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高中立体几何知识点总结

立体知识点 1 多面体的概念:由若干个多边形围成的空间图形叫多面体;每个多边形叫多面体的面,两个面的公共 边叫多面体的棱,棱和棱的公共点叫多面体的顶点,连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对 角线. 2.凸多面体:把多面体的任一个面展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,这样的多面体叫 凸多面体.如图的多面体则不是凸多面体. 3.凸多面体的分类:多面体至少有四个面,按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等 4.棱柱的概念:有两个面互相平行,其余每相邻两个面的交线互相平行,这样的多面体叫棱柱 两个互相 平行的面叫棱柱的底面(简称底) ;其余各面叫棱柱的侧面;两侧面的公共边叫棱柱的侧棱; 两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高(公垂线段长也简称高) 5.棱柱的分类:侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱 底面的是正多边形 的直棱柱叫正棱柱 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、 五棱柱…… 6.棱柱的性质: (1)棱柱的侧棱相等,侧面都是平行四边形;直棱柱侧面都是矩形;正棱柱侧面都是全等的矩形; (2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形; (3)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 7 平行六面体、长方体、正方体:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六 面体叫直平行六面体,底面是矩形的直平行六面体长方体,棱长都相等的长方体叫正方体. 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 8.平行六面体、长方体的性质:(1)平行六面体的对角线交于一点,对角线 AC?, BD?, CA?, DB? 相交于一 点,且在点 O 处互相平分.(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和 9 棱锥的概念:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这样的多面体叫棱锥 其中有 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 公共顶点的三角形叫棱锥的侧面;多边形叫棱锥的底面或底;各侧面的公共顶点 ( S ) ,叫棱锥的顶点,顶 点到底面所在平面的垂线段 ( SO ) ,叫棱锥的高(垂线段的长也简称高) . 10.棱锥的表示:棱锥用顶点和底面各顶点的字母,或用顶点和底面 一条对角线端点的字母来表示 如图棱锥可表示为 S ? ABCDE ,或 S ? AC . 11.棱锥的分类: (按底面多边形的边数) 分别称底面是三角形,四边形,五边形……的棱锥为三棱锥,四棱锥,五棱锥……(如图) 12.棱锥的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比. 中截面:经过棱锥高的中点且平行于底面的截面,叫棱锥的中截面 13.正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱 锥. (1)正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上 的高相等(叫正棱锥的斜高) . (2)正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成 一个直角三角形;正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形 14.正多面体:每个面都是有相同边数的正多边形,每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体. 15.正多面体是一种特殊的凸多面体,它有两个特点:①每个面都是有相同边数的正多边形;②每个顶 点处都有相同数目的棱.正多面体的各个面是全等的正多边形,各条棱是相等的线段. 16.正多面体共有五种:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 以上五种正多面体的表面展开图如下: 王新敞 奎屯 新疆 17.棱柱的侧面积是指所有侧面面积之和: S直棱柱 ? c ? h ( c 为底面周长, h 是高,即直棱柱的侧棱长) S斜棱柱 ? 侧棱长? 直截面的周长 王新敞 奎屯 新疆 18.棱柱的体积: V ? S ? h 王新敞 奎屯 新疆 4、欧拉定理(欧拉公式) :简单多面体的顶点数 V 、面数 F 及棱数 E 有关系式: V ? F ? E ? 2 5 球的概念:与定点距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体,简称球 定点叫球心,定长叫球的半径 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面 一个球或球面用表示它的球心的字母表示,例如球 O . 6.球的截面:用一平面 ? 去截一个球 O ,设 OO? 是平面 ? 的垂线段, O? 为垂足,且 OO? ? d ,所得的 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 截面是以球心在截面内的射影为圆心,以 r ? 王新敞 奎屯 新疆 R2 ? d 2 为半径的一个圆,截面是 O R d r O' P 一 个 做 球面 圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆, 被不经过球心的平面截得的圆叫 小圆 7. 经线:球面上从北极到南极的半个大圆;纬线:与赤道平面平行的平面截 王新敞 奎屯 新疆 ? 所得的小圆;经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定的半平面所 成的二面角的度数;纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数 8.两点的球面距离:球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两 点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 B A 9.两点的球面距离公式: AB ? R? (其中 R 为球半径, ? 为 A,B 所对应的球 10.心角的弧度数) 10 半球的底面:已知半径为 R 的球 O ,用过球心的平面去截球 O ,球被截面 分成大小相等的两

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