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2011年广东省湛江市中考数学试卷(试卷解析)

[中考数学试卷评析]

2011 年广东省湛江市中考数学试卷

湛江市坡头区米稔中学 李运崔编辑

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1、﹣5 的相反数是( ) A、﹣5 B、5 C、 ?

1 5

D、

1 5

考点:相反数。 分析:根据相反数的概念解答即可. 解答:﹣5 的相反数是 5. 故选 B. 点评:本题考查了相反数的意义:只有符号不同的两个数互为相反数,0 的相反数是 0. 2、四边形的内角和为( ) A、180° B、360° C、540° D、720° 考点:多边形内角与外角。 分析:根据多边形的内角和公式即可得出结果. 解答:四边形的内角和=(4﹣2)?180°=360°. 故选 B. 点评:本题主要考查了多边形的内角和定理:n 边形的内角和为(n﹣2)?180°. 3、数据 1,2,4,4,3 的众数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 考点:众数。 专题:应用题。 分析:根据众数的定义,从数据中找出出现次数最多的数解答即可. 解答:1,2,4,4,3 中, 出现次数最多的数是 4, 故出现次数最多的数是 4. 故选 D. 点评:此题考查了众数的定义,一组数据中出现次数最多的数叫做众数. 4 、 下 面 四 个 几 何 体 中 , 主 视 图 是 四 边 形 的 几 何 体 共 有 ( )

A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 考点:简单几何体的三视图。 分析:仔细观察图象,根据主视图的概念逐个分析即可得出答案. 解答:仔细观察图象可知:圆锥的主视图为三角形,圆柱的主视图也为四边形, 球的主视图为圆,只有正方体的主视图为四边形;故选 B. 点评:本题主要考查三视图的主视图的知识;考查了学生地空间想象能力,属于基础题. 5、第六次人口普查显示,湛江市常住人口数约为 6990000 人,数据 6990000 用科学记数法 表示为( ) 5 7 6 7 A、69.9×10 B、0.699×10 C、6.99×10 D、6.99×10
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考点:科学记数法-表示较大的数。 专题:常规题型。 分析:科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位, 的绝对值与小数点移动的位数相同. n 当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 解答:6 990 000 用科学记数法表示为 6.99×10 . 故选 C. 点评:此题考查科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为 a×10 的形式, 其中 1≤|a| <10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 6、在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
n 6 n

A、直角三角形

B、正五边形

C、正方形 D、等腰梯形 考点:中心对称图形;轴对称图形。 分析:根据中心对称图形的定义旋转 180°后能够与原图形完全重合即是中性对称图形,以 及轴对称图形的定义即可判断出. 解答:A.∵ 此图形旋转 180°后不能与原图形重合, ∴ 此图形不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项错误; B.∵ 此图形旋转 180°后不能与原图形重合, ∴ 此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误; C.∵ 此图形旋转 180°后能与原图形重合, ∴ 此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确; D.∵ 此图形旋转 180°后不能与原图形重合, ∴ 此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误. 故选 C. 点评: 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义, 根据定义得出图形形状是解决问题的 关键. 7、下列计算正确的是(
2 3 5


2 2 3 5 2 3

A、a ?a =a B、a+a=a C、 ) =a (a D、a (a+1)=a +1 考点:单项式乘多项式;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方。 分析:根据同底数幂的乘法法则:底数不变,指数相加,以及合并同类项:只把系数相加, 字母及其指数完全不变. 积的乘方: 等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相 乘,分别求出即可. 2 3 5 解答:A.a ?a =a ,故此选项正确; B.a+a=2a,故此选项错误; 2 3 6 C. ) =a ,故此选项错误; (a 2 3 2 D.a (a+1)=a +a ,故此选项错误;
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故选 A. 点评:此题主要考查了整式的混合运算,根据题意正确的掌握运算法则是解决问题的关键. 8、不等式的解集 x≤2 在数轴上表示为( A、 C、 B、 D、 )

考点:在数轴上表示不等式的解集。 专题:探究型。 分析:根据在数轴上表示不等式解集的方法表示出不等式的解集 x≤2,再得出符合条件的选 项即可. 解答:不等式的解集 x≤2 在数轴上表示为:

故选 B. 点评:本题考查的是在数轴上表示不等式的解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来 (>,≥向右画;<,≤向左画) ,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段 上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样, 那么这段就是不等式组的解集. 有几 个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表 示. 9、甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试,每人 10 次射箭成绩的平均数都是 8.9 环,方差分别 是 S 甲 =0.65,S 乙 =0.55,S 丙 =0.50,S 丁 =0.45,则射箭成绩最稳定的是( ) A、甲 B、乙 C、丙 D、丁 考点:方差。 分析: 本题须根据方差的意义先比较出甲、 乙、 丙、 丁四人谁的方差最小则谁的成绩最稳定. 解答:∵ 甲 =0.65,S 乙 =0.55,S 丙 =0.50,S 丁 =0.45, S 丁的方差最小, ∴ 射箭成绩最稳定的是:丁. 故选 D. 点评:本题主要考查了方差的意义,在解题时要能根据方差的意义和本题的实际,得出正确 结论是本题的关键. 10、如图,直线 AB、CD 相交于点 E,DF∥ AB.若∠ AEC=100°,则∠ 等于( D )
2 2 2 2 2 2 2 2

A、70° B、80° C、90° D、100° 考点:平行线的性质;对顶角、邻补角。 专题:计算题。 分析:在题中∠ 和∠ 为对顶角相等,∠ 和∠ 为同旁内角互补,据此解答即可. AEC DEB DEB D 解答:因为 AB∥ DF,
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所以∠ DEB=180°, D+∠ 因为∠ 与∠ 是对顶角, DEB AEC 所以∠ DEB=100°, 所以∠ D=180°﹣∠ DEB=80°.故选 B. 点评:本题比较容易,考查平行线的性质及对顶角相等.

11、化简

的结果是(


2 2

A、a+b B、a﹣b C、a ﹣b D、1 考点:分式的加减法。 分析:根据同分母的分式相加的法则:分母不变,分子相加减. 解答:解:原式= ,

= =a+b.



故选 A. 点评:本题是基础题,考查了分式的加减,同分母的分式相加的法则:分母不变,分子相加 减. 12、在同一坐标系中,正比例函数 y=x 与反比例函数 的图象大致是( )

A、

B、

C、

D、

考点:反比例函数的图象;一次函数的图象。 分析:根据正比例函数与反比例函数图象的性质进行选择即可. 解答:∵ 正比例函数 y=x 中,k=1>0, ∴ 此图象过一、三象限; ∵ 反比例函数 y ?

2 中,k=2>0, x

∴ 此函数图象在一、三象限. 故选 B.
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点评: 此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质, 要掌握它们的性质才 能灵活解题. 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,其中 17~20 小题每空 2 分,共 32 分) 13、分解因式:x +3x= x(x+3) . 考点:因式分解-提公因式法。 分析:观察原式,发现公因式为 x;提出后,即可得出答案. 解答:x +3x=x(x+3) . 点评:主要考查提公因式法分解因式,此题属于基础题. 14、已知∠ 1=30°,则∠ 的补角的度数为 150 度. 1 考点:余角和补角。 专题:计算题。 分析:若两个角的和等于 180°,则这两个角互补.根据已知条件直接求出补角的度数. 解答:∵1=30°, ∠ ∴1 的补角的度数为=180°﹣30°=150°. ∠ 故答案为:150. 点评:本题考查了补角的定义,解题时牢记定义是关键. 15、若 x=2 是关于 x 的方程 2x+3m﹣1=0 的解,则 m 的值等于 ﹣1 . 考点:方程的解。 专题:计算题。 分析: 使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解. 将方程的解代入方程可得关于 m 的一元一次方程,从而可求出 m 的值. 解答:根据题意得:4+3m﹣1=0 解得:m=﹣1, 故填﹣1. 点评:已知条件中涉及到方程的解,把方程的解代入原方程,转化为关于 m 字母系数的方 程进行求解,注意细心. 16、如图,A,B,C 是⊙ 上的三点,∠ O BAC=30°,则∠ BOC= 60 度.
2 2

考点:圆周角定理。 分析:利用圆周角定理,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可得∠ COB=2∠ BAC,即可得 到答案. 解答:∵BAC=30°, ∠ ∴COB=2∠ ∠ BAC=30°×2=60°. 故答案为:60. 点评:此题主要考查了圆周角定理,关键是找准同弧所对的圆周角和圆心角. 17、多项式 2x ﹣3x+5 是 二 次 三 项式. 考点:多项式。
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2

专题:计算题。 分析:根据单项式的系数和次数的定义,多项式的定义求解. 解答:由题意可知,多项式 2x ﹣3x+5 是 二次 三项式. 故答案为:二,三. 点评:本题主要考查多项式的定义,解答此次题的关键是熟知以下概念: 多项式中的每个单项式叫做多项式的项; 多项式中不含字母的项叫常数项; 多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.
2

18、函数 y= x ? 3 中自变量 x 的取值范围是 x≥3 ,若 x=4,则函数值 y= 1 . 考点:函数自变量的取值范围;二次根式有意义的条件。 专题:计算题。 分析:根据二次根式有意义的条件求解即可.即被开方数是非负数.直接把 x=4 代入函数解 析式即可求 y 的值. 解答:依题意,得 x﹣3≥0, 解得 x≥3;若 x=4,则 y= 4 ? 3 = 1 =1. 点评:本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数是非负数. 19、如图,点 B,C,F,E 在同直线上,∠ 2,BC=EF,∠ 不是 (填“是”或“不是”)∠ 1=∠ 1 2 的对顶角,要使△ ABC≌DEF,还需添加一个条件,可以是 AC=FD (只需写出一个) △

考点:全等三角形的判定;对顶角、邻补角。 专题:开放型。 分析:根据对顶角的意义可判断∠ 不是∠ 的对顶角.要使△ 1 2 ABC≌DEF,已知∠ 2,BC=EF, △ 1=∠ 则只需补充 AC=FD 或∠ BAC=∠ 都可,答案不唯一. FED 解答:根据对顶角的意义可判断∠ 不是∠ 的对顶角 1 2 故填:不是. 添加 AC=FD 或∠ BAC=∠ 后可分别根据 SAS、AAS 判定△ FED ABC≌DEF, △ 故答案为:AC=FD,答案不唯一. 点评: 本题考查三角形全等的判定方法; 判定两个三角形全等的一般方法有: SSS、 SAS、 ASA、 AAS、HL.添加时注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知 结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键. 20、若:A3 =3×2=6,A5 =5×4×3=60,A5 =5×4×3×2=120,A6 =6×5×4×3=360,…, 观察前面计算过程,寻找计算规律计算 3 3 4 A7 = 210 (直接写出计算结果) ,并比较 A10 < A10 (填“>”或“<”或“=”)
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2 3 4 4

考点:规律型:数字的变化类。 专题:规律型。 分析:对于 Aa (b<a)来讲,等于一个乘法算式,其中最大因数是 a,依次少 1,最小因 数是 a﹣b.依此计算即可. 解答:A7 =7×6×5=210; 3 4 ∵ 10 =10×9×8=720,A10 =10×9×8×7=5040. A 3 4 ∴ 10 <A10 .故答案为:210;<. A 点评:本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找 出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.注意找到 Aa (b<a)中的最大因 数,最小因数. 三、解答题(本大题共 8 小题,其中 21~22 每小题 7 分,23~24 每小题 7 分,25~28 每 小题 7 分,共 82 分) 21、计算: 9 - (? ? 2011) + ?2 .
0

b

3

b

考点:实数的运算;零指数幂。 分析: 9 开根号为 3,π﹣2011 的 0 次幂为 1,﹣2 的绝对值为 2. 解答:原式=3﹣1+2=4. 点评:本题考查了实数的运算,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟 练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算. 22、如图,在平面直角坐标系中,△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(﹣3,5) ,B(﹣4,3) , C(﹣1,1) . (1)作出△ ABC 向右平移 5 个单位的△ 1B1C1; A (2)作出△ ABC 关于 x 轴对称的△ 2B2C2,并写出点 C2 的坐标. A

考点:作图-轴对称变换;作图-平移变换。 专题:作图题。 分析: (1)求出平移后的坐标,根据点的坐标依次连接即可; (2)求出对称点的坐标,根据点的坐标依次连接即可. 解答: (1)答:如图的△ 1B1C1. A (2)答:如图的△ 2B2C2,C2 的坐标是(1,1) A .

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点评:本题主要考查对作图﹣轴对称变换,作图﹣平移变换等知识点的理解和掌握,能根据 变换后点的坐标画出图形是解此题的关键. 23、一个口袋中有 4 个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,4. (1)随机摸取一个小球,求恰好摸到标号为 2 的小球的概率; (2)随机摸取一个小球然后放回,再随机摸取一个小球,求两次摸取的小球的标号的 和为 5 的概率. 考点:列表法与树状图法。 专题:数形结合。 分析: (1)让标号为 2 的小球个数除以球的总数即可; (2) 列举出所有情况, 看两次摸取的小球的标号的和为 5 的情况数占总情况数的多少 即可. 解答:解: (1)共有 4 个球,标号为 2 的球有 1 个,所以概率为

1 ; 4

(2)共有 16 种情况,两次摸取的小球的标号的和为 5 的情况有 4 种,所以所求 的概率为

1 . 4

点评:考查概率的求法;得到两次摸取的小球的标号的和为 5 的情况数是解决本题的关键; 用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 24、五一期间,小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动,在景点 P 处测得景点 B 位于南偏东 45°方向;然后沿北偏东 60°方向走 100 米到达景点 A,此时测得景点 B 正 好位于景点 A 的正南方向,求景点 A 与 B 之间的距离. (结果精确到 0.1 米)

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考点:解直角三角形的应用-方向角问题。 专题:计算题。 分析:由已知作 PC⊥ 于 C,可得△ AB ABP 中∠ A=60°∠ B=45°且 PA=100m,要求 AB 的长,可以先 求出 AC 和 BC 的长. 解答:解:由题意可知:作作 PC⊥ 于 C, AB ∠ ACP=∠ BCP=90°,∠ APC=30°,∠ BPC=45°. 在 Rt△ ACP 中, ∵ACP=90°,∠ ∠ APC=30°, ∴ AC= AP=50,PC= 3 AC=50 3 . 在 Rt△ BPC 中, ∵BCP=90°,∠ ∠ BPC=45°, ∴ BC=PC=50 3 . ∴ AB=AC+BC=50+50 3 ≈50+50×1.732≈136.6(米) . 答:景点 A 与 B 之间的距离大约为 136.6 米.

点评:本题考查了解直角三角形的应用,对于解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般 可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线. 25、某中学为了了解学生的体育锻炼情况,随机抽查了部分学生一周参加体育锻炼的时间, 得到如图的条形统计图,根据图形解答下列问题: (1)这次抽查了 60 名学生; (2)所抽查的学生一周平均参加体育锻炼多少小时? (3)已知该校有 1200 名学生,估计该校有多少名学生一周参加体育锻炼的时间超过 6 小时?

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考点:条形统计图;用样本估计总体;加权平均数。 专题:计算题;数形结合。 分析: (1)把各段的﹣人数相加即可求解; (2)根据平均数的计算公式即可求解; (3)1200 乘以样本中超过 6 小时的人数所占的比例即可求解. 解答:解: (1)∵15+10+15+20=60. ∴答案是:60; (2)∵ =6.25 小时.

∴所抽查的学生一周平均参加体育锻炼 6.25 小时. (3)∵1200× =700 人.

∴估计该校有 700 名学生一周参加体育锻炼的时间超过 6 小时. 点评:本题主要考查了条形统计图的计算,理解条形统计图中坐标的意义,理解加权平均数 的计算公式是解题的关键. 26、某工厂计划生产 A,B 两种产品共 10 件,其生产成本和利润如下表: A 种产品 成本 (万元∕ 件) 利润 (万元∕ 件) 3 1 B 种产品 5 2

(1)若工厂计划获利 14 万元,问 A,B 两种产品应分别生产多少件? (2) 若工厂投入资金不多于 44 万元, 且获利多于 14 万元, 问工厂有哪几种生产方案? (3)在(2)条件下,哪种方案获利最大?并求最大利润. 考点:一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用。 分析: (1)设 A 种产品 x 件,B 种为(10﹣x)件,根据共获利 14 万元,列方程求解. (2)设 A 种产品 x 件,B 种为(10﹣x)件,根据若工厂投入资金不多于 44 万元,且 获利多于 14 万元,列不等式组求解. (3)从利润可看出 B 越多获利越大. 解答:解: (1)设 A 种产品 x 件,B 种为(10﹣x)件, x +2(10﹣ x )=14, 解之,得: x =6, A 生产 6 件,B 生产 4 件; (2)设 A 种产品 x 件,B 种为(10﹣x)件,

?

3 x ? 5(10 ? x ) ? 44 x ? 2(10 ? x ) ?14 ,
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解之,得:3≤x<6. ∵ x 取整数,∴ x 取 3,4,5 方案一:A 生产 3 件,B 生产 7 件; 方案二:A 生产 4 件,B 生产 6 件; 方案三:A 生产 5 件,B 生产 5 件. (3)第一种方案获利最大, 3×1+7×2=17. 最大利润是 17 万元. 点评:本题考查理解题意的能力,关键从表格种获得成本价和利润,然后根据利润这个等量 关系列方程, 根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解, 然 后求出那种方案获利最大从而求出来. 27、如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,点 D 是 AC 的中点,且∠ CDB=90°,过点 A,D 作⊙ A+∠ O, 使圆心 O 在 AB 上,⊙ 与 AB 交于点 E. O (1)求证:直线 BD 与⊙ 相切; O (2)若 AD:AE=4:5,BC=6,求⊙ 的直径. O

考点:切线的判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理;圆周角定理。 专题:计算题;证明题。 分析: (1)连接 OD,由∠ ADO,进而证得∠ A=∠ ADO+∠ CDB=90°,而证得 BD⊥ OD. (2)连接 DE,证得∠ ADE=90°,∠ ADE=∠ C,而得 DE∥ BC,所以△ ADE∽ACB,设 AC=4x, △ AB=5x,那么 BC=3x,而求得. 解答:解: (1)证明:连接 OD, ∵ OA=OD, ∴A=∠ ∠ ADO, 又∵A+∠ ∠ CDB=90°, ∴ADO+∠ ∠ CDB=90°, ∴ODB=180°﹣(∠ ∠ ADO+∠ CDB)=90°, ∴ OD, BD⊥ ∴ 是⊙ 切线; BD O (2)连接 DE, ∵ 是直径, AE ∴ADE=90°, ∠ 又∵C=90°, ∠ ∴ADE=∠ ∠ C, ∴ BC, DE∥ 又∵ 是 AC 中点, D ∴ AD=CD, ∴ AD:CD=AE:BE, ∴ AE=BE,
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∵ BC, DE∥ ∴ADE∽ACB, △ △ ∴ AD:AE=AC:AB, ∴ AC:AB=4:5, 设 AC=4x,AB=5x,那么 BC=3x, ∴ BC:AB=3:5, ∵ BC=6, ∴ AB=10, ∴ AE= AB=10.

点评:本题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及 推论、 勾股定理、 相似三角形的判定和性质. 解题的关键是连接 OD、 证明 DE∥ DE, BC. 28、如图,抛物线 y=x +bx+c 的顶点为 D(﹣1,﹣4) ,与 y 轴交于点 C(0,﹣3) ,与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧) . (1)求抛物线的解析式; (2)连接 AC,CD,AD,试证明△ ACD 为直角三角形; (3)若点 E 在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点 F,使以 A,B,E,F 为顶点的 的四边形为平行四边形?若存在,求出所有满足条件的点 F 的坐标;若不存在, 请说明理由.
2

考点:二次函数综合题。 分析: (1)由定点列式计算,从而得到 b,c 的值而得解析式; (2)由解析式求解得到点 A,得到 AC,CD,AD 的长度,而求证; (3)由(2)得到的结论,进行代入,要使以 A,B,E,F 为顶点的四边形是平行四
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边形,必须满足的条件是 AB∥ =EF,那么只需将 M 点的坐标向左或向右平移 BF 长个单位即可得出 P 点的坐标,然后将得出的 P 点坐标代入抛物线的解析式中, 即可判断出是否存在符合条件的 P 点. 解答:解: (1)由题意得

? ? b ??1 ? 2 ? 4 c ?b2 , ? 4 ??4 ?
解得:b=2,c=﹣3, 则解析式为:y=x +2x﹣3; (2)由题意结合图形 则解析式为:y=x +2x﹣3, 解得 x=1 或 x=﹣3, 由题意点 A(﹣3,0) , ∴ AC= 9 ? 9 ? 3 2 , CD= 1 ? 1 ? 2 , AD= 4 ? 16 ? 2 5 , 由 AC +CD =AD , 所以△ ACD 为直角三角形; (3)由(2)知 ME 取最大值时 ME= ∴ MF=
2 2 2 2 2

9 3 15 3 3 ,E( , ? ) ,M( , ? ) , 4 2 2 2 4

3 3 ,BF=OB﹣OF= . 2 2

设在抛物线 x 轴下方存在点 P,使以 P、M、F、B 为顶点的四边形是平行 四边形, 则 BP∥ MF,BF∥ PM.

3 3 )或 P2(3, ? ) , 2 2 3 3 2 当 P1(0, ? )时,由(1)知 y=x ﹣2x﹣3=﹣3≠ ? , 2 2
∴1(0, ? P ∴1 不在抛物线上. P 当 P2(3, ?

3 3 2 )时,由(1)知 y=x ﹣2x﹣3=0≠ ? , 2 2

∴2 不在抛物线上. P 综上所述:抛物线 x 轴下方不存在点 P,使以 A、B、E、F 为顶点的四边形 是平行四边形. 点评:本题考查了二次函数的综合运用,本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象 交点的求法等知识点.主要考查学生数形结合的数学思想方法.

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