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双曲线的几何性质（1） [目标要求] 1．掌握双曲线的几何性质. 2．能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚轴、焦点、离心率、渐近线方程. 3．根据已知条件求双曲线的标准方程. [重点难点] 重点：双曲线的几何性质. 难点：双曲线的渐近线. [典例剖析] 例1、 求双曲线 x2 ? y2 ? 1 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方 43 程. 例 2、（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上，焦距为 16，离心率为 4 ， 3 求双曲线的方程. （2）已知双曲线的两条渐近线方程是 y ? ? 3 x, 焦点坐标是 (0, ? 26), (0, 26) ， 2 求双曲线的标准方程. 1 (3）求与双曲线 y 2 ? x 2 ? 1有共同的渐近线，且经过点 M (3,?2) 的双曲线的标准方程. 43 例 3、以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线. 求证：（1）双曲线与它的共轭双曲线有共同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上. [学后反思] 1、 双曲线 x2 － y2 a2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为 _______，实轴长为____，虚轴长为____，其上任意一点 P(x,y) 的横坐标均满足 __________ 2、 双曲线的离心率 e ? c 的取值范围是_________，其中 c2 ? ___,且 b ? a a 离心率 e 越大，双曲线的开口越大 e2 ?1 ， 3、 双曲线 x2 － y2 a2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为__________，也可记为_________； 与双曲线 x2 － y2 a2 b2 ? 1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为________ ； 双曲线 x2 a2 － y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的共轭双曲线方程为_________ ； 2 等轴双曲线的方程为________ ． [课堂练习] 1、 求适合下列条件双曲线的标准方程 (1) 顶点在 x 轴，焦距为 10, 离心率为 5 4 (2) 焦点在 y 轴，一条渐近线为 y ? 4 x ，实轴长为 12 3 (3) 渐近线方程为 y ? ? 3 x ，焦点坐标为 (? 26, 0) 4 ______________ _______________ ________________ 2、 经过点 A (3, ?1) ，且对称轴是坐标轴的等轴双曲线的方程为 _______________ 3、 以椭圆 x2 ? y2 ? 1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的方程是_____________ 85 4、 已知双曲线 x2 － y2 a2 b2 ? 1的两条渐近线的夹角为 60? ，则它的离心率为_____________ 江苏省泰兴中学高二数学课后作业（11） 班级: 姓名: 学号： 【A 组题】 1、 双曲线的实轴长，虚轴长，焦距成等比数列，则双曲线的离心率为_____________. 2、 双曲线 x2 － y2 ? 1的共轭双曲线的离心率是______________. 9 16 3、 与 双 曲 线 x2 ? 2y2 ? 2 共 渐 近 线 , 且 一 个 焦 点 为 (0, ?6) 的 双 曲 线 方 程 是 _____________. 4、双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2 倍，且一个顶点的坐标为（0, 2），则双 曲线的标准方程为 __________________. 5、设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B ，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直，那么此双曲线的离心率等于______________. 6、若双曲线经过点 ( 3, 6) ，且它的两条渐近线的方程为 y ? ?3x ，则双曲线的方程为 _________ 7、 椭圆 x2 4 ? y2 m2 ? 1与双曲线 x2 m ? y2 2 ? 1 有相同的焦点，则 m 的值是__________ 3 8、求与双曲线 x2 － y2 ? 1有公共的渐近线，且经过点 A (?3, 2 3) 的双曲线方程. 9 16 9、设双曲线 x2 － y2 a2 b2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的半焦距为 c, 直线 l 过点 (a,0),(0,b) , 已知原点到直线 l 的距离为 3 c ,求双曲线的离心率. 4 【B 组题】 1、双曲线的渐近线方程是 3x ? 4y ? 0 ，则双曲线的离心率 e=___________ 2、求与椭圆 x2 + y2 = 1有公共焦点的双曲线方程，使得以此双曲线与椭圆的四个交点为 82 顶点的四边形的面积最大. 4 3.已知 F1 , F2 为双曲线 x2 a2 － y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于 点 P，且 ?PF1F2 ? 30? ，求双曲线的渐近线方程. 5 - 高氯酸 对阿胶 进行湿 法消化 后, 用 导数火 焰原子 吸收光 谱技术 测定阿 胶中的 铜、“中 药三大 宝, 人 参、鹿 茸和阿 胶。”阿胶 的药用 已有 两千多 年的悠 久历史, 历代 宫① 马 作峰. 论疲劳 源于肝 脏[J]. 广西中 医药,20 08,31( 1):31. ① 史 丽萍,马 东明, 解丽芳 等.力 竭性运 动对小 鼠肝脏 超微结构 及肝糖 原、肌糖 元含量 的影响 [J]. 辽宁中 医杂志 ,① 王 辉武, 吴行明, 邓开蓉 .《内经 》“肝者 罢极之 本”的临 床价值 [J] . 成都中 医药大 学学报 ,1997, 20(2): 9.

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