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(精校版)2013年高考真题——理科数学(四川卷)Word版含答案

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)



学(理工类)

本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 4 页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上大题无效.满 分 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡上一并交回.

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x ? 4 ? 0} ,则 A ? B ? (
2



(A) {?2}

(B) {2}

(C) {?2, 2}

(D) ?

x
2. 如图, 在复平面内, A 表示复数 z , 点 则图中表示 z 的共轭复数的点是 ( (A) A (B) B (C) C (D) D )

A B O

C
y

3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(



D

4.设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B ,则( (A) ?p : ?x ? A, 2 x ? B (B) ?p : ?x ? A, 2 x ? B



? (C) p : ?x ? A, 2 x ? B
5. 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, ? 则 ? , ? 的值分别是( )

? (D) p : ?x ? A, 2 x ? B

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,

(A) 2, ?

?
3

(B) 2, ?

?
6
2 2

(C) 4, ?

?
6

(D) 4,

?
3

6.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到双曲线 x ?

y ? 1的渐近线的距离是( 3
(C) 1



(A)

1 2

(B)

3 2


(D) 3

7.函数 y ?

x2 的图象大致是( 3x ? 1

8.从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别为 a , b ,共可得到 lg a ? lg b 的不 同值的个数是( (A) 9 ) (B) 10 (C) 18 (D) 20

9.节日 家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯在内 4 秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后, 它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( (A) )

1 4

(B)

1 2

(C)

3 4

(D)

7 8

10.设函数 f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).若曲线 y ? sin x 上存在

( x0 , y0 ) 使得 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是(
(A) [1, e] (B) [e ,1]
?1

) (D) [e , e ? 1]
?1

(C) [1,1 ? e]

第二部分
注意事项:

(非选择题 共 100 分)

必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答. 作图题可先用 铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.二项式 ( x ? y) 的展开式中,含 x y 的项的系数是____________.(用数字作答)
5 2 3

12 . 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 对 角 线 AC 与 BD 交 于 点 O , AB ? AD ? ? AO , 则

??? ???? ?

????

? ? ____________.
13.设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? (

?
2

, ? ) ,则 tan 2? 的值是____________.

14.已知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x2 ? 4 x ,那么,不等式

f ( x ? 2) ? 5 的解集是____________.
15. P , P ,?, P 为平面 ? 内的 n 个点, 设 1 2 在平面 ? 内的所有点中, 若点 P 到 P , P ,?, P 点 n 1 2 n 的距离之和最小,则称点 P 为 P , P ,?, P 点的一个“中位点”.例如,线段 AB 上的任意 1 2 n 点都是端点 A, B 的中位点.则有下列命题: ①若 A, B, C 三个点共线, C 在线段上,则 C 是 A, B, C 的中位点; ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点 A, B, C , D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中, a2 ? a1 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a3 的等比中项,求 数列 {an } 的首项、公差及前 n 项和.

17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

A? B cB ? os 2 (Ⅰ)求 cos A 的值; 2 c o2s

s i?nB A (

3 B )?s?i n . 5

(Ⅱ )若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

??? ?

??? ?

18.(本小题满分 12 分)

某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1, 2,3, ???, 24

这 24 个整数中等可能随机产生. (Ⅰ )分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 P (i ? 1, 2,3) ; i

(Ⅱ )甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n 次后,统计记录 了输出 y 的值为 i(i ? 1, 2,3) 的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行 次数 输出 y 的 值 为 1 的频数 输出 y 的 值 为 2 的频数 输出 y 的 值 为 3 的频数 运行 次数 乙的频数统计表(部分) 输出 y 的 值 为 1 的频数 输出 y 的 值 为 2 的频数 输出 y 的 值 为 3 的频数

n
30
?

n
30
?

14
?

6
?

10
?

12
?

11
?

7
?

2100

1027

376

697

2100

1051

696

353

当 n ? 2100 时, 根据表中的数据, 分别写出甲、 乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i ? 1, 2,3) 的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大; (Ⅲ) 按程序框图正确编写的程序运行 3 次, 求输出 y 的值为 2 的次数 ? 的分布列及数学期 望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,

AB ? AC ? 2 AA1 , ?BAC ? 120? , D, D1 分别是线段 BC, B1C1 的中点, P 是线段 AD 的
中点. (Ⅰ 在平面 ABC 内, ) 试作出过点 P 与平面 A BC 平行的直线 l , 说明理由, 并证明直线 l ? 1 平面 ADD1 A1 ; (Ⅱ )设(Ⅰ )中的直线 l 交 AB 于点 M ,交 AC 于点 N ,求二面角 A ? A M ? N 的余弦 1 值.

C A C1 A1 P

D B D1 B1

20 . ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 椭 圆 C :

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 分 别 为 a 2 b2

4 1 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭圆 C 经过点 P ( , ) . 3 3 (Ⅰ )求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ )设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且

2 1 1 ? ? ,求点 Q 的轨迹方程. 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0

?ln x, x ? 0 B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .

, 其中 a 是实数. A( x1 , f ( x1 )) , 设

(Ⅰ )指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ )若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.


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