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数学:1.1《任意角和弧度制》学案(新人教A版必修4)

§1.1.1 任意角 总第 1 课时 学习目标:1.理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角. 2.能在 0?到 360?范围内,找出一个与已知角终边相同的角,并判定其为第几象限 角. 3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合. 学习重点:将 0?到 360?的角概念推广到任意角. 学习难点:终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来. 学习过程: 一、情境设置 体操跳水比赛中有“转体 720?” , “翻腾转体两周半”这样的动作名称, 720?在这里表示什么?
二、探究研究 问题 1:在初中我们是如何定义一个角的?角的范围是什么? 问题 2: (1)手表慢了 5 分钟,如何校准,校准后,分针转了几度? (2)手表快了 10 分钟, 如何校准,校准后,分针转了几度? 问题 3:任意角的定义(通过类比数的正负,定义角的正负和零角的概念) . 问题 4:能否以以同一条射线为始边作出下列角吗? 210? - 150? -660?

问题 5:上述三个角分别是第几象限角,其中哪些角的终边相同.
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

问题 6:具有相同终边的角彼此之间有什么关系,你能写出与 60?角的 终边 相同的角的集合吗? 三、教学精讲 例 1:在 0?到 360?的范围内,找出与下列各角终边相同的角,并分别判 断它们是第几象限角: (1)650? (2)-150? (3)-990?15? 变式训练: (1)终边落在 x 轴正半轴上的角的集合如何表示?如终边落在 x 轴上呢?(2) 终边落在坐标轴上的角的集合如何表示? 例 2:若α 与 240?角的终边相同 (1)写出与 ? 的终边关于直线 y=x 对称的角 ? 的集合.
? 2

(2)判断

是第几象限角.

变式训练:若 ? 是第三象限角,则- ? , ? ,2 ? 分别是第几象限角.
2

例 3:如图,写出终边落在阴影部分的角的集合(包括 边界). y y
[来源 :学科网 ZXXK]

120? 45?

O

x
210?

O

x

变式训练: (1)第一象限角的范围________________. (2)第二、四象限角的范围是 _________________. 四、巩固练习

[来源:学 .科.网 Z.X.X.K]

1、已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90°的角},那么 A、B、C 关系是( A.B=A∩C B.B∪C=C C.A ? C D.A=B=C 2、下列结论正确的是( ) Α .三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角 C.不相等的角终边一定不同 D.



?? | ? ? k ? 360 ? 90 , k ? Z?= ?? | ? ? k ?180 ? 90 , k ? Z?
? ? ? ?

3、若角α 的终边为第二象限的角平分线,则α 的集合为______________________. 4、在 0°到 360°范围内,与角-60°的终边在同一条直线上的角为 5、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角: 五、小结反思:本节内容延伸的流程图为: 0?—360?的角 .

任意角:正角,负角和零角
[来源 :学科网]

象限角

终边相同的角的表示

六、自我测评:
1、下列说法中,正确的是( )

A.第一象限的角是锐角 B.锐角是第一象限的角 C. 小于 90°的角是锐角 D.0°到 90°的角是第一象限的角

2、 (1)终边相同的角一定相等; (2)相等的角的终边一定相同; (3)终边相同的角有无限多个; (4)终边相同的角有有限多个. 上面 4 个命题,其中真命题的个数是 ( ) A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个
3、终边在第二象限的角的集合可以表示为: A. {α ∣90°<α <180°} B. {α ∣90°+k· 180°<α <180°+k· 180°,k∈Z} C. {α ∣-270°+k· 180°<α <-180°+k· 180°,k∈Z} D. {α ∣-270°+k· 360°<α <-180°+k· 360°,k∈Z} 4、与 1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________. ( )

5、在直角坐标系中,若角 ? 和角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 和角 ? 之 间的关系是 ( A、 ? ? ? ? 90? C、 ? ? ? ? 90? )
[来源:学|科|网]

B、 ? ? k ? 360? ? 90? ? ? (k ? z) D、 ? ? k ? 360? ? 90? ? ? (k ? z)

6、 (1)若角 ? 的终边为第二象限的角平分线,则角 ? 集合是 . (2)若角 ? 的终边为第一、三象限的角平分线,则角 ? 集合是 . 7、将下列落在图示部分的角(阴影部分) ,用集合表示出来(包括边界).
135?

y
30
?

y
135?

60?

O

x

O

x

8、角 ? , ? 的终边关于 x ? y ? 0 对称,且 ? =-60°,求角 ? .

§1.1.2 弧度制 总第 2 课时 执笔: 王计文 王振华 罗鹏旺 授课时间; 年 月 日 学习目标:1.理解弧度制的意义,正确地进行弧度制与角度制的换算,熟记特殊 角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集 R 之间可以建立起一一对应关系. 3.掌握弧度制下的弧长 公式,会利用弧度制、弧长公式解决某些简 单的实际问题. 学习重点:进行弧度制与角度制的换算. 学习难点:弧度制的概念. 学习过程: 一、情境设置 在 初中,我们常用量角器量取角的大小,那么角的大小的度量单位为什么? . 二、探究研究 问题 1:什么叫角度制? 问题 2:角度制下扇形弧长公式是什么?扇形面积公式是什么? 问题 3:分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.

问题 4:什么是 1 弧度的角?弧度制的定义是什么? . 问题 5:弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的? 问题 6:角的集合与实数集 R 之间建立了________对应关系。 问题 7:回忆初中弧长公 式,扇形面积公式的推导过程。回答在弧度制下的弧长公式, 扇形面积公式。 三、教学精讲 例 1:把下列各角进行弧度与度之间的转化(用两种不同的方法) (1)
3? 5

(2)3.5

(3)252?

(4)11?15?

变式训练:①填表 角 度 制 弧 度 制 0?
? 6

45?

60?

90?
2? 3 5? 4

150?

180?
3? 2

315?
2?

②若 ? ? ?6 ,则 ? 为第几象限角? ③用弧度制表示终边在 y 轴上的角的集合________________. 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合________________. 例 2: ①已知扇形半径为 10cm,圆心角为 60?,求扇形弧长和面积

②已知扇形的周长为 8cm , 圆心角为 2rad,求扇形的面积 变式训练(1) :一扇形的周长为 20cm,当扇形的圆心角 ? 等于多少弧度时,这个扇形的面 积最大,并求此扇形的最 大面积. . 变式训练 (2): A ? {x | x ? k? ? (?1) k ? 则 A、B 之间的关系为 四、巩固练习 1、将下列弧度转化为角度: (1)

?
2

, k ? z}, B ? {x | x ? 2k? ?

?
2

, k ? z}

.

? = 12

°; (2)-

7? = 8

°

′; (3)

13? = 6

°;

2、将下列角度转化为弧度: (1)36°= rad; (2)-105°= rad; (3)37°30′= rad;

3、已知集合 M ={x∣x = k ?

? ? , k ∈Z} ,N ={x∣x = k ? ? ? , k∈Z} ,则 ( ) 2 2
B.集合 N 是集合 M 的真子集

A.集合 M 是集合 N 的真子集

C.M = N D .集合 M 与集合 N 之间没有包含关系 4、圆的半径变为原来的 2 倍,而弧长也增加到原来的 2 倍,则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的 2 倍 D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 5、如图,用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界) .

, 五、小结反思: 角度制与弧度制是度量角的两种制度。在进行角度与弧度的换算时关键要 抓住 180?= ? rad 这一关系式,熟练掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式. 六、自我测评: 1、把 ?

11? 表示成 ? ? 2k? (k ? z ) 的形式,使 | ? | 最小的 ? 为( 4 3? ? 3? ? A、 ? B、 C、 D、 ? 4 4 4 4



5 2、角α 的终边落在区间(-3π ,- π )内,则角α 所在象限是 2

( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3、已知扇形的周长是 6cm ,面积为 2cm 2 ,则扇形弧度数是(
A、1 B、4 C、1 或 4 4、将下列各角的弧度数化为角度数: (1) ? D、2 或 4



7? ? 6

度; (2) ? 度;
?

8? ? 3
度.

度;

(3)1.4 =

(4)

2 ? 3

5、若圆的半径是 6cm ,则 15 的圆心角所对的弧长是 所对扇形的面积是 6、已知集合 A ? {x | k? ? .



?
3

? x ? k? ?

?
2

, k ? z}, B ? {x | 4 ? x 2 ? 0} ,求 A ? B .

7、已知一个扇形周长为 C (C ? 0) ,当扇形的中心角为多大时,它有最大面积?

8、如图,已知一长为 3dm ,宽为 1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚,翻 滚到第三面时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成 30 的角,问点 A 走过的路程及 走过的弧度所在扇形的总面积?
A
3
?

A3 A1

1B

C A2

D


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