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12.7直线与双曲线的位置关系3_图文

复习:

椭圆与直线的位置关系及判断方法

相离
判断方法
(1)联立方程组

相切

相交

(2)消去一个未知数 (3)

?<0

?=0

?>0

一:直线与双曲线位置关系种类
Y

O

X

种类:相离;相切;相交(0个交点,一个交点, 一个交点或两个交点)

位置关系与交点个数
Y

相交:两个交点
相切:一个交点
O X

相离:0个交点

Y

相交:一个交点

O

X

总结

方程组解的个数
交点个数

两个交点 相交

一个交点

0 个交点 相离

相 切

相 交

>0 <0
=0

两个交点 0 个交点 一个交点

相交 相离

?

相切 相交

[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系 [2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意 味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相 交 ?

请判断下列直线与双曲线之间的位置关系 [1]

x y l : x ? 3 ,c : ? ?1 9 16
2 2

2

2

相 切

[2]

4 x y l : y ? x ?1 , c : ? ?1 3 9 16
回顾一下:判别式情况如何?

相 交

一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?

b x y l : y ? x ? m m ? 0)c : 2 ? 2 ? 1 ( , a a b
判别式 不存在!

2

2

当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方 程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根 本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓 的判别式了 。

结论:判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 !

>0 <0
=0

两个交点 0 个交点 一个交点

相交 相离 相切

判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

直线与圆锥曲线的位置关系 可以通过对直线方程与圆锥 曲线方程组成的二元二次方 程组的解的情况的讨论来研 究。即方程消元后得到一个 一元二次方程,利用判别式 ⊿来讨论

特别注意:
直线与双曲线的位置关系中:

一解不一定相切,相交不一定 两解,两解不一定同支

例1判断下列直线与双曲线的位置 关系
4 x y [1] l : y ? x ? 1 , c : ? ? 1 相交(一个交点) 5 25 16 5 x y [2] l : y ? x ? 1 , c : ? ? 1 4 25 16
2 2 2 2

相离

直线与圆锥曲线相交所产生的问题:

一、交点

二、弦长 三、弦的中点的问题

x y ? ? 1只有 一个 例2.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______条.
(1,1) 。

2

2

变题:将点P(1,1)改为

O

X

1.A(3,4)
2.B(3,0)

3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.

y2 过点P(2, 0)的直线l与双曲线C:x 2 ? ? 1仅有 4 一个公共点,这样的直线l有 ? ? 条. A.1 B.2 C.3 D.4
此题为选择题,若设直 线方程,转化为 方程根的分布则不易求 解,故采用数形 结合。
改变P点的位置: ?1?、P ?1,?; 0 ?2 ?、P ?1,?; 2 ?3?、P ?0,? 0

经过双曲线x ? y ? 1的左焦点F1作倾斜角为
2 2

?
3

的弦AB。求?1? AB
设l的方程为: ? 3 x ? 2 y

?

?

?y ? 3 x ? 2 由? 2 ? 2x2 ? 6 2x ? 7 ? 0 x ? y2 ? 1 ?

?

?

? AB ? ?

?1 ? k ? ? x
2

1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 2

7 4 3 2 ?4 ? 4 2
2

? ?

经过双曲线x ? y ? 1的左焦点F1作倾斜角为
2 2

?
3

的弦AB。求?2??F2 AB的周长

?F2 AB的周长 ? AB ? AF2 ? BF2 ? AB ? ?2a ? AF1 ? ? ?2a ? BF1 ? ? 4a ? 2 AB ? 4 ? 8 ? 12

y2 过点P(0,3)的直线l与双曲线C:x 2 ? ? 1仅有 4 一个公共点,求直线的方程。 l
设l的方程为: ? kx ? 3 y
? y ? kx ? 3 ? 由? 2 y 2 ? 4 ? k 2 x 2 ? 6kx ? 13 ? 0 ?x ? 4 ? 1 ?

?

?

?1?当4 ? k 2 ? 0时, k ? ?2, 此时l : y ? ?2x ? 3
? 2?当4 ? k
2

? 0时,由? ? ? ?6k ? ? 4 ? 4 ? k 2 ? ? ?13? ? 0,
2

得k ? ? 13, 此时l : y ? ? 13x ? 3

y2 练习.已知双曲线 2 ? ? 1 ,过点 (1,1) 的直线与 x p 4 双曲线有且只有一个公共点,这样的直线有几条?

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

注意:
(1) 不能忽视了斜率不存在时的情况 2 (2)不能忽视了 4 ? k ? 0 , 即 l 与双曲线的渐近线

平行时,l 与双曲线只有一个交点也符合

y2 经过双曲线x 2 ? ? 1的右焦点F2作直线l, 2 交双曲线于A,B两点,若 AB ? 4,则这样 的直线有几条?

变题1: 若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 有 两个相异公共点,求 k 的范围. 解:将直线 y ? kx ? 1 代入双曲线方程 x 2 ? y 2 ? 4 化简整理得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 5 ? 0 (※)

要使直线与双曲线有两个相异的公共点,则(※) 有两个不相等的实数根,应满足
1? k 2 ? 0
5 5 解得 : ? ? k ? 且k ? ?1 2 2

??0

k 的取值范围
(? 5 5 ,?1) ? ( ?1,1) ? (1, ) 2 2

解:将直线 y ? kx ? 1代入双曲线方程 x ? y ? 4 化简整理 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 5 ? 0 (※)
2 2

y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 的右 变题2: 若直线 支有两个相异公共点,求 k 的范围.

要使直线与双曲线的右支有两个 相异的公共点,则应满足 ? ? 1? k 2 ? 0 1? k 2 ? 0 ? ? ??0 ??0 ? ? ?? ? ?( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ? ?

注: 直线与 双曲线的右支 有两个交点,实际上给出了 方程 解的范围,涉及到二 次方程的根的分布问题.解 题时需要注意!

5 解得 1 ? k ? 2

变题3 :
y ? kx ? 1与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 的两支各有 1.若直线 一个公共点,求 k 的范围. x2 ? y 2 ? 4 解:将直线 y ? kx ? 1代入双曲线方程

(1 ? k ) x ? 2kx ? 5 ? 0 (※) 要使直线与双曲线的两支有两个 相异的公共点,则应满足
2 2

? 1? k 2 ? 0 ? ??0 ? ? ?( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 ? ?

小结:
1.直线与双曲线的位置关系。 2.直线与双曲线的公共点个数。 3.直线与曲线相交所得弦的有关问题(弦长)


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