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2016届高考数学大一轮复习 第6章 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时提升练 文 新人教版

课时提升练(三十三)
一、选择题

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

x+2y≤8, ? ? 1.(2014·广东高考)若变量 x,y 满足约束条件?0≤x≤4, ? ?0≤y≤3,
值等于

则 z=2x+y 的最大

( A.7 B.8 C.10 D.11

)

【解析】 作出约束条件下的可行域如图(阴影部分), 当直线 y=-2x+z 经过点 A(4,2) 时,z 取最大值为 10.

【答案】 C 2.如果点(1,b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 和 3x-4y+5=0 之间,则 b 应取的整 数值为( A.2 C.3 ) B.1 D.0

【解析】 由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)<0, 7 ? 7? 即?b- ?(b-2)<0,∴ <b<2,∴b 应取的整数为 1. 8 ? 8? 【答案】 B 3.(2014·郑州模拟)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限, 若点(x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是( A.(1- 3,2) C.( 3-1,2) 【解析】 如图, )

B.(0,2) D.(0,1+ 3)

1

根据题意得 C(1+ 3,2). 作直线-x+y=0,并向左上或右下平移,过点 B(1,3)和 C(1+ 3,2)时,z=-x+y 取范围的边界值,即-(1+ 3)+2<z<-1+3, ∴z=-x+y 的取值范围是(1- 3,2). 【答案】 A 2x-y+1>0, ? ? 4.(2013·北京高考)设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0 在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2.求得 m 的取值范围是( 4? ? A.?-∞, ? 3? ? 2? ? C.?-∞,- ? 3? ? )

表示的平面区域内存

1? ? B.?-∞, ? 3? ? 5? ? D.?-∞,- ? 3? ?

【解析】当 m≥0 时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不 可能存在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2,因此 m<0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域. 1 1 要使可行域内包含 y= x-1 上的点,只需可行域边界点(-m,m)在直线 y= x 2 2 1 2 -1 的下方即可,即 m<- m-1,解得 m<- . 2 3 【答案】 C

x+y-2≤0, ? ? 5.(2014·安徽高考)x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0.
的最优解不唯一 ,则实数 a 的值为( ... 1 A. 或-1 2 C.2 或 1 ) 1 B.2 或 2 D.2 或-1

若 z=y-ax 取得最大值

【解析】 如图,由 y=ax+z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距,故当 a>0 时,
2

要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=2;当 a<0 时,要使 z=y-ax 取得最大 值的最优解不唯一,则 a=-1.

【答案】 D

x≥0, ? ?y≥0, 6.在约束条件? x+y≤s, ? ?y+2x≤4.
取值范围是( A.[6,15] C.[6,8] 【解析】 由?
?x+y=s, ? ? ?y+2x=4,

下,当 3≤s≤5 时,目标函数 z=3x+2y 的最大值的

) B.[7,15] D.[7,8] 得?
?x=4-s, ? ? ?y=2s-4,

,则交点为 B(4-s,2s-4),

y+2x=4 与 x 轴的交点为 A(2,0),与 y 轴的交点为 C′(0,4),x+y=s 与 y 轴的交点
为 C(0,s). 作出当 s=3 和 s=5 时约束条件表示的平面区域, 即可行域, 如图(1)(2)中阴影部分所 示.

(1)

(2)

当 3≤s<4 时,可行域是四边形 OABC 及其内部,此时,7≤zmax<8; 当 4≤s≤5 时,可行域是△OAC′及其内部,此时,zmax=8. 综上所述,可得目标函数 z=3x+2y 的最大值的取值范围是[7,8]. 【答案】 D 二、填空题

x+2y-4≤0, ? ? 7.(2014·浙江高考)若实数 x,y 满足?x-y-1≤0, ? ?x≥1,

则 x+y 的取值范围是

3

________. 【解析】 作出可行域,如图,作直线 x+y=0,向右上平移,过点 B 时,x+y 取得最 小值,过点 A 时取得最大值.

由 B(1,0),A(2,1)得(x+y)min=1,(x+y)max=3.所以 1≤x+y≤3. 【答案】 [1,3] 8.A,B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已 知 A 产品需要在甲机器上加工 3 小时,在乙机器上加工 1 小时;B 产品需要在甲机器上加工 1 小时,在乙机器上加工 3 小时.在一个工作日内,甲机器至多只能使用 11 小时,乙机器 至多只能使用 9 小时.A 产品每件利润 300 元,B 产品每件利润 400 元,则这两台机器在一 个工作日内创造的最大利润是________元. 3x+y≤11, ? ? 【解析】 设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,则 x,y 满足约束条件?x+3y≤9, ? ?x∈N,y∈N, 生产利润为 z=300x+400y.

画出可行域, 如图中阴影部分(包含边界)内的整点, 显然 z=300x+400y 在点 A 处取得
?3x+y=11, ? 最大值,由方程组? ?x+3y=9, ?

解得?

? ?x=3, ?y=2, ?

则 zmax=300×3+400×2=1 700. 故最大利润是 1 700 元. 【答案】 1 700

4

x+2y-4≤0, ? ? 9.(2014·浙江高考)当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, ? ?x≥1
则实数 a 的取值范围是________.

时,1≤ax+y≤4 恒成立,

【解析】 画可行域如图所示,设目标函数 z=ax+y,即 y=-ax+z,要使 1≤z≤4
?1≤2a+1≤4, ? 恒成立,则 a>0,数形结合知,满足? ?1≤a≤4 ?

3 即可,解得 1≤a≤ .所以 a 的取值 2

3 范围是 1≤a≤ . 2

? 3? 【答案】 ?1, ? ? 2?
三、解答题
? ?1≤x≤3, 10.设 x,y 满足约束条件? ?-1≤x-y≤0, ?

(1)求 z=2x-y 的最大值. (2)若 z= x +y ,求 z 的取值范围.
2 2

【解】 (1)作出可行域如图阴影部分. 作直线 2x-y=0,并向右平移,当平移至直线过点 B 时,z=2x-y 取最大值. 而由?
? ?x=3, ?x-y=0, ?

得 B(3,3).

∴zmax=2×3-3=3. (2)z= x +y 表示可行域内的点到原点的距离,观察可行域知,可行域内的点 A 和点
2 2

C 到原点的距离分别为最大和最小.

5

又由?

?x=1, ? ?x-y=0, ?

得 A(1,1).

由?

? ?x=3, ?x-y=-1, ?

得 C(3,4).

故|OA|= 1+1= 2, |OC|= 3 +4 =5. ∴z 的取值范围为[ 2,5]. 11.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫 兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元. (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 ω (元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 【解】 (1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 ω =5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.
2 2

(2)约束条件为

整理得

目标函数为 ω =2x+3y+300.作出可行域.如图所

示:

初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,ω 有最大值. 由?
?x+3y=200, ? ?x+y=100, ?

得?

?x=50, ? ?y=50. ?

最优解为 A(50,50),所以 ω max=550 元. 所以每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,最大利润为 550 元.

6

12.已知实数 x、y 满足

y+1 试求 z=x+1的最大值和最小值.

【解】 由于 z= 连线的斜率,因此

y+1 y-?-1? = ,所以 z 的几何意义是点(x,y)与点 M(-1,-1) x+1 x-?-1?

y+1 的最值就是点(x,y)与点 M(-1,-1)连线的斜率的最值. x+1

结合图可知:直线 MB 的斜率最大,直线 MC 的斜率最小,即 zmax=kMB=3,此时 x=0,y 1 =2;zmin=kMC= ,此时 x=1,y=0. 2

7


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