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2017年北京市顺义高三二模数学(理)试题及答案


顺义区 2017 届高三第二次统练 数学试卷(理科) 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项)

1. 设集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | 3x ? 4 ? 0} ,则 A ? B ?

A. ( ?2, ? )

4 3

B. ( ?2, )

4 3

C. (1, )

4 3

D. (2, ??)

2.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 值为

A.

11 6

B.

13 6

C.

25 12

D.

29 12

3.已知向量 AB ? (1, 3), AC ? (?1, 3) , 则 ? BAC= A.300 B.450 C.600 D.1200

??? ?

??? ?

4. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积为

A. 8

B. 8 ? 4 10

C. 2 10 ? 13

D. 4 10 ? 2 13

5. 已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内.则“直线 a 和直线 b 垂直”是“平面 α 和平面 β 垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影.由区域

?x ? 2 y ? 0 ? 中的点在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上的投影构成的线段记为 AB,则│AB│= ?x ? y ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A.

5 2

B.

3 5 2

C.2 2

D.8

7.将函数 y ? sin(2 x ?
' '

?
6

) 图象上的点 M (? ,

? 3 ) (0 ? ? ? ) 向右平移 t (t ? 0) 个单位长 4 2
?
12

度得到点 M .若 M 位于函数 y ? sin 2 x 的图象上,则 A. ? ?

?
12

, t 的最小值为

?
12

B. ? ? D. ? ?

, t 的最小值为

? 6

C. ? ?

?
6

, t 的最小值为

? 6

?
6

, t 的最小值为

?
12

8. 某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、 促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每 10 人推选一名候选人 , 当各班人数除以 10 的余数大于 7 时再增选一名候选人, 那么, 各班可推选候选人人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y ? [ x] ( [ x ] 表示不大于 x 的最大整数)可以 表示为

A. y ? [

x ] 10

B. y ? [

x?2 ] 10

C. y ? [

x?3 ] 10

D. y ? [

x?4 ] 10

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.` 已知 z ? (a ? 2) ? ( a ? 1)i 在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是

________ .
2 10.在 ( x ?

1 8 ) 的展开式中, x7 的系数为________.(用数字作答) 2x

11. 已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 a2 ? 4 , S8 ? ?8 ,则 a10 ? _______. 12. 在极坐标系中,圆 ? ? ?2cos ? 的圆心 C 到直线 2? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 的距离 等于______.

13. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,若 l 与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 的交点为 A, B , 且 AB ? 2 3 .则 p 的值为_______.

14.已知函数

3 ? ? x , x ? m, f ( x) ? ? 2 ,函数 g ( x) ? f ( x) ? k . x , x ? m . ? ?

(1)当 m ? 2 时,若函数 g ( x) 有两个零点,则 k 的取值范围是 (2)若存在实数 k 使得函数 g ( x) 有两个零点,则 m 的取值范围是

; .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 13 分)

在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,已知

a b 3 cos B+ cos A ? . c c 2cos C

(I)求 ?C 的大小; (II)求 sin B ? 3 sin A 的最小值.

16. (本小题满分 13 分) 春节期间,受烟花爆竹集中燃放影响,我国多数城市空气中 PM2.5 浓度快速上升, 特别是在大气扩散条件不利的情况下, 空气质量在短时间内会迅速恶化.2017 年除夕 18 时和初一 2 时, 国家环保部门对 8 个城市空气中 PM2.5 浓度监测的数据如下表 (单位: 微克/立方米).
除夕 18 时 PM2.5 浓度 北京 天津 石家庄 廊坊 太原 上海 南京 杭州 75 66 89 102 46 16 35 131 初一 2 时 PM2.5 浓度 647 400 375 399 115 17 44 39

(Ⅰ)求这 8 个城市除夕 18 时空气中 PM2.5 浓度的平均值; (Ⅱ)环保部门发现:除夕 18 时到初一 2 时空气中 PM2.5 浓度上升不超过 100 的城市都 是"禁止燃放烟花爆竹"的城市, 浓度上升超过 100 的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以 上 8 个城市中随机选取 3 个城市组织专家进行调研,记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城 市个数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ) 记 2017 年除夕 18 时和初一 2 时以上 8 个城市空气中 PM2.5 浓度的方差分别为
2 2 2 ,比较 s1 和 s2 的大小关系(只需写出结果). s12 和 s2

17. (本小题满分 14 分) 如图,正三角形 ABE 与菱形 ABCD 所在的平面互相垂直, AB ? 2 , ?ABC ? 60? ,

M 是 AB 的中点.
(I)求证: EM ? AD ; (II)求二面角 A ? BE ? C 的余弦值; (III) 在线段 EC 上是否存在点 P , 使得直线 AP 与平面 ABE 所成的角为 45 ? , 若存在,
E

EP 求出 的值;若不存在,说明理由. EC
A M B C D

18. (本小题满分 14 分)
已知函数 f ?x ? ? pe? x ? x ? 1 ? p ? R? . (Ⅰ)当实数 p ? e 时,求曲线 y ? f ?x ? 在点 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ?x ? 的单调区间; (Ⅲ)当 p ? 1 时,若直线 y ? m x ? 1 与曲线 y ? f ?x ? 没有公共点,求实数 m 的取值范 围.

19.(本小题满分 13 分)
x2 y2 3 1 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 经过点 ( ?1, ) ,其离心率 e ? . 2 2 a b
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相切,切点为 T ,且 l 与直线 x ? ?4 相交于点 S . 试问:在 x 轴上是否存在一定点,使得以 ST 为直径的圆恒过该定点?若存在,求 出该点的坐标;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 13 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若对 ?n ? N ? ,总 ?k ? N ? ,使得 Sn ? ak ,则称数列

{an } 是“ G 数列”.
(Ⅰ) 若数列 {an } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? ?1 . 证明: 数列 {a n } 是“ G 数 列”; (Ⅱ)若数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3 (n ? N ) ,判断数列 {a n } 是否为“ G 数列”,
n ?

并说明理由; (Ⅲ)证明:对任意的等差数列 {an } ,总存在两个“ G 数列” {bn } 和 {c n } ,使得

an ? bn ? cn (n ? N ? ). 成立.

顺义区 2017 届高三第二次统练 数学试卷答案(理科) 一、DCC D 二、 9. (?1, 2) 10. 7 11. -12 12.
4 5 5

DBAB

13. 4 或 8

14. ?4,8? ; ?? ?,0? ? ?1,???
三、

15. 解(I)由正弦定理,得

a s i n A b s i nB ? , ? ,---------------------------------1 分 c s i nC c s i n C

所以,

sin A cos B ? sin B cos A 3 ? . sin C 2cos C
-----------------------------------3 分



sin( A ? B) 3 . ? sin C 2cos C

∵ A ? B ? C ? π , A , B , C ? ?0 , π? , ∴ sin ? A ? B ? ? sin C.
3 . 2

-----------------------------------4 分

∴ 2cos C ? 3 , cos C ?

-----------------------------------5 分

∵ C ? ? 0 ,π ? ,

∴C ?

π . 6

-----------------------------------6 分

(II)∵ A ? B ? C ? π, ∴ A? B ? π.
5 6

-----------------------------------7 分

∴ sin B ? 3 sin A ? sin( ? ? A) ? 3 sin A

5 6

1 3 ? cos A ? sin A ? 3 sin A 2 2
π 1 3 ? cos A ? sin A ? cos( A ? ) . 3 2 2

-----------------------------------9 分 -----------------------------------11 分

∵ A? B ? π, ∴ A ? (0, π) , ∴ A ? ?( ,
π 3 π 3 π 7? ). 3 6 5 6

5 6

-----------------------------------12 分

∴ cos( A ? ) 最小值为-1. 即 sin B ? 3 sin A 的最小值为-1. -----------------------------------13 分

16.解:(Ⅰ)8 个城市除夕 18 时空气中 PM2.5 浓度的平均值

v?

75 ? 66 ? 89 ? 102 ? 46 ? 16 ? 35 ? 131 ? 70 .-------------------------------3 分 8

(Ⅱ)以上 8 个城市中禁止燃放烟花爆竹的有太原,上海,南京,杭州 4 个城市,---4 分 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.------------------------------------5 分

P( X ? 0) ?

0 3 C4 C4 1 ? , 3 C8 14

1 2 C4 C4 6 P( X ? 1) ? ? , 3 C8 14

2 1 C4 C 6 P( X ? 2) ? 3 4 ? , C8 14

P( X ? 3) ?

3 0 C4 C4 1 ? . 3 C8 14

X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

1 14

6 14

6 14

1 14

-----------------------------------------------------------------------9 分

X 的数学期望 EX ? 0 ?

1 6 6 1 21 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? . 14 14 14 14 14 2

-------------11 分

2 2 (Ⅲ) s1 < s2 . ----------------------------------------------------------13 分

17.(Ⅰ)证明:∵ EA ? EB , M 是 AB 的中点, ∴ EM ? AB. --------------------------------------------------------------------1 分 ∵平面 ABE ? 平面 ABCD, -----------------------------------------------------2 分 平面 ABE ? 平面 ABCD ? AB,

EM ? 平面 ABE,
∴ EM ? 平面 ABCD. -----------------------------------------------------------3 分

AD ? 平面 ABCD ,
∴ EM ? AD . -----------------------------------------------------------------4 分

(Ⅱ)解:∵ EM ? 平面 ABCD , ∴ EM ? MC . 显然△ ABC 是正三角形, 则 MC ? AB . ∴ MB, MC, ME 两两垂直. 建立如图所示空间直角坐标系 M - xyz .-----------------------------------------5 分 则 M (0,0,0) , A(?1,0,0) , B(1,0,0) , C (0, 3,0) , E (0,0, 3)

z

??? ? BC ? (?1, 3,0) , BE ? (?1,0, 3).
设 m ? ( x, y, z) 是平面 BCE 的一个法向量 则?

E

? ?m ?BC ? 0 ? ?m ? BE ? 0

A

D

即?

? ?? x ? 3 y ? 0 ? ?? x ? 3 z ? 0

M

x

B C

y

令 z ? 1 得 m ? ( 3,1,1) ,--------------------------------------------------------------7 分

因为 y 轴与平面 ABE 垂直. 所以 n ? (0,1,0) 是平面 ABE 的一个法向量.----------------------------------------8 分

?

?? ? ?? ? m?n 1 5 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? , ------------------------------------------------9 分 5 ?1 5 m n
所以二面角 A ? BE ? C 的余弦值为

5 .------------------------------------------10 分 5

(III)解:假设在线段 EC 上存在点 P ,使得直线 AP 与平面 ABE 所成的角为 45 ? .

AE ? (1,0, 3) , EC ? (0, 3,? 3) ,
设 EP ? ? EC ? (0, 3?,? 3? ) , (? ? [0,1]) 则 AP ? AE ? EP ? (1, 3?, 3 ? 3?) . ------------------------------------------------11 分

??? ? ? 由 sin 45? ? cos ? AP, n ? ?

??? ? ? AP ? n ??? ? ? AP n

?

3? 1 ? 3? 2 ? 3 ? 6? ? 3? 2 ?1

?

2 , 2

解得 ? ?

2 ----------------------------------------------------------------------------------13 分 3 EP 2 ? .----------------------------------------------------------------14 分 EC 3

所以存在点 P ,且

18.解:(Ⅰ)当 p ? e 时, f ?x ? ? e ? x?1 ? x ? 1 , f ??x ? ? ?e ? x?1 ? 1 ∴ f ?1? ? 3 , f ??1? ? 0 ∴曲线 y ? f ?x ? 在点 x ? 1 处的切线方程为 y ? 3 -----------------------------4 分

(Ⅱ)∵ f ?x ? ? pe? x ? x ? 1 ,∴ f ??x ? ? ? pe? x ? 1 ---------------------------------5 分 ①当 p ? 0 时, f ??x? ? 0 ,则函数 f ?x ? 在的单调递增区间为 ?? ?,??? ; -----------------------------------6 分 ②当 p ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 e x ? p ,解得 x ? ln p .---------------------7 分

则当 x 变化时, f ?? x ? 的变化情况如下表:

x
f ?? x ?
f ?x ?

?? ?, ln p ?
?
?

ln p
0

?ln p,???
?
?

2 ? ln p

------------------------------9 分 所以, 当 p ? 0 时, f ?x ? 的单调递增区间为 ?ln p,??? , 单调递减区间为 ?? ?, ln p ? . ------------------------------10 分 (Ⅲ)当 p ? 1 时, f ?x ? ? e ? x ? x ? 1 ,直线 y ? m x ? 1 与曲线 y ? f ?x ? 没有公共点, 等价于关于 x 的方程 mx ? 1 ? e
?x

? x ? 1 在 ?? ?,??? 上没有实数解,

即关于 x 的方程 ?m ? 1?x ? e ? x (*)在 ?? ?,??? 上没有实数解.
?x ①当 m ? 1 时,方程(*)化为 e ? 0 ,

显然在 ?? ?,??? 上没有实数解. ②当 m ? 1 时, 方程 (*) 化为 xe x ?

--------------------------------12 分

1 , 令 g ?x ? ? xe x , 则有 g ??x ? ? ?1 ? x ?e x . m ?1

令 g ??x ? ? 0 ,得 x ? ?1 ,则当 x 变化时, g ? ? x ? 的变化情况如下表:

x
g? ? x? g ? x?

? ??, ?1?
?
?

?1

? ?1, ?? ?
?
?

0
? 1 e

当 x ? ?1 时, g ? x ?min ? ? ,同时当 x 趋于 ?? 时, g ? x ? 趋于 ?? , 从而 g ? x ? 的值域为 ? ? , ?? ? . 所以当

1 e

? 1 ? e

? ?

-----------------------------------13 分

1 1 ? ? 时, 方程 (*) 无实数解, 解得实数 m 的取值范围是 ?1 ? e,1? . m ?1 e

综合①②可知实数 m 的取值范围是 ?1 ? e,1?.----------------------------14 分

19.解:(Ⅰ)由点 ( ?1, ) 在椭圆上得,
2 2 依题设知 a ? 2c ,则 b ? 3c .

3 2

1 9 ? 2 ? 1-----------------① 2 a 4b

----------------------------------②

②代入①解得 c2 ? 1, a2 ? 4, b2 ? 3 故椭圆 E 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

---------------------------------4 分

? y ? kx ? m ? (Ⅱ)由 ? x 2 y 2 消去 y ,得 ? ?1 ? 3 ?4

?4k

2

? 3 x 2 ? 8kmx? 4m2 ? 12 ? 0 .

?

-----------------------------------5 分

因为动直线 l 与椭圆 C 相切,即它们有且只有一个公共点 T ,可设 T ?x0 , y 0 ?, 所以 m ? 0 且 ? ? 0 , 即 64k 2 m 2 ? 4 4k 2 ? 3 4m 2 ? 12 ? 0 ,化简得 4k 2 ? m 2 ? 3 ? 0 ------------③ 此时, x0 ? ? 由?

?

??

?

4km 4k 3 4k 3 ?? , ). , y 0 ? kx 0 ? m ? ,所以点 T 的坐标为 ( ? 2 m m m m 4k ? 3
-----------------------------------9 分

? x ? ?4 得 S ?? 4,?4k ? m? . ? y ? kx ? m

假设在 x 轴上存在定点满足条件,不妨设为点 A?x1 ,0? . 则由已知条件知 AS ? AT ,即 AS ? AT ? 0 对满足③式的 m, k 恒成立. 因为 AS ? ?? 4 ? x1 ,?4k ? m? , AT ? ? ?

3? ? 4k ? x1 , ? ,由 AS ? AT ? 0 得 m? ? m

16 k 4kx1 12 k k ? ? 4 x1 ? x12 ? ? 3 ? 0 ,整理得 ?4 x1 ? 4? ? x12 ? 4 x1 ? 3 ? 0 --------④ m m m m
由④式对满足③式的 m, k 恒成立,所以 ?

? 4 x1 ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? ?1. 2 ? x1 ? 4 x1 ? 3 ? 0

故在 x 轴上存在定点 ?? 1,0? ,使得以 ST 为直径的圆恒过该定点.-----------------13 分

20.解(1)由题意 an = 1 + (n - 1)(- 1) = 2 - n ,

---------------------------1 分

Sn = n +

n (n - 1) (- 1) , 2 n (n - 1) (- 1) = ak = 2 - k , 2

-----------------------------------2 分

若Sn = n + 则k ? 2?

-----------------------------------3 分

n(n ? 1) ?n. 2

所以,存在 k ? N ? ,使得 Sn ? ak . 所以, 数列 {an } 是“ G 数列. (2)解:首先 a1 = S 1 = 3 , 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2 ? 3 所以 a n ? ?
n?1

---------------------------------------4 分



?3, n ? 1
n ?1 ?2 ? 3 , n ? 2



-----------------------------------6 分

当 n ? 2 时, 9 ? 2 ? 3k ?1 ,得 k ? N ? 因此数列 {an } 不是“ G 数列”. ----------------8 分

n , (3)若 dn = b ( b 为常数), 则数列 {dn } 的前 n 项和 S n ?
中的第

n(n ? 1) b 是数列 {dn } 2

n(n ? 1) 项,因此数列 {dn } 是“ G 数列”. 2

对任意的等差数列 {an } , an = a1 + (n - 1)d ,( d 为公差), 设 bn = na1 , cn = (d - a1 )(n - 1) , 则

an = bn + cn

,而数列

{bn }



{cn }

都是“ G 数列”.--------------------------------13 分


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