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解三角形单元复习


第一章

三角形中的有关公式
设 △ABC 中, 角 A、B、C 的对边为 a、b、c, 内角和定理: 三角形三内角之和为?, 即 A+B+C=?. 注 任意两角和与第三个角总互补; 锐角三角形?三内角都是锐角 ?最小角不大于60° ?任两角和都是钝角 ?任意两边的平方和大于第三边的平方.

知识梳理

bsinA

b

A=30° B=105° C=45°
3 6 b ? 10 sin C ? 8

练1 △ABC 中, 若 sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2C, 判断 △ABC 的形状. 练2 在 △ABC 中, 已知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab, sinA+sinB= 3 , 试判断三角形的形状. 练3 在 △ABC 中, 已知 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 试判断三角形的形状 练4 在△ABC中, 若 a2sin2B+b2sin2A=2abcosAcosB, (1)试判断三角形的形状; (2)若 cosB=4(1-cosA), 求 △ABC 三边 a, b, c的比.

课后练习
1. △ABC 中, A, B 的对边分别为a, b, 且 A=60?, a= 6, b=4, 那 么满足条件的 △ABC ( C ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 2. △ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 若 (a+b+c)? (sinA+sinB-sinC)=3asinB, 则 ?C= 60? . a2+b2-c2 , 则 ?C=____. 3.在 △ABC 中, 若其面积 S= 30? 4 3

4.在 △ABC 中, a=60?, b=1, 其面积为 3 , 则 △ABC 外接圆的 2 39 直径是_______. 3

5.锐角 △ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边. (1)若 (a+c)(a-c)=b(b-c), 求 ?A 的大小; (2)y=2sin2B+sin(2B+ ? ) 取最 6 大值时, 求 ?B 的大小.
解: (1)∵(a+c)(a-c)=b(b-c), ∴b2+c2-a2=bc. b2+c2-a2 = 1 . 故由余弦定理得 cosA= 2bc 2 ∵A 是锐角三角形的内角, ∴0<A< ? . 2 (2)y=2sin2B+sin(2B+ ? )=1-cos2B+sin2Bcos? +cos2Bsin ? 6 6 6 ∴A= ? . 3

∴B= ? . 3

? 3 =1- 1 cos2B+ 2 sin2B =1+sin(2B- 6 )≤2. 2 当且仅当 B= ? 时取等号. 3

6.已知 △ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列, 求 cosAcosC 的取值范围. 解: ∵△ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列, , -A. ∴2B=A+C 且 A+B+C=180? ∴B=60? C=120? . ∴cosAcosC=cosAcos(120? -A) =cosAcos120? cosA+cosAsin120? sinA 3 1 3 =- 2 cos2A+ 2 sinAcosA =- 1 (1+cos2A)+ 4 sin2A 4 1 = 2 sin(2A-30? 1 . )- 4 ∵0? <A<120?∴-30? , <2A-30? <210? ∴- 1 <sin(2A-30?≤1. . ) 2 ∴- 1 <cosAcosC≤ 1 . 2 4
即 cosAcosC 的取值范围是 (- 1 , 1 ]. 2 4


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