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江苏省丹阳高级中学2013届高三第一次摸底考试(数学)

江苏省丹阳高级中学 2013 届高三第一次摸底考试
数学试卷 2013-3-8 必做题部分(满分 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 1、若 A ? { x ? Z | 2 ? 2 ? 8 }, B ? { x ? R | log
x 2

x ? 1} ,则 A ? B =__________。

2、设 p :| 4 x ? 3 |? 1; q : ( x ? a )( x ? a ? 1 ) ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的 取值范围是_______________。 3 、 已 知 复 数 z1 ? 1 ? i , z 2 ? 1 ? i
z2 z1

, 那 么

=______________。
sin ? 1 ? sin
2

4、 若角 ? 的终边落在射线 y ? ? x ( x ? 0 ) 上, 则
1 2
2 a n ?1

?

1 ? cos cos ?
*

2

?

=____________。

?
1 a n?2

5、在数列 { a n } 中,若 a 1 ? 1 , a 2 ?



?

1 an

?

( n ? N ) ,则该数列的通项

为 。 6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了 5 次,成绩如下表 (单位:环) 甲 乙 10 10 8 10 9 7 9 9 9 9 。

如果甲、乙两人中只有 1 人入选,则入选的最佳人选应是 。 7、在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于 1 的概率是 8、已知对称中心为原点的双曲线 x ? y
2 2

?

1 2

与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为

倒数,则该椭圆的标准方程为___________________。 9、阅读下列程序: Read S ? 1 For I from 1 to 5 step 2 S ? S+I Print S End for End 输出的结果是 。 10、给出下列四个命题,其中不正确命题的序号是


?
3 ) 的图象关于 x=

①若 cos ? ? cos ? , 则 ? ? ? ? 2 k ? , k ? Z ;②函数 y ? 2 cos( 2 x ?

?
12

对称;③函数 y ? cos(sin x )( x ? R ) 为偶函数,④函数 y ? sin | x | 是周期函数,且周期为

2? 。 11、若函数 y ? mx
2 2

? x ? 5 在 ? ? 2 , ? ? ) 上是增函数,则 m 的取值范围是____________。
2

12、设 a , b ? R , a ? 2 b

? 6 ,则

b a ? 3

的最大值是_________________。

13、棱长为 1 的正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中,若 E、G 分别为 C 1 D 1 、 B B 1 的中点,F 是正方 形 A D D 1 A1 的中心,则空间四边形 BGEF 在正方体的六个面内射影的面积的最大值为 14、 已知平面上的向量 P A 、 B 满足 P A P 则 P C 的最小值是
????
??? ? ??? ?



??? ?

2

??? ? ? PB

2

???? ??? ? ??? ? ??? ? ? 4 , AB ? 2 , 设向量 P C ? 2 P A ? P B ,



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤。 15、设函数 f ( x ) ? m ? n ,其中向量 m ? ( 2 cos x ,1), n ? (cos x , 3 sin 2 x ), x ? R , (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)在 ? ABC 中, , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,f ( A ) ? 2 , a ? a 的值。 16、已知某几何体的三视图如下图所示,其中左视图是边长为 2 的正三角形,主视图是矩 形,且 AA 1 ? 3 ,设 D 为 AA 1 的中点。 (1)作出该几何体的直观图并求其体积; (2)求证:平面 BB 1 C 1 C ? 平面 BDC ; ?
3 , b ? c ? 3(b ? c )

求b, c

1

(3) BC 边上是否存在点 P , AP // 平面 BDC 使

1

若不存在,说明理由;若存在,证明你的结论。

17、某商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖出一件产品需向税 务部门上交 a 元( a 为常数,2≤a≤5 )的税收。设每件产品的售价为 x 元(35≤x≤41),

根据市场调查,日销售量与 e (e 为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为 40
x

元时,日销售量为 10 件。 (1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大 值。

18、已知椭圆 C 1 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为

3 3

,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为

圆心、椭圆 C 1 的短半轴长为半径的圆相切。 (1)求椭圆 C 1 的方程; (2)设椭圆 C 1 的左焦点为 F 1 , 右焦点为 F 2 , 直线 l 1 过点 F 1 且垂直于椭圆的长轴, 动直线 l 2 垂直于直线 l 1 ,垂足为点 P ,线段 PF 2 的垂直平分线交 l 2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C 2 的方 程; (3)设 C 2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R , S 在 C 2 上,且满足 QR ? RS ? 0 ,求 | QS | 的取 值范围。

19、已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , 且点 P ? a n , a n ? 1 ??n ? (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)若函数 值; (3)设 b n ?
1 an
f (n) ? 1 n ? a1 ? 1 n ? a2 ? 1 n ? a3 ?? ?

N

?

? 在直线 x ?

y ? 1 ? 0 上。

1 n ? an

?n ?

N , 且 n ? 2 ?,

求函数 f ( n ) 的最小

, S n 表示数列 ?b n ? 的前 n 项和。试问:是否存在关于 n 的整式 g ? n ? ,使得

S 1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ? 1 ? ? S n ? 1 ? ? g ? n ? 对于一切不小于

2 的自然数 n 恒成立? 若存在,写

出 g ? n ? 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。

20、已知 f ? x ? ? ax ? ln ? ? x ?, x ? ( ? e , 0 ), g ( x ) ? ? (1)讨论 a ? ? 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, | f ( x ) | ? g ( x ) ?
1 2

ln( ? x ) x

,其中 e 是自然常数, a ? R .



(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是3,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说明理 由。

必做题答案 一、填空题: 1、 { 3}
7 8

2、 [ 0 , ]
2
x
2

1

3、 i

4、0

5、 a n ?

1 n

6、甲
1 4

7、

8、

? y

2

?1

9、2,5,10

10、1,2,4

11、0 ? m ?

2

12、1 二、解答题: 15 (1) f ( x ) ? 2 cos 3分

13、

1 2

14、2


2


?
6



x ?

3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?

) ? 1 -------------------------------

T ? ? --------------------------------------------------------------

------------------------6 分 (2) f ( A ) ? 2 ? A ?
?
3

---------------------------------------------------------

-----------------------9 分 余 弦 定 理
cos A ? b
2

? c

2

? a

2





2 bc

bc ? 2 -----------------------------------------------------12 分

又∵ b ? c ? 3 , b ? c ∴
b ? 2 , c ? 1 --------------------------------------------------------------------

-----------------------14 分 16、

17、解(1)设日销售量为

k e
x

,则 10e e
x 40

k e
40

? 1 0 ,? k ? 1 0 e
40

40

,则 日 售 量 为

10e e
x

40

件 . -------2 分

则日利润 L ( x ) ? ( x ? 3 0 ? a ) (2) L ( x ) ? 1 0 e
' 40

? 10e

x ? 30 ? a e
x

----------------------------4 分

31 ? a ? x e
x

-------------------------------------------------7 分
'

①当 2≤a≤4 时,33≤a+31≤35,当 35 <x<41 时, L ( x ) ? 0 ∴当 x=35 时,L(x)取最大值为 1 0 ( 5 ? a ) e -----------------------------------10 分
5

②当 4<a≤5 时,35≤a+31≤36, 令 L ( x ) ? 0 , 得 x ? a ? 3 1,
'

易知当 x=a+31 时,L(x)取最大值为 1 0 e
5

9?a

-----------------------------------13 分 ---------- ------------------------15 分

综合上得 L ( x ) m a x ? ?

?1 0 ( 5 ? a ) e , ( 2 ? a ? 4 ) ? ?1 0 e ?
3 3
9?a

, (4 ? a ? 5)

18、解:(1)由 e ?

得 2a

2

? 3 b ,又由直线 l : y ? x ? 2 与圆 x
2

2

? y

2

? b

2

相切,得

b ?

2



a ?

3









C1











x

2

?

y

2

?1



3

2

---------------------------------4 分 (2)由 MP ? MF 2 得动点 M 的轨迹是以 l 1 : x ? ? 1 为准线, F 2 为焦点的抛物线,∴点 M 的 轨 迹
C2









y

2

? 4x



-----------------------------------------------------------------------8 分

(3) Q ( 0 , 0 ) ,设 R (

y1 4

2

, y 1 ), S (

y2 4

2

, y2 ) ,

∴ QR ? (

y1 4

2

, y 1 ), RS ? (

y 2 ? y1
2

2

4
2 2

, y 2 ? y1 ) ,

由 QR ? RS ? 0 ,得

y1 ( y 2 ? y1 )
2

16

? y 1 ( y 2 ? y 1 ) ? 0 ,∵ y 1 ? y 2









y 2 ? ? y1 ?

16 y1



---------------------------------------------------------------------10 分 ∴ y 2 ? y1 ?
2 2

256 y1
2
2

? 32 ? 2

256 ? 32 ? 64 (当且仅当 y 1 ? ? 4 时等号成立),

∵ | QS | ?

(

y2 4

)

2

? y2 ?
2

1 4

( y 2 ? 8)
2

2

? 64 ,

又∵ y 2 ? 64 ,∴当 y 2 ? 64 ,即 y 2 ? ? 8 时 | QS | min ? 8 5 ,
2 2


[8

| QS |













5 , ?? ) -----------------------------------------------------------15 分

19、解:(1)由点 P ( a n , a n ? 1 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, 即
a n ?1 ? a n ? 1



------------------------------------------------------------------------2 分 且 a 1 ? 1 ,数列{ a n }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列
a n ? 1 ? ( n ? 1 ) ? 1 ? n ( n ? 2 ) , a 1 ? 1 同样满足,所以 a n ? n ---------------4 分

(2) f ( n ) ?

1 n ?1 1

?

1 n ? 2 ? 1

?? ? ? ?

1 2n 1

f ( n ? 1) ?

n ? 2

n ? 3 1 2n ? 1

n ? 4 1

? ? ?

1 2n ? 1 1 n ?1 ?

?

1 2n ? 2 1

---------------------6 分
1 ? 1 n ?1 ? 0

f ( n ? 1) ? f ( n ) ?

2n ? 2

2n ? 2 2n ? 2 7 12

所以 f ( n ) 是单调递增,故 f ( n ) 的最小值是 f ( 2 ) ? 分

-----------------------10

(3) b n ?
nS
n

1 n

,可得 S n ? 1 ?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

, S n ? S n ?1 ?

1 n

( n ? 2 ) -------12 分

? ( n ? 1) S n ?1 ? S n ?1 ? 1 ,

( n ? 1) S n ?1 ? ( n ? 2 ) S n ? 2 ? S n ? 2 ? 1

……
S 2 ? S1 ? S1 ? 1
nS
n

? S 1 ? S 1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? n ? 1
n

S 1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ? 1 ? nS

? n ? n ( S n ? 1 ) ,n≥2------------------14 分

g (n) ? n

故存在关于 n 的整式 g(x)=n,使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立----16 分 20、解(1)? f ? x ? ? ? x ? ln ? ? x ?
?

f '?x ? ? ?1 ?

1 x

? ?

x ?1 x

------------2 分

当 ? e ? x ? ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 ,此时 f ? x ? 为单调递减 当 ? 1 ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,此时 f ? x ? 为单调递增

? f ? x ? 的极小 值为 f ? ? 1 ? ? 1 -----------------------------------------4

分 (2)? f ? x ? 的极小值,即 f ? x ? 在 ? ? e , 0 ? 的最小值为 1
?

f ?x ?

min

?1

令 h?x ? ? g ?x ? ?

1 2

? ?

ln ? ? x ? x

?

1 2

又? h ' ? x ? ? 分

ln ? ? x ? 1 ? x
2

--------------------------------------------6

当 ? e ? x ? 0 时 h '? x ? ? 0
h ? x ? 在 ? ? e , 0 ? 上单调递减
? h ? x ? max ? h ? ? e ? ? ?

1 e

?

1 2

?

1 2

?

1 2

? 1 ? 1 2

f ?x ?

min

---------------7 分

当 x ? ?? e , 0 ? 时, f ? x ? ? g ? x ? ?

------------------------------8 分

(3)假设存在实数 a ,使 f ? x ? ? ax ? ln ? ? x ? 有最小值 3, x ? ?? e , 0 ?
f '?x ? ? a ? 1 x

①当 a ? ?
?

1 e

时,由于 x ? ?? e , 0 ? ,则 f ' ? x ? ? a ?

1 x

? 0

函数 f ? x ? ? ax ? ln ? ? x ? 是 ? ? e , 0 ? 上的增函数
4 e 1 e
1 a

? f ? x ? min ? f ? ? e ? ? ? ae ? 1 ? 3

解得 a ? ? ②当 a ? ?
1 e

? ?

(舍去) ---------------------------------12 分 时, f ' ? x ? ? a ?
1 x ? 0

时,则当 ? e ? x ?

此时 f ? x ? ? ax ? ln ? ? x ? 是减函数 当
1 a ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? a ? 1 x ? 0 ,此时 f ? x ? ? ax ? ln ? ? x ? 是增函数

?1 ? ? 1 ? ? f ? x ? m in ? f ? ? ? 1 ? ln ? ? ? ? 3 ?a ? ? a ?





a ? ?e

2

-----------------------------------------------------------------16 分 附加卷答案 选做 1: BC ?
2 3 3

选做 2:

y

2

?

x

2

?1

选做 3:弦长为 4 6

8

2

选做 4:

1

(

1

?

1 b

) ?

1 2 1 2

?2

1 ab 1 ac 1 cb

?

1 ab 1 ac 1 cb

?

2 a ? b 2 a ? c 2 c ? b

2 a 1 1

(

?

1 c

) ?

?2

?

?

2 a

1 1 1 1 ( ? ) ? ?2 2 c b 2

?

?

三式相加得证。 必做 1:(1)略,(2)
2 3
16 265 265

必做 2:(1)

(2) P ( ? ? 2 ) ?
E (? ) ? 13 3

4 120

, P (? ? 3 ) ?

16 120

, P (? ? 4 ) ?

36 120

, P (? ? 5 ) ?

64 120

;


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