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高考函数总复习


函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相 对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 2.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (5)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3. 相同函数的判断方法: (满足以下两个条件) ①定义域一致 (化简前); ②表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ; 4.值域: 先考虑其定义域; 求值域的方法: (1)图像观察法(掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、 b y ? ax ? (a, b ? 0) 三角函数等的图像,利用函数单调性) ; x (2)基本不等式 (3)换元法 (4)判别式法 5. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈D)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x, y)的集合 C, 叫做函数 y=f(x),(x ∈D)的图象. C 上每一点的坐标(x, y)均满足函数关系 y=f(x), 反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y)均在 C 上 . (2) 画法: 描点法 图象变换法:常用变换方法有三种:平移变换 伸缩变换 对称变换 6.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; 7.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 8.复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)

(3)区间的数轴表示.

称为 f、g 的复合函数。

函数的性质
1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间。
1

(2)减函数 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间。 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (3) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的。 (4)函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: ○ 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;○ 2 作差 f(x1)-f(x2);○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ; ○ 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ;○ 5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降) (C)导数法:导函数大于零为增函数,导函数小于零为减函数。 (5)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性相关,规律: “同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间写成其并集. 2.函数的奇偶性(整体性质)也称函数的对称性。 (1)偶函数:关于 Y 轴对称的函数叫做偶函数。 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数。 (2)奇函数:关于原点对称的函数叫做奇函数。 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= -f(x),那么 f(x)叫做奇函数。 注:如果奇函数在 x=0 处有定义,则 f(0)=0 (3)具有奇偶性的函数的图象的特征: 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. (4)函数奇偶性判定方法: (A)定义法 ○ 1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○ 2 求出 f(-x),与 f(x)进行比较; ○ 3 作结论:若 f(-x) = f(x),则 f(x)是偶函数;若 f(-x) = -f(x),则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点 对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,再根据定义判定。 (B)借助函数的图象判定 . 3、函数的解析表达式 (1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间 的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有:凑配法、待定系数法、换元法、构造法 4、函数最大(小)值 (1)一般的,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (a)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M ; (b)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M ;那么称 M 为 y ? f ( x) 的最 大值。同理可得函数的最小值的概念。 (2)求函数最值的方法 ○ 1 利用二次函数的性质(配方法) ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
2

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最小值 f(b);

函数的概念
一、选择题 1.集合 A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从 A 到 B 的函数是( ) 1 1 2 A. f : x ? y ? x B. f : x ? y ? x C. f : x ? y ? x D. f : x ? y ? x 2 3 3 2.某物体一天中的温度是时间 t 的函数: T (t ) ? t 3 ? 3t ? 60 ,时间单位是小时,温度单位为℃, t ? 0 表示 12:00,其后 t 的取值为正,则上午 8 时的温度为( ) A.8℃ B.112℃ C.58℃ D.18℃ 3.函数 y= x+1+ 1 ? x 的定义域是 A. (-1,1) B.[0,1] C.[-1,1] D. (- ? ,-1) ? (1,+ ? ) 4.函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a 的交点个数有( ) A.必有一个 B.一个或两个 C.至多一个 D.可能两个以上 1 5.函数 f ( x) ? 2 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是( ) ax ? 4ax ? 3 3 3 3 A. R B. [ 0 , ] C. [ ,?? ) D. [0, ) 4 4 4 二、填空题 6. 某种茶杯, 每个 2.5 元, 把买茶杯的钱数 y(元)表示为茶杯个数 x(个)的函数, 则 y=________, 其定义域为________. 1 7.函数 y= x+1+ 的定义域是(用区间表示)________. 2-x 三、解答题 1 8.求函数 y=x+ 2 的定义域. x -4 1 9.已知函数 f ( x) 的定义域为[0,1],求函数 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 的定义域(其中 0 ? a ? ). 2

1 10.已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1(1)求 f (2) (2)求 f ( ? 1) (3)若 f ( x) ? 5 ,求 x 的值. x

函数相等、函数的值域
1.下列各题中两个函数是否表示同一函数?
x2 ? 4 , g ( x) ? x ? 2 ( x?2 ? x ? 1( x ? 1) (3) f ( x) ? x 2 ? 2 x , g (t ) ? t 2 ? 2t ( )(4) f ( x) ?| x ? 1 | , g ( x) ? ? ?1 ? x( x ? 1) 2.下列函数中值域是(0,+ ? )的是 ( ) 1 2 A. y ? 2 x ? 1( x ? 0) B. y ? x 2 C. y ? 2 D. ( x ? 0) x ?1 x 2 3.设函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 ,则 f (a) ? f (?a) ? ( ) 2 2 A .0 B. ? 6a C. 2 a ? 2 D . 2a ? 6a ? 2

(1) f ( x) ? 1 , g ( x) ? x0

(

)

(2) f ( x) ?

) ( )

3

4.已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 2 ,且 f (?2) ? ? 5.已知函数 f ( x) ?
x2 : 1? x2 1 (1)计算 f (2) 与 f ( ) 2

16 ,则 f (2) ? 3

1 (2)计算 f (3) 与 f ( ) 3

1 1 1 1 ) (3)计算 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (2011) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ... ? f ( 2 3 4 2011

6.求下列函数的值域: 2x ? 4 (1) y ? (2) y ? x 2 ? 4 x ? 6, x ?[1,5) x?3

(3) y ? 1 ? x 2 , x ?{?2,?1,0,1,2}

7.求函数 f ( x) ? 2x ? 3 ? 13? 4x 的定义域和值域.(提示:设 t ? 13 ? 4 x )

函数的表示法
1.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴 表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图四个图形中较符合该学生走法的是 ( )

2.已知 f (2 x) ? 2 x ,则 f ( x) ? A. 2 x B. x C.





x D. 4 x 2 3.已知函数 f(x)=x2+px+q 满足 f(1)=f(0)=0,则 f(4)的值是( ) A.5 B.-5 C.12 D.20 三、已知 f ( x) 是一次函数,若 2 f (2) ? 3 f (1) ? 5 , 2 f (0) ? f (?1) ? 1 ,则 f ( x) 的解析式为 A . f ( x) ? 3 x ? 2 B . f ( x) ? 3 x ? 2 C. f ( x) ? 2 x ? 3 D . f ( x) ? 2 x ? 3 5.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f ( x) ? 2 f (? x) ? 2 x ? 1,则 f ( x) =( ) 1 1 A.-2x+1 B.2x- C.2x-1 D.-2x+ 3 3 2 1 1? x 6.若 g ( x) ? 1 ? 2 x , f ( g ( x)) ? 2 ,则 f ( ) 的值是 ( ) 2 x A.1 B.15 C.4 D.30 7.函数 f ( x) 的图象经过点(1,1),则函数 f ( x ? 4) 的图象过点
4

8.已知 f ( x) 是二次函数, f (0) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ,求 f ( x) .

9.若 f ( f ( f ( x))) ? 27x ? 26 ,求一次函数 f ( x) 的解析式.

分段函数

?x +3 1.已知 f(x)=?1 ?x+4
A.-4

2

(x>0), (x=0), (x<0). 则 f(f(f(-4)))=( )

B.4 C.3 D.-3 ?? 2 x ? 1( x ? 1) 2 已知函数 f ( x) ? ? 2 , (1)试比较 f ( f (?3)) 与 f ( f (3)) 的大小.(2)若 f (a) ? 3 ,求 a 的值. ?x ? 2 x( x ? 1)

3.画出下列函数的图象,并写出值域. (1) f ( x) ?| x | (2) f ( x) ?| x 2 ? 2 x | (3) f ( x) ?| x ? 5 | ? | x ? 3 |

函数的单调性
1.在区间(0,+∞)上不是增函数的是 A.y=2x-1 B.y=3x2-1 C.y=
2 x

( D.y=2x2+x+1 (



2.设函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 是(-∞,+∞)上的减函数,若 a∈R, 则 A. a ?
1 2



B. a ?

1 2

C. a ? ?

1 2

D. a ?

1 2

? ? ? 上是增函数,在区间 ?? ?, 2? 上是减函数,则 m=________; 3.函数 y=4x2-mx+5 在区间 ?2,

4.根据图象写出函数 y=f(x)的单调区间:增区间 y -3 0 -1 3 x

;减区间:

5.函数 f(x)=ax2-(5a-2)x-4 在 ?2,??? 上是增函数, 则 a 的取值范围是______________. 6.判断函数 y ? x ?
4 ? ?? 上的单调性,并用定义证明. 在在 ?2, x

7.已知函数 f ( x) 是定义在 [ ?1,1] 上的增函数,且 f ( x ? 1) ? f (1 ? 3x) ,求 x 的取值范围.
5

函数的最大(小)值与值域
1.当 x ? [0,5] 时,函数 f ( x) ? 3x 2 ? 4x ? 1 的值域为 A. [ f (0), f (5)] 2.函数 f ( x ) ?
1 A. ,1 5

( D. ( f (0), f (5)] (



2 B. [ f (0), f ( )] 3

2 C. [ f ( ), f (5)] 3

1 在区间 [2,6] 上的最大值和最小值分别是 x ?1 1 1 1 B. 1, C. ,1 D. 1, 5 7 7



3.函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x 的值域是
1 A. [ ,?? ) 2 1 B. ( ?? , ] 2

( C. (0,??) D. [1,??)



?2 x,0 ? x ? 1 ? 4. f ( x) ? ?2,1 ? x ? 2 的值域是 ?3, x ? 2 ?
A. R 5.若 0 ? t ? A. ? 2 B. [0,3] C. [0,??)





D. [0,2] ? {3} ( D.0 )

1 1 ,则代数式 ? t 的最小值是 t 4

B.

15 4

C.2

6.函数 y ? f ( x) 的定义域为 [?4,6] ,且在区间 [?4,?2] 上递减,在区间 (?2,6] 上递增,且 f (?4) ? f (6) ,则 函数 y ? f ( x) 的最小值是 ,最大值是

7.函数 y ? 2x 2 ? 1, x ? N * 的最小值为 8.已知函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间 [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,求 m 的取值范围.

函数的奇偶性
1.下面说法正确的选项 ( ) A.函数的单调区间可以是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2.函数 f ( x) ? x2 ? x 是 ( ) D.非奇非偶函数

A.偶函数 B.奇函数 C.既奇且偶函数 3.函数 y ? x | x | ? px , x ? R 是 ( )

A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数
6

D.与 p 有关

4.如果偶函数在 [a, b] 具有最大值,那么该函数在 [?b,?a] 有 A.最大值 B.最小值 C .没有最大值





D. 没有最小值 ( )

5.如果函数 f ( x), x ? R 是奇函数,且 f (1) ? f (2) ,则必有 A. f (?1) ? f (?2)

B. f (?1) ? f (?2) C . f (?1) ? f (1) D. f (?1) ? f (?2) .

6.函数 f ( x) 在 R 上为奇函数,且 f ( x) ? x ? 1, x ? 0 ,则当 x ? 0 , f ( x) ? 7. (12 分)判断下列函数的奇偶性 1 ① f ( x) ? x 3 ? ; x

② f ( x) ? 2x ?1 ? 1 ? 2x ;

③ f ( x) ? x 4 ? x ;



f ( x) ?

1 ? x2 | x ? 2 | ?2 。

8. (12 分)已知 f ( x) ? x 2005 ? ax 3 ?

b ? 8 , f (?2) ? 10 ,求 f (2) . x

单元测试
1. 设集合 P= ?x 0 ? x ? 4? ,Q= ? y 0 ? y ? 2? ,由以下列对应 f 中不能 构成 A 到 B 的映射的是 .. A. y ? x
2 1





B. y ? x
3

1

C. y ? x
3

2

D. y ? x
8

1

2.下列四个函数: (1)y=x+1; A.(1)(2)

(2)y=x+1;

(3)y=x2-1;

(4)y= ,其中定义域与值域相同的是(
x

1



B.(1)(2)(3) C.2)(3) D.(2)(3)(4) c 7 3.已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ? ? 2 ,若 f (2006) ? 10 ,则 f ( ?2006) 的值为( ) x A.10 B. -10 C.-14 D.无法确定 ? 1 ( x ? 0) ( a ? b) ? ( a ? b) ? f ( a ? b) ? ( a ? b) 的值为( 4.设函数 f ( x ) ? ? ,则 ) 2 ?1 ( x ? 0) A.a B.b C.a、b 中较小的数 D.a、b 中较大的数 2 5.已知函数 y=x -2x+3 在[0,a](a>0)上最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的取值范围是( ) A.0<a<1 B.0<a ? 2 C. ? a ? 2 D. 0 ? a ? 2 6.函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在(-∞, 0] 上是减函数,若 f ( a ) ? f (2) ,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a≤2 B.a≤-2 或 a≥2 C.a≥-2 D.-2≤a≤2 7.奇函数 f ( x) 的定义域为 (??, 0) ? (0, ??) ,且对任意正实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,恒有 A. f (3) ? f ( ?5) B. f ( ?3) ? f ( ?5) C. f ( ?5) ? f (3)
7

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2

? 0 ,则

D. f (?3) ? f (?5)

8.已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,且当 x ? 0 时,f(x)=x2-2x,则 f(x)在 x ? 0 时的解析 式是( ) A. f(x)=x2-2x B. f(x)=x2+2x C. f(x)= -x2+2x D. f(x)= -x2-2x 9.已知二次函数 y=f(x)的图象对称轴是 x ? x ,它在[a,b]上的值域是 [f(b),f(a)],则 ( )
0

A. x0 ? b B. x0 ? a C. x0 ? [a, b] D. x0 ? [a, b] 10.如果奇函数 y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为 5,则在区间[-7,-3]上 ( ) A.增函数且有最小值-5 B. 增函数且有最大值-5 C.减函数且有最小值-5 D.减函数且有最大值-5 13.已知函数 f ( x ) ?
x
2 2

1? x

,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (

1

1 )? f( ) ? 2 3

. . . .

14. 设 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x-1),则 g(x)=
2 15.定义域为 [a ? 3a ? 2, 4] 上的函数 f(x)是奇函数,则 a=

16.设 f ( x) ? x ? 3x, g ( x) ? x ? 2 ,则 g ( f ( x )) ?
3 2
2 17.作出函数 y ? ? x ? 2x ? 3 的图象,并利用图象回答下列问题:

(1)函数在 R 上的单调区间;

(2)函数在[0,4]上的值域.

8



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