4 ?2

? 1 ? ? 2 ? ? 1000 ? ∴f? ?? f ? ? ??? f ? ? ? 1001 ? ? 1001 ? ? 1001 ?

答案第 2 页,总 4 页

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a1q 2 1 ? q 2 40 ② ∴ 得 , 【注意有①②】 ? 2 ① 20 a1q 1 ? q
∴ q ? 2 ,代入①, ∴ 2 ?1 ? 22 ? a1 ? 20 , ∴ a1 ? 2 , ∴ an ? 2 ? 2n?1 ? 2n . (II)设 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 则 Sn ?
a1 1 ? q n 1? q

? ?

? ?

设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 因为 a1 ? b1 ? 1, a14 ? b4 ? 27 , 所以 1 ? 13d ? 27 ,即 d ? 2 . 所以 an ? 2n ? 1. (2)由(1)知, an ? 2n ?1, bn ? 3n?1 . 因此 cn ? an ? bn ? 2n ?1? 3n?1 . 从而数列 ?cn ? 的前 n 项和
n ?1 ? 2n ? 1? 1 ? 3n 3n ? 1 2 ? =n ? . Sn = 1 ? 3 ????? ? 2n ?1? ?1? 3 ????? 3 = 2 1? 3 2
n?1

?

??2
2

n ?1

? 2,

∴ Tn ? Sn ?
?2
n ?1

n ? 2 ? 3n ? 1?



9 6n ? 9 20. (1) an ? 3n?1 ; (2) ? 4 4 ? 3n

3 1 ? n2 ? n ? 2 . 2 2

(1) 由 2Sn ? 3an ?1 ①, 2Sn?1 ? 3an?1 ?1 ② ( n ? 2 ) ①-② 得 2an ? 3an ? 3an?1 , ∴
an ?3, an ?1

19. (1) an ? 2n ?1 (2) Sn ? n 2 ? ,bn ? 3n?1 ; (1)等比数列 ?bn ? 的公比 q ?
b 所以 b1 ? 2 ? 1, . q
b3 9 ? ? 3, b2 3

3n ? 1 . 2

又当 n ? 1 时, 2S1 ? 3a1 ?1,即 a1 ? 1 ,(符合题意) ∴ ?an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,∴ an ? 3n?1 . (2)由(Ⅰ1)得: bn ?
n
n ?1

bn ? b1qn?1 ? 3n?1 .

3 1 1 2 n ?1 n Tn ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ,④ 3 3 3 3 3

∴ Tn ?

1 2 3 n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ,③ 0 3 3 3 3

b4 ? b3q ? 27 .

答案第 3 页,总 4 页

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③-④ 得 :

2 1 1 1 1 n Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3

1 3n ? n ? 3 ? 2n ? 3 , ? 1 3n 2 2 ? 3n 1? 3 1?

=

∴ Tn ?

9 6n ? 9 ? . 4 4 ? 3n

22. (1) an ? 2n2 ? 2n (2) Sn ?

21. (Ⅰ)an=2n+3; (Ⅱ)

3 1 1 ? ? . 4 2 ? n ? 1? 2 ? n ? 2 ?

n 2 ? n ? 1?

试题解析: (1)∵ nan?1 ? ? n ?1? an ? 2n ? n ?1? ∴
an ?1 an ? ?2 n ?1 n

试题解析: (Ⅰ) 设等差数列{an}的公差为 d, ∵a3=9, S6=60. ∴



?a ? ∴ ? n ? 是以公差为 2 的等差数列 ?n?

解得



∵ a1 ? 4 ∴
an ? 4 ? 2 ? n ? 1? ? 2n ? 2 ,即 an ? 2n2 ? 2n n

∴an=5+(n﹣1)×2=2n+3. (Ⅱ)∵bn+1﹣bn=an=2n+3,b1=3, 当 n≥2 时,bn=(bn﹣bn﹣1)+?+(b2﹣b1)+b1 =[2(n﹣1)+3]+[2(n﹣2)+3]+?+[2×1+3]+3= 当 n=1 时,b1=3 适合上式,所以 . .

(2)∵ an ? 2n2 ? 2n ∴

1 1 1?1 1 ? ? 2 ? ? ? ? an 2n ? 2n 2 ? n n ? 1 ?
数 列
?1? ? ? ? an ?

∴ ∴ .





n





Sn ?


1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? ? ??? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? a1 a a 2 an 2 ? 2 2 n n ?3 ? n? 3 3

1n ? n ? 4?

1

=

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