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高三数学复习用好课本的三条途径_图文

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墼 攀 爹孝 …   …  

2 0 1 3年 第 1 0 期 (上 旬 )  

o“ 2 0 1 4年 高 考 复 习 大 家 谈 ” 征 文 选 登 

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I - 一

_ . _ - ? _ 一 

旦 同

二 一    

数 学 复 习 用 好 课 本 的 
文卫 星( 上海 市七 宝 中学 )  

高三 复 习要 重 视 课 本 , 用 好 课 本 是 老生 常谈 , 教  师打 开课 本看 看觉 得没 有什 么 好讲 , 学 生 打 开课 本 看 
看觉 得没 有什 么 好 做 . 怎样 用 课 本 ? 笔 者 以为 可 以从  以下 3个 方面 展开 : 一 是对课 本 知识 进 行 加 工形 成 知  识链条, 即把 分散 在 课 本 中 的相 关 知识 点 串联 起 来 ,   有利 于对 问题 的 深 刻 理 解 ; 二 是 把 课 本 中一 些 “ 不 起  眼” 的例题 和 习题 归纳 、 推广成定理、 公式 , 形 成 知 识  模块 , 使某 些 问题 获 得 简 捷 解 法 ; 三 是 把课 本 上 处 理  问题 的常 规方 法提 炼成 思想 方 法.  

一s i n   0 , 即椭 圆方 程 

+  一 1可 化 为参 数 方 程 为 

? z 一 ? ?  ’ (   为 参 数 ) . 它 们 都 可 以   三 角 代 换 , , 的  
l   v一 0S 1 n 

名 义 出现 ( 还 可 以 得 到 极 坐 标 和 直 角 坐 标 的 互 化 公 式 

及复数 的三角式 ) , 其 本 质 是 三 角 函数 定 义 及 公 式 
s i n  +C O S   一 1的应 用 .  

例 1   ( 2 0 1 3年 高考数 学上 海卷 文科 第 1 8题 ) 记 

椭 圆 等+  
(   ) .  

一 1 围 成 的 区 域 ( 含 边 界 ) 为Q  

1   途 径 之 一 —— 把 知 识 形 成 知 识 链 条 
高三数 学 复 习 的 目的在 于 提 高 学 生解 答 综 合 问 
题 的能 力 , 而能 力 的形 成 是 以知 识 为 依 托 的 , 虽然 不 

(  一1 , 2 , …) , 当点 ( I z ,  ) 分别在 n   , 0   , … 上 时,  

a c q - y的 最 大 值 分 别 是 M  , M  ,… ,则 l i m  M 


是 有 知识 就 自然形 成能 力 , 但 知 识 是形 成 能力 的重 要 
“ 物质基 础 ” , 没有 知 识 为 依 托 肯 定 不 能 形 成 能 力 . 由  于高一 、 高 二学 生 所 学 知 识 是 零 散 的 , 高 三 复 习 的 一  个重要 任务 就是 把 相对零 散 的 知识 串联 起 来 , 形 成 有  机 的知识 链 , 可 以加 深 学 生 对 数 学 本 质 的理 解 , 以更  高 的观 点 审视 数学 , 更 灵 活 的方 法 解 答 问题 . 那 些 跨 

A . 0  B . 丢  c . 2  D . 2  
本题 是 文科 的难 题. 常规思 路是 设 x- l - y =M  , 因  点(  , Y ) 是直线 Y—M  一z和椭 圆的 唯一 公 共点 , 所 

以把直线 方程 代入 椭 圆方程 , 利 用判 别式 等 于 0 解 得 
M: , 再求 l i a r   M  , 计算量较大. 如果 用 三 角 代 换 , 则 


数 学分 支 的知 识 点所 形成 的知 识 链 在解 题 中往 往 能  发挥 意想 不 到 的作用 .   根 据 三 角 函数 的定 义 : s i n  一   , C O S  一三 , 若 直 

目了然 , 几 乎 可以 1 7 i 算.  

设   一 2 c 。 s   O , y 一 √   s i n   (   ∈ R ) , 则 _ z +  


线过点 ( z 。 , Y 。 ) , 由三角 函数 的定 义 可得 s i n  一  

,  

√ 4 +   s i n (   +   ) ,  =  ̄ / 4 q - 4 n _ n - t   - l , 所 以  
例2   ( 2 0 1 3年 高考 数 学 上 

C O S  一  

, 

. 由此 可 以得 到 解 析 几 何 中 的 圆 、 直 线 

l i a r   M   一  √ 4 +   一 2 厄故 应 选 D .  
海 卷文科 第 2 3题 、 理科第 2 2题 )  

的参 数方 程 : 若 臼为变 量 , r为定 值 , 利用 s i n  +C O S  


1 可 得 圆的 方程 (  — 。  4 - ( Y —Y 。 )  一r   ; 若  为 

// 
/ \  

定值 , r为变 量 , 并记 r —t , 则 表 示 直 线 的 参 数 方 程 

如 图 , 已 知 曲 线C   : 等 一  : 1 ,  
曲线 C z : I   Y   I —l  l +1 , P 是平 面  上一 点 , 若 存 在 过点 P 的直 线 与 

』   —   。 一 比 0 .   ( £ 为 参 数 ) . 对 椭 圆 _ w 了 e   T   2 y z — l , 注 意   l   Y— Yo — t s m  6 }   &  
到左边是 两个平 方和 , 右边是 1   若令 生 一C O S  , ≠ 

C   、 C 。 都 有公 共点 , 则 称 P为“ C   一C 。 型点 ” .  

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警  棼  



 

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高 鸯 频 道 

2 0 1 3年 第1 0期 (   旬 】  

( u I ) 求证 : 圆j 。 十Y   一÷ 内的点都不是“ C l, c  
型点 ” . ( (1) 、 (Ⅱ) 略)  

或 降低要 求 , 但 高考 试题 中经 常 出现 的考题 用参 数方  程 来解答 比常规 方法简单 得 多 。 这 是 否意 味着 要 把删  去 的 内容原 封 不动 的 拿 回来? 这 就 涉 及教 学 方 法 问  
题. 如上所 述 , 在复 习课 中利用 不 多的 时 间 , 让 散 落在  多 处 的知识 点形 成 知 识链 , 由于 知识 链 的形 成 自然 、   流畅 , 水 到渠 成 , 学 生有 一 种 亲近感 , 使 用 方便 且 有一  种 归属感 , 因而就 会 有 效 地 减 少排 斥 现象 , 提 高 教 学  效 率和 教学效 果.  

想 到圆 内的点 以 及过 圆 内点 的 直线 都 可 用 参 数 
方 程来 表示 , 其实 就 是 三 角 函数 的变 式 , 下述 证 法 就 
是 自然 的 .  

由于 P ( “.   。 ) 是圆  。 +   。 一去 内的任一点 , 设 

2 / ' o  ̄   ? ' C O S     0(  <  

R ) .  

2 途 径 之 二 —— 把 特 例 形 成 知 识 模 块 
课本 中的特例 常 可推 f   ‘ 到 一 般 情 形 而得 到 用途  较 广 的定 理 、 公式 , 形成相 对 固定 的解 题 方法 , 一 些 高 
考 题用 源于课 本 习题推 广 的结论 来解 答 往往 很 简单 ,  

若过 P( - t f 。 , . y   ) 的直线 z 与 曲线 c: 有 公共 点 , 则 

可 设  的 参 数 方 程 为』   =   。 。 _ 十  
a 

l   — Yo一_t s l n  d  

t 为 参 数 ,  

  一z   ∈ (  , 孚 ) ) . 将 {   y 一 : - Y   o 。  ̄ + t   s i   n   代 入  2— 2
得( C O S  一2 s i n   a ) t 。 +2 (  o C O S   一2 y 。 s i n  ) t + 


这 应该 引起 重视 , 因为得 到这 些结 论 的过 程 对学 生 来  说 也是 一种探 究性 学 习 , 而这 些结 论 又能 使 复杂 问题  获得 简单解 法 , 岂不是 两全其 美 的好 事 , 何乐 不为 .   比如 , 各种版 本 的课 本 中都有 关 于椭 圆中点 弦 的  轨迹 问题 , 利用 “ 点差法” 很 容 易 推 广 得 到命 题 : 直 线 


2 y  一 2— 0.  

△一 4( . , _   ) C O S   一2 y0   s i n   )  一 4( C O S 。  一 2 s i n   O t )  
?

(  i 一2 Y   一2 )  
==

2  

. 2  

8  

(  s i n   d 一  c 。 s   a ) z + 1 — 3 s i n 2 d ]  

AB与 椭 圆   +  Y一1 ( “ >6 >0 ) 相交 . AB 中点 为 M ,  
“ 

L2  

— 8  

( r c ( ) s   8 s i  _ r s i l   n 0 c O   上 1 — 3 ㈨ i   a J  
。 s i n 。 ( a -   ) +卜 3 s i n z   ]   J  

则是  k   M一 一   . 对双 曲线 有类 似结论 .  
“ 

例3   ( 2 0 1 0年 高考数 学上 海卷 理科 第 2 3题 ) 已  




8  

2 


2  

知椭 圆 r的方程 为  +  Y :1 ( “ >6 >0 ) , 点 P 的 坐 
“  f  

标为 ( 一a , 6 ) .  

= = = 2 4 (   S i n 2 a ) < o .  
所 以直 线  与 双 曲线 C  无 公 共 点 , 所 以圆 z 。  
1  

(I) 略.  

( 1) 设 直 线  : Y —k   +P交 椭 圆 r 于 (   、 D 两 
厶2  

点, 交直线 z   : Y 一正   于点 E. 若 k   是   一一   , 证明:  
“ 

+   。 一÷内的点都不是“ c   一c 。 型点” .  
由于学 生对 三角 函数 的定 义理 解不 深 , 导致 对 解  析 几何 中参 数 方 程惧 怕 , 从 心 里 不 愿 意 使 用 参 数 方 

为C D 的中点 ;  

( 1 1 I ) 对 于椭 圆 r上 的点 Q( a c o s   0 , b s i n  ) ( 0 <  <丌 ) , 如果椭 圆 r上 存在 不 同的两 点 P   、 P :使得P  

程. 这是 因为参 数 方程 被 安 排 到 解 析 几 何 中讲 授 , 且  没有 讲清 问题 的来龙 去脉 , 学生 在 知识链 上 衔 接不 起 
来, 总觉得 这 是 附 加 的 东 西 , 可有可无 , 思 想 上 不 重  视, 方 法 上不熟 悉 , 因而难 以灵 活运 用. 如果 能 在复 习  时把 三角 函数定 义 的各种变 式互 相 联 系起来 , 让学 生 

+  

一两 , 写 出求作 点 P   、 P 。 的步骤 , 并求 出使 
解: ( 1) 设 C( 3 7   , Y 。 ) 、 D(  。 ,   ) , 弦 C D 的 中 点 
厶2  

P   、 P  存 在 的  的取 值范 围.  

坐标 为 M (  。 , Y 。 ) ,因 k 【 1 f   是 ( M 一 ~   ,且 是 ( Y ,   “ 
一  

感到 这些 知识是 三角 函数定 义 的 自然延 伸 , 感 情上 容  易接 受 , 使 用起 来也很 简单 , 自然就 能 自觉 运用 . 也 能  让学 生看 到用 一 个数 学 分 支 的 知识 巧妙 地 解 答 另 一 
1 \ 数 学分 支 的问题 , 数 学世 界真 是奇 妙无 比.  

二丝


由 k  k   一 一  得 k   一  , 而 直 线 
a  - 』( )  

二 cl  

』 2  

一k o M x一  
0  

过点 (  0 ,  0 ) , 故 E(  …y (   ) .   4 -  

2 0 1 2 年 高考 数学 江苏 卷第 1 9 题、 2 0 1 1年 高考 数  学重 庆 卷理科 第 2 0题 、 2 0 1 1年 高考 数 学 山东卷 理 科  第2 2题 用椭 圆 的参 数方 程解答 都很 简单 .  
部分 现行 课本 以“ 减 负” 的名 义 把 参 数方 程 删 去 

( 1 1 I ) 若存 在 不 同 的两 点 P   、 P。 使 得 
, , 2  

一I P  , 则 四 边 形 PP   QP  是 平 行 四 边 形 , P Q 的 中 点 

R也是 P   P 。 的 中点 , 由( 1 I) k  , , k  一   , 则k  1 ' 7  

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爹 孝   …  …   5 1  
…  

2 0 1 3年 第 1 0期 (上 旬 )  





 



此时 P Q的中点R ( a c o s _ 9 0 - a ,  

(I) 略.  

( Ⅱ) 求证 : 对 任意  ∈N  , a   +   -a   ≥c .  

b s i n   O + b )  应 在 椭   圆   内,  即  


( Ⅲ) 是否 存在 a   , 使得 a   , n   , a 。 , …, a   , …成 等 

差数 列 ?若存 在 , 求 出所有这 样 的 a   ; 若 不存 在 , 说 明 
+  <1 , 亦 即( c o s   一1 ) z +( s i n   +1 ) z  
理 由.  

< 4 , 整 理 得s i n (   一 5 - ) < 2 -   , 故。 < 臼 < { + a r c s i n  .  
作法略 .  

解: 对第( Ⅱ) 问、 第( Ⅲ) 问进 行综 合 考 虑 , 都 要 计  算a   一“   , 而 条 件 中 有绝 对 值 , 就 必须 分 类 讨 论 去 
掉绝 对值 , 得 到分段 函数 , 再 计 算  +   一“   . 对第 ( 1 I)  

上 述解 法 比标准 答案 提供 的常 规解 法 简单 得 多 .  
除 了用 中 点 弦 的结 论 , 其 中的不 等式 还用 了: 点 M  (  。 , . ) ' 。 ) 在 椭 圆  . % 2  
yz


问要 证其 大于 或等 于 C , 对第( Ⅲ) 问要证 明其 是常 数 ,  
这样 就有 明确 的具 体思路 了.  
f - X- -( ’ 一8,  ≤ 一 f 一4 ,  
(Ⅱ ) j - ’ ( z) 一 3 x+ 3 c + 8, 一f 一4 <  < 一 c ,  

T  

l   p q, 则  +  < 1 . 这 也 可 

以看 成是 点 M( x 。 ,   ) 在 圆  +  一r 。内 , 则  j + j  
dr  的 自然 推 广 .  

l 9 2 十f +8 ,  ≥ 一 c .  

若 a   ≤一f 一4 , 则 a   + 1 一a   :一2 a   一c 一8 ≥2 f  
+ 8一 c一 8一 c:  

如果 第 ( 1 I ) 问考 虑到 中点 弦 的结 论 课本 上 没 有 ,   不宜 直接 使用 , 就 用点 差法 重 写一 遍 也 比常 规 方法 简 

若 一c 一4 %a   < ~f , 则 a   + l —a   一3 a   +3 c +8 ~  
a  一 2 a  + 3 c +8 > 一 8— 2 c +3 c + 8一 c;  

单( 建 议 教学 时用 “ 点差 法 ” 书写 ) , 第( I I I ) 问就 可直 接 
使用 .   这里 起到 关键 作用 的是 点 差法 的思 想 , 有 了这 个  思想 , 不记 得公 式 没关 系 , 很 快 就 能推 导 出来 , 而且 还 

若 a   ≥ 一f , 则 a   + l -a   一f +8 >c .  
综上 , a   + 1 一a   ≥c .  
( 1 ] I ) 由 (1 I) 得 
f —n   一f 一 8, a   ≤ 一c 一 4,  
以   +1 一  3 以  + 3 f + 8, 一 c一 4< n ,   < ~ f,  

是规 范 书写. 如果 没有 这 种 思 想 , 即使 有 常 规 的 解 题  思路 , 由于字母 多 , 运算复杂 , 也 很 难 做 到底 . 顺 便 指 
出, 2 0 0 7年 高考 数 学 上 海 卷 理 科 压 轴 题 第 ( I l I ) 问 用 

l a   +f + 8, a   ≥ 一f .  

上述 中点 弦 的结论 很容 易判 断 当直 线 的斜 率 为 0时 ,   “ 果 圆” 平 行弦 中点 轨迹 总是 落 在每 个 椭 圆上 . 各 种 版  本 的课 本 中都 有“ 一个 动点 到两 个 定 点距 离 之 比是 不 
等 于 1的定 值 , 求动 点轨 迹 ” 的具 体 例 子 , 推广 到 一 般  情 况就 是 “ 阿 波罗 尼斯 ” 圆, 用其 解答 2 0 0 8年 高 考 数  学 江苏 省 卷第 1 3题 特别 简单 .  


由上可 知 , 当d   ≥ 一c时 , a   +   一n   一c +8 , 即 “   ≥ 一c 时, { a   } 是等 差数 列.  
又当 a 】 一 ~f 一 8时 , a   2 —0 , a   3 一c +8 , …, a   一(  

2 ) ( f +8 ) 是等 差数 列.  

因此 , 存在 a  ∈[ 一f , +C X D ) U{ 一c 一8 ) , 使 得 
{ a   ) 是 等差 数列 .  

由此 表 明 , 对一 些典 型 例题 和 习题 的结论 进 行 推  广 在复 习 中很重 要 , 这也 是 培养学 生 探 ( 研) 究 问题 能 
力 的一 种方 法.  

考题 千变万化 , 但万 变不离 其宗. 一些 最基本 的解 
题策 略在高 三复 习 时还 是应 该 强 调 , 并 通 过适 当的 例  题、 习题 教学加 以落 实 , 在 此 基础 上 , 根 据 问题 的具 体  特点 , 再 寻求其他 简单解 法. 比如 , 本 文 的例 1 、 例 2 、 例 

3 途 径 之 三— — 把 常 规 做 法 形成 思 想 方 法 
课 本 中解决 一 类 问题 的常 规 做 法在 复 习 中 应该  得 到应 有 的 重 视 , 这些方 法看似 平常 , 似乎 无用 , 其 

3 . 有些 问题 不 一 定要 用 特别 简 单 的解 法 , 但 学 生 就 是 
不能发 现 解题 的 突破 口, 而 突破 口往 往 就 是 最 “ 原 生 

态” 的常规方法 , 比如例 4 , 一旦 把绝对值 去掉变 成分 段  函数 , 结合 题 目的要求 , 下面 的解答 就顺理成章 .   虽说 高 三复 习要重 视课 本 , 但 怎么 重 视还 是 值得 
研究 的 , 以上 三条 途径 只是 抛砖 引 玉 , 可能 有 四条 、 五 

实, 有些 方 法在 解 决 压 轴 题 时 会 起 到 关 键 作 用 , 正 所 
谓“ 无用 为之 大 用” , 是一 种通 式 教育 . 比如 , 解 答 绝对 

值 问题 的常 用方 法就 是要 分类 讨 论 去掉 绝 对值 符 号 ,   再结 合题 目的其 他条 件继 续解 题 .  
例4   ( 2 0 1 3年 高考数 学上 海卷 理科 第 2 3 题) 给  定常数 c >O , 定 义 函数 _ , ’ (  ) 一2     +c J +4 j ~j   3 5 +c j .   数列 a l , a 2 , a   3 , …满 足 a   + i —f ( a   ) ,  ∈N  .  

条 ……希 望看 到 同行 的更 好 的方 法.  
参考文献 :  

[ 1 ]   文卫星. 挑战高考数学压轴题[ M] . 2版 . 上海 : 华 东 师 范 
大 学 出版 社 , 2 O 1 3 .  


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