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2018届北师大版 二次函数与幂函数(理科) 单元测试

第三节 二次函数与幂函数 题型 19 二次函数图像及应用——暂无 题型 20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 1.(2017 浙江理 5)若函数 f ? x ? ? x ? ax ? b 在区间 0, 1 上的最大值是 M ,最小值是 m , 2 ? ? 则M ?m( ). B. 与 a 有关,但与 b 无关 D. 与 a 无关,但与 b 有关 A. 与 a 有关,且与 b 有关 C. 与 a 无关,且与 b 无关 1.解析 2 函数 f ? x ? ? x ? ax ? b 的图像是开口朝上且以直线 x ? ? a 为对称轴的抛物线. 2 ①当 ? a a ? 1 或 ? ? 0 ,即 a ? ?2 ,或 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ?0,1? 上单调,此时 2 2 M ? m ? f ?1? ? f ? 0 ? ? 1 ? a ,故 M ? m 的值与 a 有关,与 b 无关; ②当 剟? 1 2 a a? ? ? a ? 1,即 ?2剟 a ? 1时,函数 f ? x ? 在区间 ?0, ? ? 上单调递减,在 ? ? ,1? 上 2 2? ? 2 ? ? 2 ? a? a ? ,故 M ? m 的值与 a 有 ? ? 2? 4 单调递增,且 f ? 0? ? f ?1? ,此时 M ? m ? f ? 0 ? ? f ? ? 关,与 b 无关; ③当 0? ? a 1 a? ? ? a ? ? ,即 ?1 ? a? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ?0, ? ? 上单调递减,在 ? ? ,1? 上 2 2 2? ? 2 ? ? 单调递增,且 f ? 0? ? f ?1? ),此时 M ? m ? f ?1? ? f ? ? 与 a 有关,与 b 无关. 综上可得, M ? m 的值与 a 有关,与 b 无关.故选 B. 题型 21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 a2 ? a? ? 1 ? a ? ,故 M ? m 的值 ? 4 ? 2? 1.(2015 陕西理 12)对二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ( a 为非零整数) ,四位同学分别给出 2 下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( A. ?1 是 f ( x ) 的零点 B.1 是 f ( x ) 的极值点 ) . C.3 是 f ( x ) 的极值 1.解析 D. 点 (2,8) 在曲线 y ? f ( x) 上 观察四个选项会发现 B,C 这两个选项是“配套”的,所以以此为切入点,假设 B,C 2 正确,即 (1,3) 为 y ? ax ? bx ? c 的顶点.由于抛物线开口向下时,D 肯定错;抛物线开口向 上时,A 肯定错. 由此说明 A 与 D 中必有一个错误.假设 A 正确, ?0 ? 2a ? b = 3 3 ? 则有 ?a ? b ? c ? 3 ? b ? , a ? ? ,与条件 a 为整数矛盾,说明 A 错误. 故选 A. 2 4 ?a ? b ? c ? 0 ? y y 4 3 2 1 O 1 2 x 4 3 2 1 O 1 2 x 2 2.(2015 浙江理 18)已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? b ? a, b ? R ? ,记 M ? a, b ? 是 f ? x ? 在区间 ??1,1? 上的最大值. (1)证明:当 a … 2 时, M ? a, b ? …2 ; (2)当 a , b 满足 M ? a, b? ? 2 ,求 a ? b 的最大值. 2. 解析(1)由 f ( x) ? ( x ? ) ? 2 a 2 a a2 ? b ,得对称轴为直线 x ? ? . 2 4 因为 a … 2 ,所以 ? 所以 M (a, b) ? max a ? ? ??, ?1? ? ?1, ?? ? ,所以 f ( x) 是 [ ?1,1] 上的单调函数, 2 ? f (?1) , f (1) ? ? ? 1 ? a ? b , 1 ? a ? b ? . 2 时,由 f (1) ? f (?1) ? 2a… 4 ,得 max{ f (1), ? f (? 1)} …2, 解法一:(分类讨论) 当 a… 2 ; 当 a? ? 2 时,由 f (?1) ? f (1) ? ?2a… 4 ,得 max{ f (?1), ? f (1)}… 2, 即 M (a, b)… 2. 即 M (a, b)… 2. 综上所述,当 a … 2 时, M (a, b)… 解法二(利用绝对值的性质,及最大值的含义) : M (a, b) ? max ? 1 ? a ? b , 1 ? a ? b ? 厖 1? a ? b ? 1? a ? b 2 1 ? a ? b ? ?1 ? a ? b ? 2 ? a …2 (2)解法一 :当 M (a, b)? 2 时,由(Ⅰ)知, a ? 2 ,所以对称轴 x ? ? a ? ? ?1,1? . 2 ? ? ? ? f ( ?1) ? 2 ?1? a ? b ? 2 ? ? ? 由题意知, ? f (1) ? 2 ,即 ? 1 ? a ? b ? 2 . ? ? 2 ? f (? a ) ? 2 ?? a ?b ? 2 ? ? 2 ? ? 4 画出可行域,利用线性规划即可求得 a ? b ? ? max ?3. 解法二: ? ? ? ? f (1) ? 1 ? a ? b ? 2 ?a?b ? 3 , ?? ? ? ? f (?1) ? 1 ? a ? b ? 2 ? a ?b ? 3 ? a ? b , ab… 0 ? ,所以 a ? b ? 3 . ? ? a ? b , ab ? 0 所以 a ? b ? ? 当 a ? 2, b ? ?1时, a ? b ? 3 ,且 x 2 ? 2 x ?

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